三相電壓型PWM整流器慢時標不穩定現象分析

閆興文，任春光，韓肖清，王磊，楊宇，2（.太原理工大學電氣與動力工程學院，太原030024；2.山西省電力公司，太原03000）

三相電壓型PWM整流器慢時標不穩定現象分析

閆興文1，任春光1，韓肖清1，王磊1，楊宇1，2
（1.太原理工大學電氣與動力工程學院，太原030024；2.山西省電力公司，太原030001）

針對三相電壓型脈沖寬度調制PWM（pulse widthmodulation）整流器的慢時標不穩定現象，分析了現有的三相電壓型PWM整流器的小信號頻域模型，通過建立能精確預測系統穩定邊界的時域模型，求取了閉環控制系統狀態方程的Jacobian矩陣，依據李雅普諾夫穩定性判定法則對系統穩定性進行判斷，并將時域模型與現有小信號頻域模型做比較，明確了頻域模型的精確適用頻率范圍，闡述了頻域模型只適用于很低的頻域的原因，解釋了三相電壓型PWM整流器的不同于單相變換器的低頻振蕩現象。仿真結果驗證了所建時域模型在判斷系統穩定性方面的精確性。

三相；整流器；慢時標不穩定；分岔；時域模型；小信號模型

三相電壓型PWM變換器被廣泛應用于新能源發輸電領域，由于新能源發電的間歇性比較大，便對整流器直流輸出電壓的穩定性提出了更高的要求。直流電壓應保證輸出諧波含量少，穩態誤差小，動態響應速度快，具有較強的帶負載能力。因此，優化設計三相電壓PWM整流器的控制策略是必不可少的。目前，雙閉環PI調節器控制理論已相當成熟[1-4]，包括電壓環、電流環PI參數設計，交流側電感、直流側電容的選取和電流超調的抑制等。

這些控制策略的優化設計都是基于狀態空間平均的小信號模型。小信號模型是系統在工作點附近的線性化模型，便于使用頻域分析方法研究參數變化對模型的影響，可以直觀地反映系統的帶寬和穩定裕度，因模型簡單和物理意義明確等優點被廣泛采用[2]。但是，若要精確預測系統的穩定邊界，便需要明確小信號模型的適用范圍。文獻[5]提到單相的小信號模型可以精確到開關頻率的一半左右，然而，對三相模型的適用范圍目前還未做明確的說明，而若想精確地設計三相電壓型PWM整流器的控制系統，這項工作是必不可少的而且是及其重要的。

在現有小信號模型理論基礎上，最優設計雙環PI參數之后，若對直流側負載做大幅度變動，系統仍會出現不穩定現象。在負載增大時，系統會呈現慢時標不穩定（slow-scale instability）現象，這種現象最早在文獻[6]中被提出，如不加以控制便會發展成catastrophic bifurcation[7-9]；文獻[7]主要從功率傳輸角度分析了三相PWM整流器的這種現象。目前，學者們對單相變換器的快時標不穩定（fastscale instability）和慢時標不穩定現象已做了比較深入的探討和研究。文獻[10-11]分別對降壓Buck和升壓Boost變換器的振蕩和分岔問題作了詳細討論；此外，還有關于功率因數校正PFC（power factor correction）變換器[12-13]、升降壓Cuk變換器[14]和H橋直流變換器[15]的不穩定現象的分析。然而，對三相PWM整流器的這種不穩定現象研究的還很少，對振蕩頻率的解釋也不夠充分。

本文以三相電壓型PWM整流器的慢時標不穩定現象為出發點，建立了系統的時域模型，能精確預測系統的穩定邊界，通過改變控制參數，從時域和頻域兩個角度分析這種不穩定現象，利用狀態方程的Jacobian矩陣和由傳遞函數得到的Bode圖，并結合一系列的數值仿真闡述現有小信號模型的適用頻率范圍，解釋了三相PWM整流器和單相變換器不同的振蕩現象。

