幾何概型常見題型歸納

聶森林

如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型。求解幾何概型的概率問題，一定要正確確定試驗的全部結果構成的區域，正確選擇合理的測度，進而利用概率公式求解。^_^天體運動，萬有引力定律核心考點研讀■安徽

張北春（特級教師）

《天體運動、萬有引力定律》是高中物理的重要章節。主要考點有：開普勒定律、天體運動、萬有引力定律、估算天體的質量和密度、揭示天體運行規律等。近幾年高考試題中的天體運動問題多為勻速圓周運動模型，大多數試題可直接運用開普勒第三定律進行分析或計算，有些試題則需運用牛頓第二定律與萬有引力定律、“黃金代換”等分析計算。下面通過典型例題解讀這些核心考點，希望對同學們的學習有所幫助。

考點1：開普勒定律

【考點研讀】開普勒行星運動定律具體表述如下。第一定律：所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上。第二定律：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等時間內掃過相等的面積。第三定律：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉周期的二次方的比值都相等。

溫馨提示：古人把天體的運動看得十分神圣，他們認為天體的運動不同于地面物體的運動，天體做的是最完美、最和諧的勻速圓周運動。開普勒則認為行星做橢圓運動。他發現假設行星做勻速圓周運動，計算所得的數據與觀測數據不符，只有認為行星做橢圓運動，才能解釋這一差別。

溫馨提示：我們預期太陽對行星的引力與太陽到行星的距離有關，希望通過行星繞太陽做勻速圓周運動需要的向心力求出這個引力，通過兩次數學代換得到了太陽對行星的引力與太陽到行星的距離相關的數學表達式；通過類比得到了行星對太陽的引力與太陽到行星的距離相關的數學表達式；綜合概括得到了太陽與行星間引力的數學表達式。

例2（2014年新課標全國卷I）太陽系各行星幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動。對于地球恰好運行到某地外行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線的現象，天文學稱為“行星沖日”。據報道，2014年各行星沖日時間分別是：1月6日木星沖日；4月9日火星沖日；5月11日土星沖日；8月29日海王星沖日；10月8日天王星沖日。已知地球及各地外行星繞太陽運動的軌道半徑如下表所示，則下列判斷正確的是（

）。

本題考查萬有引力知識，開普勒行星第三定律，天體追及問題。分析時應把行星繞太陽的橢圓運動簡化為勻速圓周運動，抓住行星繞太陽做勻速圓周運動需要向心力，這個向心力是由太陽對行星的引力提供的。

例3 如圖1所示，在火星與木星軌道之間有一小行星帶。假設該帶中的小行星只受到太陽的引力，并繞太陽做勻速圓周運動。下列說法正確的是（

）。

A.太陽對小行星的引力相同

B.各小行星繞太陽運動的周期小于一年

C.小行星帶內側小行星的向心加速度值大于小行星帶外側小行星的向心加速度值

D.小行星帶內各小行星圓周運動的線速度值大于地球公轉的線速度值

溫馨提示：圓周運動是天體主要的運行方式，天 體做圓周運動是萬有引力提供向心力，地球繞太陽 運動如此，其他行星繞母星運動也是如此。

例6 （2014年北京卷）萬有引力定律揭示了天體運行規律與地上物體運動規律具有內在的一致性。

（1）用彈簧秤稱量一個相對于地球靜止的小物體的重量，隨稱量位置的變化可能會有不同的結果。已知地球質量為M，自轉周期為T，萬有引力常量為G。將地球視為半徑為R、質量均勻分布的球體，不考慮空氣的影響。設在地球北極地面稱量時，彈簧秤的讀數是F0。