基于粒子群優化算法的無偏灰色模型

樊新啟

（三峽大學 電氣與新能源學院，湖北 宜昌 443000）

0 引 言

灰色預測是灰色系統理論的重要組成部分。在灰色預測中，應用最廣泛的是鄧聚龍提出的GM（1，1）模型［1］，被稱為傳統 GM（1，1）。文獻［2］在傳統 GM（1，1）的基礎上提出了灰色預測的無偏GM（1，1）模型。無偏灰色模型的性能普遍優于傳統GM（1，1）模型［2，3］，但隨著發展系數的增大，性能逐漸變差［4］。受到基于PSO（Particle Swarm Optimization）優化的灰色模型［5］的啟發，本文結合粒子群算法，針對無偏GM（1，1）進行優化，結果顯示優化后的無偏 GM（1，1）的精度有明顯改善。

1 無偏 GM（1，1）［2］

以上標“（0）”表示原始序列，上標“（1）”表示累加生成序列，GM（1，1）的建模與預測的步驟如下：

（1）給定原始序列：

（2）對原始序列作累加生成：

顯然有：

（3）建立相應的微分方程為：

式中，a稱為發展灰數；b稱為內生控制灰數；將公式中的微商用差商代替，并用兩點的平均值代替x（1），有：

（4）引入向量Y＝［x（0）（2），x（0）（3），…，x（0）（n）］T

以及矩陣

顯然應使VTV取極小，由此作參數a、b最小二乘估計：

（6）建立原始數據序列模型

2 粒子群優化算法

2.1 粒子群優化算法基本原理

粒子群優化算法是由Kennedy和Eberhart于1995年提出［6，7］，其源于對鳥群捕食的行為研究。PSO同遺傳算法類似，是一種基于迭代的優化算法。系統初始化為一組隨機解，通過迭代搜尋最優值，但是它沒有遺傳算法用的交叉以及變異，而是粒子在解空間追隨最優的粒子進行搜索。

PSO中，每個優化問題的解都是搜索空間中的一只鳥，我們稱之為“粒子”。所有的粒子都有一個由被優化的函數決定的適應值（fitness value），每個粒子還有一個速度決定它們飛翔的方向和距離，然后粒子們就追隨當前的最優粒子在解空間中搜索。

PSO初始化為一群隨機粒子，然后通過迭代找到最優解。在每一次迭代中，粒子通過跟蹤兩個“極值”來更新自己。一個就是粒子本身所找到的最優解，這個解叫做個體極值pbest，另一個極值是整個種群目前找到的最優解，這個極值是全局極值gbest。

設初始群體的大小為N，維度為M的空間中第i個粒子的位置和速度可分別表示為：

評價每個粒子的適應值，確定每一個粒子所經過的最佳位置pbest以及群體所有粒子中所經過的最佳位置gbest，分別記為：

選取f（x）為所求適應值，在k次迭代中更新迭代中個體的最佳位置。

則群體中所有粒子所經過的最佳位置為

在粒子群優化算法的k次迭代中，各個粒子按照如下的公式來更新自己的速度和位置。

式中，w為慣性權因子，反應粒子先前速度的慣性大小。w值較大時，全局搜索能力強，收斂速度快；w值較小時，局部搜索能力強，解的精度高。w取值通常在0.1到0.9之間，本文采用Shi提出的線性遞減慣性權因子［8］，隨著迭代次數的增加，為了增強局部搜索，w逐漸變小，最終從wmax變為wmin。具體公式為：

式中，Iter為當前迭代次數；Itermax為最大迭代次數；w為每次速度和位置更新時采用的慣性權因子。

c1和c2為學習因子，通常在0～2間取值。c1主要是為了調節微粒向自身最佳位置飛行的步長，c2是為了調節微粒向全局最好位置飛行的步長。r1和r2是在［0，1］上兩個相互獨立的隨機數。

