備課札記晶體及其計算研究

阮利慶

一、晶體結構的特性

晶體是由微粒在三維空間中按照一定的規律和周期重復排列形成的固體物質。晶胞是晶體的基本單位。晶體內部的微粒（包括原子、分子、離子）按照一定的規律排列，這樣規律排列出的一個基本單位叫做晶胞，晶胞重復出現形成晶體，因此晶體才具有外形規則的特性。

晶體結構的特點有兩點：一是晶體內部的晶格點排列規律，形成晶胞。二是晶胞重復出現，形成晶體，因此晶體具有周期性。因此，利用數學模型作為工具，可以更好地理解晶體結構和計算晶體與微粒的量化關系。

二、利用化學知識和數學基礎進行計算

晶體由相同的晶胞以幾何方式堆砌而成，因此晶體的計算重點在于對晶胞的理解和研究。熟練運用數學中的空間幾何模型可以便于理解晶胞結構從而進行計算。

以數學中的平行六面體為基礎，對于晶胞中的微粒，根據其分布位置可以分為四類：分布在六面體八個頂點的微粒；分布在六面體12條棱上的微粒；分布在六面體6個面上的微粒；分布在六面體內部的微粒。因此有以下的計數規則：

1.分布在六面體8個頂點的微粒，每個微粒被8個晶胞共用，因此對于每個晶胞有1/8的貢獻，在計數時每個微粒記為1/8；

2.分布在六面體12條棱上的微粒，每個微粒被4個晶胞共用，因此對于每個晶胞有1/4的貢獻，在計數時每個微粒記為1/4；

3.分布在六面體6個面上的微粒，每個微粒被2個晶胞共用，因此對于每個晶胞有1/2的貢獻，在計數事每個微粒記為1/2；

4.分布在六面體內部的微粒，對該晶胞的貢獻為1，在計數時每個微粒記為1。

了解以上的規則，加上數學中空間立體幾何的知識，晶體的計算就較為簡單了，以下為最基礎的兩條計算思路：

1. 已知微粒在晶胞中的排列規律時，利用空間立體幾何知識，將晶胞重復堆砌，可以將晶胞邊緣的微粒補充完整，從而構建出相對完整的結構，便于解題。

2. 已知微粒在晶體中的排列規律時， 先根據該規律構建出一個較為完整的晶體，再觀察確定其中的晶胞結構，通過上述的計數規則進行計算。

三、問題類型

根據以上兩條思路，便可解決以下一些與晶體有關的計算問題。

類型一：晶體中與某質點距離最近的微粒數的計算

由已知的晶體或晶胞的排列規律，在空間中構建出微粒的分布情況，從而通過立體幾何知識，運用角度、距離、和空間直角坐標系等已知條件和工具求解。此類問題較為簡單，只要對晶體結構有一定的了解，并且具有將晶胞重復堆砌以補充出完整微粒的思路，運用一些簡單的立體幾何知識便可求解。

類型二：晶胞中微粒總數的計算

整體思路與第一類問題類似，此類問題求解過程中也需要擁有將晶胞重復堆砌以補充出完整微粒和較為完整的晶體結構的意識。通過空間想象力構建出較為完整的晶體結構，再運用上文提到的微粒計數規則，即一個微粒被a個晶胞所共用，則該微粒在一個晶胞中的微粒數記為1/a，若該晶胞中有b個此類型的微粒，則該晶胞中此類型的微粒數為b/a，最后將四個類型的微粒數相加，總和即為該晶胞中微粒的總數。該總數未必是一個整數。根據此思路，還可以確定該晶體的化學式。

類型三：晶體化學式的確定

此類問題也是晶體計算問題中的一個大類，在“問題類型二”的基礎上求解。解決此類問題首先要確定該晶體中的元素種類，以“類型二”中的思路求出每個晶胞中各元素的微粒總數，則一個晶胞中各元素微粒總數的數量比即為該晶體中對應元素的比例，再依據基礎的化學知識即可寫出該晶體的化學式。

晶體知識將化學與數學兩門學科緊密地結合在一起，真正實現了學科的交叉，加上其中需要運用到的空間想象力、邏輯推斷和觀察能力，需要學生的綜合能力，因此晶體的計算問題既是教學中的重點也是難點。

（收稿日期：2014-11-15）