1 三相電壓型PWM整流器的慢時標不穩定現象

三相電壓型PWM整流器在雙環PI控制器下的工作原理如圖1所示。

圖1 三相電壓型PWM整流器工作原理Fig.1 Schematic diagra Mof three-phase voltage source PW Mrectifier

表1給出了電路的運行參數。即使PI調節器參數在設計合理的情況下，負載電阻由50Ω減小至7.05Ω，直流電壓便會呈現低頻振蕩。

表1 電路運行參數Tab.1 Parametersof the circuit

這種低頻振蕩現象在不加控制的情況下便會發展成如圖2所示的波形1，致使系統徹底崩潰，導致災難性后果。

圖2 PI調節器有無限制的直流電壓波形Fig.2 DC voltagewavefor Msw ith or w ithout li Mits in PIregulator

在實際電路中，積分器往往有約束限制，在電壓環PI調節器加以限幅而其他參數都未更改的情況下直流電壓可以得到有效控制，呈現圖2中的波形2。將波形2局部放大可得到如圖3（a）所示的振蕩幅度達60 V、振蕩頻率約300 Hz的直流電壓波形，這種現象便是前面提到的典型的慢時標不穩定。

圖3 整流器的慢時標不穩定現象Fig.3 Slow-scale instability phenomenon of the rectifier

當直流電壓低頻振蕩時觀察交流側電感中的能量變化，可以看到電感中的有功與無功功率同樣出現低頻振蕩，如圖3（b）所示，頻率與直流電壓振蕩頻率一致，并且有功功率出現過零點，在零點處直流電壓波動幅值處于最低點。

2 時域模型和頻域模型的穩定性分析

本節基于數學模型在時域和頻域兩方面對三相電壓型PWM整流器的穩定性問題做詳細分析，重點介紹時域模型的建立。

2.1 時域模型

由圖1所示的功率電路可得到整流器在dq0旋轉坐標下的電路狀態平均方程，即

式中：〈id〉T和〈iq〉T為狀態變量三相電感電流ia、ib、ic在開關周期T內的平均值〈ia〉T、〈ib〉T、〈ic〉T變換到旋轉坐標下dq0的d軸和q軸分量；dd和dq為開關函數Sa、Sb和Sc坐標變換后的d軸和q軸占空比。式（1）中前2個公式用于電流內環的控制，第3個式子用于電壓外環的控制。

在電壓外環控制電路中，直流電壓參考值vdcr與實際采樣值的差值經PI控制器后作為電流內環d軸電流的參考值idr，如圖1中控制電路所示。由此可得電壓外環控制電路的狀態方程為

式中：kv和分別為電壓外環PI控制器的比例系數和積分系數；x1為電壓差值的積分值。

在電流內環控制電路中，idr和iqr分別為d軸和q軸電流的參考值，為使得交流輸入電壓與電流同相位取iqr=0。ki和分別為電流內環PI控制器的比例系數和積分系數，vd和vq為圖1中va、vb和vc經坐標變換后的d軸和q軸電壓，設x2和x3分別為d軸和q軸電流偏差的積分值，由此可得電流內環控制電路的狀態方程，即

以上3個公式中，式（1）為主電路狀態方程，式（2）和式（3）為控制電路狀態方程。在式（1）和式（3）中存在的關系為

聯立式（1）、式（2）和式（3），寫成矩陣x˙=Ax+ Bu形式為

式中，狀態矩陣A為非線性矩陣。判斷系統的穩定性可以根據李雅普諾夫穩定性判別法，對式（5）求取Jacobian矩陣，得到

將表1情況下的平衡點參數帶入Jacobian矩陣，求取的特征值實部全部為負，逐漸減小負載電阻值到7.06Ω時特征值實部依然全部為負，電阻值降到7.05Ω時特征值實部出現正值，系統變得不再穩定，這與仿真結果吻合良好。

2.2 頻域模型

式（1）經拉普拉斯變換便可轉換成頻域模型，再經小信號模型線性化和雙環PI解耦控制可得到其控制框圖，如圖4所示。

圖4 三相電壓型PWM整流器的控制框圖Fig.4 Controlblock diagra Mof three-phase voltage source PW Mrectifier