2.2 算法流程

步驟一：設置算法的參數，隨機初始化群體的位置和速度；

步驟二：選取目標函數，評價各個粒子的適應值，將各個粒子的位置和適應值存于pbest，將pbest中最佳的位置和適應值存于gbest中；

步驟三：根據公式更新群體中所有粒子的速度和位置；

步驟四：重新評價所有粒子的適應值；

步驟五：將所有粒子當前的適應值與pbest比較，若當前適應值更優，則存入pbestt中進行更新；

步驟六：將當前所有的pbest和原有的pbest比較，若有優于原有gbest的，存入gbest，進行更新；

步驟七：若滿足精度要求或者達到最大迭代次數，輸出gbest及其適應值并且停止迭代，否則返回步驟三。

3 基于PSO優化的無偏GM（1，1）模型

優化后的GM（1，1）模型通過PSO直接對參數和進行求解，得到負荷預測模型。避免背景值取的不當而造成的誤差。算法流程如圖1所示。

圖1 優化無偏GM（1，1）模型結構

流程如下：

步驟一：將無偏 GM（1，1）模型的和看作群體中的粒子，n個粒子就有n個和，記為：

步驟二：選取目標函數。以模型與實際負荷的誤差平方和最小為目標函數。

式中，N為實際負荷中的個數；Yj表示第j個負荷值；j表示優化后的GM（1，1）中對應的負荷值；

步驟三：初始每個粒子的位置和速度；

步驟四：評價每個粒子的適應值；

步驟五：得到每個粒子的pbest和總體的gbest；

步驟六：利用2.1節所給公式更新各個粒子的位置和速度；

步驟七：若滿足精度要求或者達到最大迭代次數，輸出gbest及其適應值并且停止迭代，否則返回步驟三。

步驟八：將得到的和代入優化后的無偏GM（1，1）模型中。

4 實 例

為驗證該方法的有效性，本文選取了文獻［5］中四種具有代表性的負荷序列對無偏GM（1，1）和基于PSO優化的GM（1，1）進行考核。負荷數據如表1所示，如圖2可知負荷1、負荷2以及負荷3的數據都趨于指數函數，但增長率不一，負荷4呈非單調增長趨勢。選取表1的四種負荷作為原始負荷數據得到無偏GM（1，1）模型和基于PSO優化的 GM（1，1）模型，分別對兩種模型進行驗差的檢驗，結果如表2所示。

后驗差比值c，即：真實誤差的方差同原始數據方差的比值。c值越小，精度越高。

表1 測試負荷數據

圖2 四種負荷曲線

分別用兩種模型進行預測，參數設置：

粒子數N＝40，wmin＝0.4，wmax＝0.9，c1＝c2＝2。結果如表2。

表2 仿真結果

5 結 論

采用PSO對無偏灰色模型的參數和直接進行求解，來構建優化后的無偏灰色模型，提高了模型的擬合和預測精度。將優化后的GM（1，1）應用于增長規律不同的四種電力負荷的預測問題中，預測精度優于原有的無偏GM（1，1）。不僅適用于變化平穩的歷史負荷序列和增長率大的負荷序列，也適用于非單調增長的負荷序列。

擴展了無偏GM（1，1）的適用性，具有一定的理論意義和使用價值。

［1］ 鄧聚龍.灰色預測與決策［M］.武漢：華中科技大學出版社，1988.

［2］ 吉培榮，黃巍松，胡翔勇.無偏灰色預測模型［J］.系統工程與電子技術，2000，22（6）：6－7.

［3］ 吉培榮，黃巍松，胡翔勇.電網負荷預測的無偏灰色預測模型［J］.三峽大學學報，2001，23（1）：59－62.

［4］ 鄭文琛，吉培榮，羅賢舉.改進無偏GM（1，1）模型及其在中長期電力負荷預測中的應用［J］.繼電器，2008，36（5）：41－43.

［5］ 周在陽，周步祥，詩玉東，鄭海濱.基于粒子群優化的電力負荷灰色預測模型［J］.四川電力技術，2009，32（1）：32－35.

［6］ Kennedy J，Eberhart R C.Particle swarm optimization［C］.Proceeding of IEEE International Conference on Neural Networks.Perth，Australia，1995：1942－1948.

［7］ Eberhart R C，Kennedy J.A new optimizer using particle swarm theory［C］.Proc.6th Int.Sysposium on Micro Machine and Human Science.Nagoya，Japan ，1995：39－43.

［8］ Shi Y，Eberhart R C.Fuzzy adaptive particle swarm optimization［C］.Proceedings of the IEEE CEC，2001：101－106.