行星齒輪系統時變嚙合剛度研究

李寬陽，陳彩鳳，張 亮，胡永安

（上海理工大學 機械工程學院，上海 200093）

齒輪的嚙合剛度對齒輪的動力學分析有很大的影響。現有關于行星齒輪動力學分析的研究，大都取齒輪單對齒嚙合的平均嚙合剛度進行分析，未考慮齒輪重合度以及多對齒嚙合對齒輪嚙合剛度造成的影響。行星齒輪的齒輪重合度都在1～2之間［1］，在單雙齒交替的瞬間，行星齒輪系統的齒輪嚙合剛度以及相應的模態都會產生突變［2］，因此，用平均嚙合剛度對行星齒輪系統進行動力學分析，得到的結果可能會與其實際值有偏差。由此可見，分析齒輪重合度、多對齒嚙合對齒輪嚙合剛度的影響具有較大的工程實際意義，是進行更接近實際的齒輪傳動動力學研究的重要前提工作。

1 齒輪受載形變計算

1.1 石川公式計算齒輪嚙合形變

齒輪嚙合剛度的定義為：輪齒抵抗外力對其造成變形的能力。在變形范圍中，齒輪的嚙合剛度可以通過輪齒受到的外力與其相應位移的比值來獲得［3］。當齒輪進行嚙合時，伴隨著齒輪的轉動，輪齒之間的嚙合位置不斷地發生著變化，在假定齒面接觸力大小保持不變的情況下，由于力的方向在不斷發生變化，所以輪齒上每一點的變形量也不斷發生變化，因此，輪齒的嚙合剛度也是隨傳動的進行不斷變化的［4］。

關于齒輪嚙合形變計算的綜合與延伸，本文主要給出2－KH行星輪系統中，太陽輪在受載后的綜合形變計算公式。現做如下假設：令一對標準齒輪在其分度圓節點上均勻接觸，單位齒寬的齒面法向載荷與輪齒齒面法向變形量的比值定義為一對輪齒的剛度［5］。

其數學表達式為：

式中：F為作用于法面的載荷；b為嚙合齒寬；δ為輪齒的變形總量。

由此可見，要計算齒輪的時變嚙合剛度，首先要求解齒輪在外載荷作用力下的形變函數，然后再利用式（1）求解。

石川公式是指將嚙合的輪齒化簡為一個由矩形和梯形所構成的懸臂梁機構，如圖1所示，將輪齒的矩形部分看作是其危險截面。嚙合輪齒沿著單齒嚙合線方向的變形量可以表示為［6］：

式中：δ為沿嚙合線方向輪齒的變形量；δ1為輪齒矩形部分的彎曲變形量；δ2為輪齒梯形部分的彎曲變形量；δ3為由于剪力而產生的變形量；δ4為輪齒基礎部分由于受力變形而產生的變形量；δw為齒輪基體部分由于受力變形而產生的變形量。

圖1 石川公式的近似模型

輪齒矩形部分的彎曲變形量為：

梯形部分的變形量為：

式中

由剪力產生的變形量為：

其中，v為泊松比。

基礎部分傾斜產生的變形量為：

另外，根據齒輪的幾何形狀：

當rg≤rF時，即z≥2（1－x）／（1－cosα0）時，

當rg＞rF時，即z＜2（1－x）／（1－cosα0）時，

式中：z為齒數；x為變位系數；rg為齒輪基圓半徑；rk為齒輪齒頂圓半徑；rr為齒輪齒根圓半徑；rF為有效齒輪齒根圓半徑；rx為載荷作用點和齒輪中心點的距離；α0為壓力角；αx為嚙合角。

齒輪工作時，載荷作用點沿嚙合線方向變形量之和為［7］：

δa和δb是相應于各個輪齒的δ值，δp是齒面接觸部分的變形量，其可以表示為［2］：

根據參考文獻［2］可知，載荷作用點到齒輪中心點的距離R計算公式為：

其中，

式中：Δw為輪齒嚙入點到載荷作用點之間齒輪旋轉角度；r為齒輪的基圓直徑；μNf為齒輪漸開線的余弦值。

齒輪基體部分由于受力變形而產生的變形量為：

1.2 行星齒輪嚙合形變計算

由于行星齒輪系統的結構特殊性，太陽輪（內齒圈）可能會與3個或3個以上的行星輪同時嚙合，若要準確計算某一對輪齒的時變嚙合剛度，就必須要考慮在同一時刻，其余行星輪對當前研究對象造成的影響。