由控制框圖求得電流內環閉環的傳遞函數為

電壓外環開環的傳遞函數為

將時域模型中的相同參數、負載電阻值7.05 Ω代入式（8）得到三相PWM整流器小信號模型開環Bode圖，如圖5所示。

圖5 電壓環開環Bode圖Fig.5 Bode diagra Mof voltageopen-loop

由圖5可以看到，系統正好處于臨界穩定狀態。Bode圖和上述求解Jacobian矩陣特征值在判斷系統穩定性上結果是一致的，但Bode圖更加直觀地表現了系統的帶寬和參數變化對系統穩定性影響的趨勢。

3 慢時標不穩定現象與小信號模型精確性分析

3.1 單相與三相慢時標不穩定現象對比

在文獻[10]中分析了單相Buck電路的慢時標不穩定現象，系統不穩定后直流電壓不是發生跌落而是呈現持續振蕩，這是由于電感電流不可為負導致的，變換器交替工作在電流連續和電流斷續兩種模式之間。

對于三相PWM整流器而言，電感中有功功率和直流輸出電壓也存在類似的關系，如圖3（b）中所示兩者呈現完全一致的振蕩現象。但是，三相電路中電感流過的有功功率不像單相中的一樣，它可以出現負值，功率電路中其他元器件也缺少類似的邊界約束，因此系統不穩定后便會走向災難性的失穩，進而也就可以解釋在電壓環PI調節器施加限幅后便可以呈現與單相一樣的持續振蕩現象。災難性的失穩在實際應用中應該是盡量避免的，然而在功率電路中實現對變量的約束限制是比較困難的，因此，必須在控制電路中對所需處理信號加以限幅。

3.2 小信號模型的精確范圍

在第2節中時域模型和小信號頻域模型都能比較精確地預測系統的穩定性，但此時系統的帶寬僅僅在174 rad/s左右，在更高或更低的帶寬下兩種模型是否仍然精確有待深入研究。探討模型能預測系統穩定性的精確范圍需要將模型在不同帶寬下與仿真模型做比較。改變系統的帶寬可以通過改變交流側電感值、電流環比例系數和電壓環比例系數。逐漸改變電壓外環PI調節器比例系數kv，3種模型在不同帶寬下臨界穩定的PI調節器積分系數的變化情況如表2所示。

從時域和頻域兩個角度與仿真模型做對比，隨著kv的增大，3種模型臨界穩定時對應的電壓環積分系數都在增大，小信號模型對應的系統臨界穩定時的帶寬也在逐漸提高，在約300 rad/s以內3種模型預測的的穩定邊界是相差不大的，超過此帶寬后時域模型與仿真模型依然匹配良好，但小信號模型的誤差逐漸增大，帶寬越高誤差越大，預測系統穩定邊界的能力逐漸下降。通過一系列的仿真和模型對比，結果表明三相PWM整流器小信號模型精確預測穩定邊界只適用于很低的頻率，約在300 rad/s以內。但是，在高頻域小信號模型與仿真模型參數變化影響的趨勢是一致的，只是精確程度遠不能達到單相變換器所能精確到開關頻率的1/2。造成這種情況的原因主要有2點：①狀態空間平均在開關周期內做了平均化處理，忽略了開關周期內的高頻影響；②小信號線性化過程中忽略了模型中的高階分量。

表2 不同帶寬下3種模型臨界穩定的比較Tab.2 Co Mparison of three kinds criticalstablemodel w ith differentbandw idth

在時域模型中，首先得到的是系統含有開關函數的離散狀態方程。為了便于分析對其做了開關周期平均處理，頻域模型又在此基礎上進行線性化處理。從時域模型與仿真的對比發現開關周期平均對模型的精確性影響并不大，而小信號模型的線性化卻導致模型的精確性大大降低。

