淺談“由此及彼”的解題策略

蔡蘭花

【摘 要】小學數學學習中“由此及彼”的解題策略，有助于讓學生解題思考化繁為簡，化隱為顯，化難為易，化未知為已知，化一般為特殊，化抽象為具體，由表及里。本文試圖從創“情”設“境”、循“斑”捕“豹”、觸“數”思“形”、引“思”論“證”等四個方面來加以描述。

【關鍵詞】小學數學;解題策略;由此及彼

“由此及彼”是指由這一現象聯系到那一現象。數學解題的思考過程實質上是已知和未知間的一系列的聯想過程。所謂“由此及彼”的解題策略，就是以聯想為中介，進行數學發現，探求解題思路，由表及里地思考問題的一種方法。在解題時，通過仔細的觀察、分析，由問題的條件聯想到與其有關的數學思想方法，建立條件與求解目標間的聯系，有助于讓學生解題思考化繁為簡，化隱為顯，化難為易，化未知為已知，化一般為特殊，化抽象為具體，由表及里。美國教育心理學家和教育家布魯納指出，掌握基本的數學思想方法能使數學更易于理解和記憶，領會基本的數學思想方法是通向遷移大道的“光明之路”，數學思想包括的范圍極廣，而且自身也在不斷地發展著。所以，本文就其衍生出的“由此及彼”的解題策略作一探討，嘗試將小學數學的教學與研究提高到一個新的層次。

一、創“情”設“境”——千朵萬朵壓枝低

情境之于知識，猶如湯之于鹽。鹽需溶入湯中，才能被吸收;知識需要溶入情境之中，才能顯示出活力和美感。在小學數學教學中創設“千朵萬朵壓枝低”的情境，一個個數學問題“節外生枝”，可以把理性的傳授與聲、色、形等融為一體，激發學生學習的興趣，形成生動、活潑、高效的課堂教學情境，促進學生潛能的發揮和教學效益的提高。

例如，教學“認識負數”（人教版小學數學六年級下冊），在解決實際問題的時候，教師發現了學生“某地今天上午的氣溫是-4℃，下午的氣溫是5℃，上午和下午的氣溫相差1℃”的典型錯誤。為什么會有這樣的問題存在呢？教材讓學生在豐富的顯示情境中體會負數的含義后，出現了數軸，這是一個關鍵。教師嘗試著將數軸與現實問題結合起來，由此及彼來解決實際問題。第一步：心中有一把“尺”，這把尺就是一個數軸;第二步：確定基準點。根據實際的情境確定每個數在這把“尺”上的位置;第三步：根據問題思考解決的方法。也就是在引導學生解決實際問題的時候，試圖將實際問題中的數量關系轉化成圖形，借助圖形有效的解決問題。經過訓練，大部分學生基本掌握方法，能有效解決問題：“某地今天上午的氣溫是-4℃，下午的氣溫是5℃，上午和下午的氣溫相差9℃”。

二、循“斑”捕“豹”——千樹萬樹梨花開

小學數學課本中的很多問題都有其深刻的背景，或為某一般性結論的特殊情形，或蘊含著某種規律、方法等。教學中教師若能善于組織學生循“斑”捕“豹”，就能為學生嘗試創造性的學習構筑平臺，就讓學生在更深的層次上，更高的觀點下加深對問題“千樹萬樹梨花開”的理解。數學創新教學的意義在于：教師在引導學生創造性地“學”的同時，克服平常定式思維的局限，找出新的規律及方法，激勵學生探討問題，加強學生學習的靈活性、開拓性及創造性。

