一種快速過(guò)彎路線及其穩(wěn)定性研究

尤 霖，孫 濤，鄭松林，張振東，孫躍東

（1.上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院汽車工程研究所，上海 200093；2.機(jī)械工業(yè)汽車底盤機(jī)械零部件強(qiáng)度與可靠性評(píng)價(jià)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200093）

0 引 言

在F1方程式賽車及智能車競(jìng)賽中，單圈時(shí)間最小化是追求的最終目標(biāo)，如何縮短過(guò)彎時(shí)間是其關(guān)鍵研究問(wèn)題之一。國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)單圈時(shí)間優(yōu)化進(jìn)行了研究。常見(jiàn)的有兩種方法：準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)法和瞬態(tài)最優(yōu)方法。本文從道路幾何關(guān)系的角度來(lái)分析出一條快速轉(zhuǎn)彎的路徑，并通過(guò)Matlab進(jìn)行仿真，驗(yàn)證了其在過(guò)彎過(guò)程中的穩(wěn)定性。

1 過(guò)彎路線驗(yàn)證

在一般的賽車運(yùn)動(dòng)中經(jīng)常看到賽車手在轉(zhuǎn)彎時(shí)基本按照“外－內(nèi)－外”的轉(zhuǎn)彎路線，即在剛進(jìn)入彎道的時(shí)候，不斷轉(zhuǎn)向，在彎中不斷貼著靠近賽道內(nèi)測(cè)行駛，在與賽道內(nèi)側(cè)大致相切后開(kāi)始加速，最后貼著賽道的外側(cè)離開(kāi)彎道。

假設(shè)賽車與地面存在一個(gè)恒定的最大靜摩擦力Fmax＝μmg，并且賽車的性能優(yōu)越，在速度不太高（與賽車自身的極限速度相比）的情況下總可以達(dá)到這個(gè)最大靜摩擦力，并且該力的方向可以任意選擇（熟練車手可以同時(shí)協(xié)調(diào)好剎車、油門、方向、檔位來(lái)實(shí)現(xiàn)）。基于這些假設(shè)，首先可以證明當(dāng)賽車以最大靜摩擦力，即車輪與地面之間達(dá)到不滑動(dòng)的臨界狀態(tài)，過(guò)彎的時(shí)間是最短的。

假設(shè)摩擦因數(shù)為μ，則最大靜摩擦力Fmax＝μmg，設(shè)轉(zhuǎn)彎線速度為v，轉(zhuǎn)彎半徑為R，彎道半徑為r，彎道隨影的圓心角為2θ，直道長(zhǎng)度為L(zhǎng)且足夠長(zhǎng)，則行駛時(shí)間分為三段，轉(zhuǎn)彎時(shí)間為t1，直道減速時(shí)間為t2及直道勻速時(shí)間t3，設(shè)總時(shí)間為T，車道寬度為d。

1.1 彎道圓弧為任意2θ角

彎道圓弧為任意2θ角的情況，如圖1所示。

圖1 定曲率任意角彎道

由圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律知

解得

易知

故總時(shí)間T為

求導(dǎo)可得

分如下幾種情況討論：

（1）0＜θ＜π／6

這時(shí)θ－1＜0，1－2sinθ＞0；

在R＝（1－θ）2／（μg（1－sinθ）2）時(shí)取極大值，也是最大值，那么研究最短時(shí)間就得考慮R所能取得的最大和最小值，R所能取得的最小值是r（記為Rmin），最大值是R＝r＋d／（1－cosθ）（記為Rmax）；

（2）π／6≤θ≤1

這時(shí)T隨R增大而遞減，所以在R取得最大值時(shí)T取得最小值，

（3）θ＞1

所以在R＝（1－θ）2／μg（1－2sinθ）2時(shí)有極小值，也是最小值。則：

1.2 彎道圓弧為直角

彎道圓弧為直角的情況（θ＝π／2），如圖2所示。

圖2 定曲率直角彎道

由圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律知

解得：

易知：

對(duì)轉(zhuǎn)彎半徑R求導(dǎo)可得

即R取最大值時(shí)總時(shí)間最小。

由賽道模型圖可知R的最大值為

故賽車行駛最短時(shí)間為

因?yàn)樵诒荣愔袕澋腊霃絩，汽車最大速度v0，摩擦因數(shù)μ都是確定的，所以只需根據(jù)這些確定的條件得出轉(zhuǎn)彎半徑最合適的值就可以最短的時(shí)間過(guò)彎道。

2 車輛動(dòng)力學(xué)模型的建立

本文采用二自由度單軌車輛操縱動(dòng)力學(xué)模型，如圖3所示，該非線性模型的二個(gè)自由度分別為側(cè)向運(yùn)動(dòng)、橫擺運(yùn)動(dòng)。

車輛在道路上行駛的運(yùn)動(dòng)方程為：

式中，m為 整車質(zhì) 量；vx、vy分別為縱 向、側(cè) 向 速 度為橫擺角速度；a、b分別為質(zhì)心至前、后軸距離；Fyf、Fyr分別為前、后輪總側(cè)向力；I為車輛橫擺轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

圖3 車輛動(dòng)力學(xué)模型

前后輪側(cè)偏角αf、αr由下式計(jì)算：

在側(cè)偏角較小的情況下，

取系統(tǒng)狀態(tài)變量為：X＝（v，r）T，系統(tǒng)輸入為前輪轉(zhuǎn)角 ，則表達(dá)成系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程可寫成如下標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)空間方程的形式：

其中，

3 仿真分析與評(píng)價(jià)

橫擺角速度和側(cè)偏角是描述車輛動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性的最佳狀態(tài)變量，所以本文通過(guò)比較橫擺角速度和側(cè)偏角的實(shí)際值與名義值來(lái)確定汽車過(guò)彎時(shí)的穩(wěn)定性。應(yīng)用Matlab／Simulink軟件搭建模型進(jìn)行仿真。采用Carsim軟件中某一車輛參數(shù)如下：m＝1 529.98 kg；L＝2.77 662 km；a＝1.13 906 m；b＝1.63 716 m；Caf＝－46 560.5；Car＝－24 955.5；Iz＝4 607.47。進(jìn)行仿真得到直角彎上汽車的行駛軌跡，以每隔1 s的時(shí)間記錄汽車的軌跡，如圖4所示。可見(jiàn)，在不到10 s的時(shí)間內(nèi)車輛就可以完成入彎、過(guò)彎和出彎，比一般情況下，減少了時(shí)間。

圖4 行駛軌跡圖

圖5和圖6分別為在過(guò)直角彎情況下，車輛的質(zhì)心側(cè)偏角和橫擺角速度。由圖可知，在過(guò)彎過(guò)程中，質(zhì)心側(cè)偏角和橫擺角速度有一定的變化，但是變化范圍是很小的，可以認(rèn)為在過(guò)彎過(guò)程中車輛是穩(wěn)定的。

4 結(jié) 論

圖5 質(zhì)心側(cè)偏角

圖6 橫擺角速度

針對(duì)二自由度單軌車輛模型，本文提出了一種外內(nèi)外的過(guò)彎路徑優(yōu)化。根據(jù)相似理論，用飛思卡爾智能模型車進(jìn)行了算法驗(yàn)證試驗(yàn)，結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的過(guò)彎時(shí)間優(yōu)化控制算法，在保證車輛行駛穩(wěn)定性的前提下，能夠有效減少過(guò)彎的時(shí)間。

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