3.3 小信號模型中慣性延遲環節的作用

小信號模型中加入的慣性延遲環節在仿真電路中實際上不存在，但其對模型的精確性具有矯正的作用。圖6中曲線1和2分別為無慣性延遲環節和有慣性延遲環節時kv為0.5的對數頻率特性曲線，此時帶寬為644 rad/s。曲線1為臨界穩定狀態，對應的電壓環積分系數為790.4；觀察曲線2可以發現加上慣性延遲環節后小信號模型早已不穩定，而要達到臨界穩定則需調節電壓環積分系數下降至550.2。在其他較高帶寬下情況相似，因此，可以認為慣性延遲環節等效地增加了系統的階數，能有效地減小小信號模型在高頻段與實際仿真電路的穩定邊界誤差。

圖6 無和有慣性延遲環節時系統的對數頻率特性曲線Fig.6 Frequency characteristic curvesof the syste Mw ithoutand w ith inertialdelay

4 結語

本文建立了三相電壓型PWM整流器的非線性時域模型，借助狀態方程的Jacobian矩陣依據李雅普諾夫判定法則分析了三相PWM整流器的慢時標不穩定現象。并將時域模型、仿真模型和小信號模型做了詳細比較，發現時域模型能比較精確地預測系統的穩定邊界，與仿真模型誤差很小。然而，小信號模型只精確到很低的頻率范圍，遠遠低于單相小信號模型的預測能力，這大大出乎意料。導致這種現象的原因是小信號模型線性化過程中忽略的高階項對三相模型精度的影響遠遠大于單相模型。因此，在頻域模型中的慣性延遲環節在一定程度上能提高模型的精確度。同時，明確了小信號模型的精確范圍，便于在設計較高的帶寬時考慮加入適當的誤差，對小信號模型精確度的提高或新模型的的提出也具有重要的指導意義。另外，對比三相PWM整流和單相Buck電路的慢時標不穩定現象，可以發現持續振蕩是由于電路中存在限幅器件。從實際應用角度出發，為避免三相電壓型PWM整流器出現重大的電壓跌落，限幅器件是必不可少的。

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Analysisof Slow-scale Instability in Three-phase Voltage Source PW MRectifier

YANXingwen1，RENChunguang1，HANXiaoqing1，WANG Lei1，YANGYu1，2
（1.CollegeofElectricaland Power Engineering，Taiyuan University of Technology，Taiyuan 030024，China；2.ShanxiElectric Power Corporation，Taiyuan 030001，China）

The slow-scale instability phenomenon of three-phase voltage source PW Mrectifier is studied in this paper. A time-domainmodelwhich can accurately predictsystem's stability boundary isestablished and the Jacobianmatrix of the closed loop control syste Mis calculated.Then the syste Mstability can be judged based on the Lyapunov theorem. Through analysising the rectifier circuit parameters and control parameters'influence on the slow-scale instability，combined with numerical simulation，the different low-frequency oscillation phenomena between three-phase PW Mrectifierand single-phase converter isexplained.Also，the time-domainmodeland the existing small signal frequencydomainmodelof three-phase voltage source PW Mrectifier is compared.Finally，the accurate frequency range ofsmall signalmodel is pointed，and the reason that the small signalmodel is only applicable to the low frequency domain is expounded.

three-phase；rectifier；slow-scale instability；bifurcation；time-domainmodel；smallsignalmodel

TM461

A

1003-8930（2015）07-0018-06

10.3969/j.issn.1003-8930.2015.07.04

閆興文（1988—），男，碩士研究生，研究方向為電力電子與電力傳動、微電網電能質量。Email：yanxingwen0702@163. com

2014-01-07；

2014-03-27

國家自然科學基金資助項目（51277127）；山西省高等學校中青年拔尖創新人才支持計劃資助項目

任春光（1989—），男，碩士研究生，研究方向為微電網中開關變換器的穩定性分析。Email：renchunguang55@163.com

韓肖清（1964—），女，博士，教授，博士生導師，研究方向為為電力系統運行與控制、新能源發電。Email：hanxiaoqing@ tyut.edu.cn