例如，一個等腰三角形，它的某一個內角的度數相當于另一個內角度數的1/2，這個等腰三角形的頂角是多少度？學生解答這道題目時匯報出來的答案不同。這時教師可以讓學生采取小組合作學習，通過有意義的協商和資源共享，學生在討論中相互補充，相互受到啟發，生成新的知識，明白了題目中“它的某一個內角的度數相當于另一個內角度數的1/2”并沒有明確指出究竟是頂角與底角相比，還是底角與頂角相比？因此就可能出現以下兩種情況：頂角的度數相當于底角的1/2，這時三角形三個內角的度數比是1∶2∶2。1+2+2=5，頂角的度數為：180×1/5=36（度）;底角的度數相當于頂角的1/2，這時三角形三個內角的度數比是2∶1∶1，2+1+1=4，頂角的度數則為：180×2/4=90（度）。

三、觸“數”思“形”——千磨萬擊還堅勁

從某種意義上說，由此及彼的解題策略也是數形結合思想的一種重要體現。而數形結合思想在數學學習中的重要性誠如著名的數學家華羅庚先生所說：“數缺形時少直觀，形離數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休”。由此及彼也正是根據數形結合的思想，依據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，使數量關系和空間形式巧妙、和諧地結合起來，并充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題“千磨萬擊還堅勁”得到解決。

例如，學習用“數對”表示“位置”（人教版小學數學六年級上冊）時，將“座位”平面圖抽象為比較形象的“直角坐標系”，建立“數對”與平面上“點”之間的一一對應關系，可以用一對有順序的“數”來唯一地確定平面上的一個“點”，數與形由此及彼結合。有對直角坐標系的初步認識，學生在學習“正、反比例關系”（人教版小學數學六年級下冊）時，就可以把具有這種關系的兩個量在直角坐標系中“表示”出來，實際上就是正比例函數、反比例函數的圖象，借助于形象的圖象，來深入理解抽象的函數關系，直觀感知兩個量的相依相存關系，當成正比例關系時，一個量增加另一個量也隨著增加，并且是線性增加;當成反比例關系時，一個量增加，另一個量反而減少，根據圖象可以直觀地看出兩個量變化的極限狀態，一個量趨于無窮，另一個量趨于零，等等。

四、引“思”論“證”——千錘萬鑿出深山

（下轉第12頁）

（上接第11頁）

教師通過培養學生有序的觀察習慣，由此及彼，引“思”論“證”，能夠同中見異，異中見同，系統中見聯系，變化中見不變，透過現象看本質。教師可用懷疑的目光、挑動的語言引思論證小學數學課本中一些未給出嚴格證明或直接認定的定理、公式、定義，以引導學生課后思考、論證，培養他們善于在數學學習中自我總結，以達到“千錘萬鑿出深山”的化境。

例如，教學“找12和18的最大公因數”（人教版小學數學五年級下冊）時，教材直接呈現了找公因數的一般方法：先用想乘法算式的方式分別找12和18的因數，分別寫出12和18的因數，再找出公有的因數和最大公因數。在此基礎上，教師還可以引導學生討論其他的方法，如求24和36的最大公因數，因為36-24=12，12能夠同時整除24和36，所以12就是它們的最大公因數。這里，教師運用了一條全新的定理：“如果兩個非零的不相等的自然數的差能夠同時整除它們，這個差就是它們的最大公因數。”學生覺得新鮮之余屢試不爽，如求50和75的最大公因數，因為75-50=25，25能夠同時整除50和75，所以25就是它們的最大公因數。“找最小公倍數”時，除了教材介紹的一般方法，還可以用“翻倍”法，如求24和36的最小公倍數，用較大數36乘2倍得到72，因為72能夠被24整除，所以72就是24和36的最小公倍數，等等。

小學數學知識內在聯系十分緊密，每個新知識建立在舊知識的基礎上，而新知識是舊知識的延伸和發展，它們內在的共同因素為學生掌握新知識架起了橋梁，因此，教學中教師要注意充分利用新舊知識的連接點，促使學生融匯貫通，由未知轉化為已知，才能達到由此及彼、由里及外的訓練效果。

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（作者單位：福建省漳浦縣實驗小學）