根據目前市場上常用的NGW行星齒輪減速器參數，提出3種行星輪配置方式，行星輪數量分別為3，4，5個［7］。因此，系統在運行時，最多會有5個行星輪同時與太陽輪（內齒圈）嚙合。如圖2所示，現以4個行星輪為例，討論行星輪的數量對太陽輪嚙合剛度的影響。

如圖3所示，由于式（2）中已經考慮了嚙合輪齒基體部分的形變，現將行星輪1分離出整個系統，則現太陽輪基體上所受的載荷來源于剩余的行星輪；每個行星輪對太陽輪的力和原來一致。

圖2 行星輪實際工況

圖3 剩余行星輪對基體的影響示意圖

根據圣維南原理，分布于彈性體上一小塊面積（或體積）內的載荷所引起的應力，在離載荷作用區稍遠的地方，基本上只同載荷的合力和合力矩有關；載荷的具體分布只影響載荷作用區附近的應力分布［8］。由此可見，要計算其余行星輪對太陽輪的影響，只需要計算剩余扭矩對整個基體造成的扭轉變形。

現將太陽輪看作是一個實心圓盤，其相應的截面積慣性矩為［9，10］：

式中：Di為齒輪分度圓直徑。

太陽輪兩橫截面的相對扭轉角為：

由于齒輪較薄，故設太陽輪的兩截面間的扭矩T不變，上式可簡化為：

由此可知，其余行星輪對太陽輪基體處產生的形變為：

而沿著作用力FN方向的變形為：

因此，齒輪時變嚙合剛度變形公式可改寫為：

3 算例與結果分析

下面將采用石川公式（式（2））和改進公式（式（29）），分別對本研究所分析的行星齒輪系統進行時變嚙合剛度的計算，齒輪參數如表1所示。為計算簡便，所有齒輪的頂隙系數和輪齒的齒頂高系數均取標準值。

表1 行星齒輪系統參數

根據表1可知，太陽輪的齒數為21，因此，在一個周期中，每個輪齒大約有17°轉角參與嚙合傳動。如圖4所示，圖中虛線為采用原石川公式計算齒輪嚙合剛度的結果，實線為考慮行星輪對齒輪基體影響后得到的結果。

圖4 三個行星輪作用下系統時變嚙合剛度

通過分析比較圖4可知，改進后的時變嚙合剛度要小于用原石川公式計算的時變嚙合剛度；兩種曲線的變化趨勢一致。而根據式（30）可知，公式改進后計算的固有頻率比石川公式小，這為后面的更精確的模態分析提供依據。

現分別計算行星輪數量為3，4，5時，行星齒輪系統的時變嚙合剛度，計算結果如圖5所示。

圖5 三種行星輪數量配置作用系統時變嚙合剛度

通過分析比較圖5可知，增加行星輪的數量會降低太陽輪、內齒圈的時變嚙合剛度，這主要是因為行星齒輪系統通過行星輪分攤載荷，實現功率分流，但這只能減小作用在每個輪齒上的載荷。由式（28），（29）可知，每增加一個行星輪，系統剩余行星輪造成的扭矩就會增大，從而增加δp，最終導致齒輪嚙合剛度降低。現將齒輪重合度代入到單對齒嚙合的計算結果中，如圖6所示。

圖6 三種行星輪數量作用太陽輪時變嚙合剛度

由于齒輪重合度的影響，行星齒輪系統太陽輪每當出現單雙齒交替的情況時，輪齒的嚙合剛度會有一個較大的突變（內齒圈曲線類似），這直接導致了齒輪發生嚙合沖擊，要改善此類問題，可以從增加齒輪重合度方面入手。

4 結束語

行星齒輪系統的時變嚙合剛度曲線由于齒輪重合度的影響，會在單雙齒交替時，發生明顯的突變，因此，采用時變嚙合剛度對行星齒輪系統進行動力學分析可以得到更貼合實際的結果；功率分流可以有效地降低太陽輪（內齒圈）上每個輪齒承受的載荷，但隨著行星輪數量的上升，由于殘余行星輪數量的增加，太陽輪齒根處的形變會加大，從而導致太陽輪（內齒圈）的嚙合剛度會下降。本文提出的有關太陽輪、內齒圈時變嚙合剛度計算方法能把行星輪數量與實際的剛度計算有機結合起來，是一種十分有效的實用方法。

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