基于復利的基金投資數學模型構建

沈慧 李雙東

摘要：按照最優化原則，對基金投資規劃的問題進行了分析和處理，建立了通用的數學模型，對存款按復利計算和按購買國庫券的兩種情形進行數學建模，探討了模型所反映的數據規律，根據基金的使用情況，分析利率的最優化。

關鍵詞：年利率；數學模型；最優化庫券；復利；國庫券

1問題的引入

對于一筆資金如何確定其投資方案是數學模型研究的熱點，眾多學者建立多種數學模型探討投資方案。在此我們針對這一模型研究以下問題：某企業拿出[W]元基金，計劃若干年內將其投資，每年固定時間用部分本息捐贈給慈善基金會，所捐款額大致相同，若干年年末仍保留原有基金數額。本文考慮的投資方式若為存入銀行，而銀行存款按復利計算（注：銀行有自動滾存業務到期后自動滾存時是將本金和利息相加視同本金存入的，形成一種事實上的按年計算的復利形式）。投資方式除了存入銀行，還可用來購買國庫券。現在要求根據現有銀行存款及國庫券利率，分兩種情況設計基金的投資方案，使得每年的捐款盡量多，兩種方式主要有：①只存款不購買國庫券；②可存款也可購買國庫券。查得人民幣存款利率和國庫券利率如表1所示。

表1 2015年人民幣銀行存款年利率及國庫券年利率

[項目＼&活期＼&半年期＼&一年期＼&二年期＼&三年期＼&五年期＼&銀行存款年利率/%＼&0.35＼&2.55＼&2.75＼&3.25＼&3.75＼&4.00＼&國庫券年利率/%＼&＼&＼&＼&＼&4.92＼&5.32＼&]

2主要結論及證明

針對這一問題的分析可知，解決這一問題就是求解一定條件約束下的利益最大化問題，將這一問題化為多階段配置的線性規劃問題。由于企業每年都要捐贈一定數額的捐款，故需要以1年為單位進行分階段處理。要求經過若干年之后原有基金數額不變，這樣每年的捐款額即為基金的利息所得。由最優化原則可知，使定期的捐款額盡量高也就是“使基金的投資收益損失額盡量低”。記：[W]為現有基金總額，[M]為每期的捐款額，[r1]為活期存款年利率，[r0]為半年定期存款年利率，[rj]為[j]年定期的存款年利率，[Rj]為[j]年期國庫券的年利率（[j>0]）。

2.1存款模型

為了建立模型，我們引入一些記號，第[t]個[5]年中，首年年初存款[j]年定期的金額記為[xtj]，第[t]個[5]年首年的可用金額記為[Wt]，其中[t，j]均為非負的整數，容易得到[W1=M]。

設[n=5t+N，1≤N≤5，t≥0]（[t，N]均為整數）。由利息損失最小原則，對前[t]個[5]年，在第[j]個[5]年（[0；五年期本息和部分作為第五年的捐款，剩余的本息自動轉為下一個五年的初始資金。于是在前[t]個5年中，便可以得到如下[5t]個方程

[xj1+xj2+xj3+xj5=W1xj1（1+r1）=Mxj2（1+r2）2=M[xj3（1+r3）3-M]（1+r1）=M[xj5（1+r5）5-M]=M]

其中，[1≤j≤t]。

對最后[N]年，分別做如下處理：

若[N=1]，一年期本息作為第[t+1]個[5]年首年捐款及歸還本金，即

[xt+1，2=xt+1，3=xt+1，5=0xt+1，1=Wt+1xt+1，1（1+r1）-M=W]

若[N=2]，則第[t+1]個[5]年的第一年捐款可由一年期本息支付，二年期本息除了用來支付第[t+1]個[5]年第二年捐款外，應該還保有本金[W]，即

[xt+1，3=xt+1，5=0xt+1，1+xt+1，2=Wt+1xt+1，1（1+r1）=Mxt+1，2（1+r2）2-M=W]

若[N=3]，一，二期本息作為第[t+1]個[5]年第三年捐款及歸還本金[W]，即

[xt+1，5=0xt+1，1+xt+1，2+xt+1，3=Wt+1xt+1，1（1+r1）=Mxt+1，2（1+r2）2=Mxt+1，3（1+r3）3-M=W]

若[N=4]，一、二年本息作為第[t+1]個[5]年首年、次年的捐款，三年本息作為第[t+1]個[5]年第三年捐款，余額存一年的定期，作為第[t+1]個[5]年第四年捐款及歸還本金[W]， 即

[xt+1，5=0xt+1，1+xt+1，2+xt+1，3=Wt+1xt+1，1（1+r1）=Mxt+1，2（1+r2）2=M[xt+1，3（1+r3）3-M]（1+r1）-M=W]

若[N=5]，令[Wt+2=W]，由第[t+1]個[5]年可得到[5]個方程。

綜上所述，總共得到[5（t+1）]個方程。

2.2存款和購國庫券兼容模型

同樣地，在第[t]個年[6]年中，第一年年初[j]年定期的存款額記為[xtj]；第一年購[j]年期國庫券的金額記為[Xtj]；第一年可用的投資金額記為[Wk]。設[n=6t]，由所獲利潤最高原則可得

[xj1+xj2+xj3+xj5=Wjxj1（1+r1）=Mxj2（1+r2）2=M[Xj3（1+R3）3-M]（1+R1）=M[Xj5（1+R5）5-M]=Wj+1]

參考文獻：

[1]姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型[M].北京：高等教育出版社.2011.

[2]劉來福，曾文藝.問題解決的數學模型方法[M].北京：北京師范大學出版社.1999.

[3]楊蕾，鄧道才，李德山，宋華.金融學[M].北京：安徽大學出版社.2011.