計(jì)算架空線路分布參數(shù)的新方法

焦彥軍，于江濤，王增平

（新能源電力系統(tǒng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（華北電力大學(xué)），北京102206）

計(jì)算架空線路分布參數(shù)的新方法

焦彥軍，于江濤，王增平

（新能源電力系統(tǒng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（華北電力大學(xué)），北京102206）

提出一種考慮土壤電阻率影響的架空輸電線路分布參數(shù)計(jì)算新方法。介紹和分析了Carson公式和Dubanton公式，提出用函數(shù)代替的方法簡化Carson校正項(xiàng)來避免Carson公式計(jì)算困難、Dubanton公式誤差較大的問題，總結(jié)出一種計(jì)算精度較高的架空線路分布參數(shù)計(jì)算新方法。誤差分析表明，該方法的計(jì)算公式簡單、計(jì)算值連續(xù)、計(jì)算結(jié)果較精確。該方法可替代Dubanton公式進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算和分析，在電力系統(tǒng)分析、仿真及計(jì)算中具有很強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值。

架空線路；分布參數(shù)；Carson公式；Dubanton公式；Carson校正項(xiàng)；函數(shù)代替

架空輸電線路的串聯(lián)電阻、電抗及對地電容、電導(dǎo)總是沿線路分布的，且線路的串聯(lián)電阻、電抗易受土壤電阻率影響[1-7]。線路長度與信號(hào)波長相比不能忽略時(shí)，線路中信號(hào)的行波傳輸特征較明顯[15-16]，系統(tǒng)仿真、分析及計(jì)算需采用分布參數(shù)才能取得較理想的結(jié)果。一種高精度、快速的、考慮土壤電阻率影響的線路參數(shù)算法對電力系統(tǒng)的相關(guān)研究具有重大的意義。

架空線路的分布參數(shù)中電抗及電阻常采用Carson公式[1-2]、簡化Carson公式[3]或Dubanton公式[3-4]進(jìn)行計(jì)算，3種方法對土壤電阻率影響的處理方式不同，文獻(xiàn)[4-8]也對此進(jìn)行了一定的分析和討論。簡化Carson公式及Dubanton公式的形式簡單，但誤差較大，目前仍認(rèn)為Carson公式計(jì)算結(jié)果較為精確、并廣泛用于各種計(jì)算軟件中。Carson公式校正項(xiàng)中含有第二類Bessel函數(shù)Y1（x）及Struve函數(shù)H1（x）[1]，表達(dá)式不利于用于公式推導(dǎo)，其算法在高、低頻時(shí)的計(jì)算方法不同[2-3，8-9]，算法切換處附近的計(jì)算值誤差較大、結(jié)果不連續(xù)，對相關(guān)研究也帶來一定的影響。

本文根據(jù)Carson校正項(xiàng)里的函數(shù)特點(diǎn)，提出利用易積分的函數(shù)取代其中的原函數(shù)，得到了較為精確的校正項(xiàng)計(jì)算結(jié)果，并總結(jié)出一種架空線路分布參數(shù)計(jì)算的新方法。誤差分析的結(jié)果表明：新方法的校正項(xiàng)計(jì)算結(jié)果具有較好的精度，其實(shí)部、虛部、模值最大相對誤差均小于Dubanton公式的最大誤差，可替代Dubanton公式進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算和分析。新方法的計(jì)算公式簡單、計(jì)算值連續(xù)、計(jì)算結(jié)果較精確，具有很強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值。

1 Carson公式與Dubanton公式

1.1 Carson公式

1926年，Carson、Pollaczek等提出了考慮土壤電阻率的架空導(dǎo)線阻抗計(jì)算方法，Carson還提出了相應(yīng)的級(jí)數(shù)算法，該算法經(jīng)研究、補(bǔ)充后成為目前應(yīng)用最廣泛的架空線路參數(shù)算法[1-3]。

兩導(dǎo)體k、l及其鏡像k′及l(fā)′的相對位置如圖1所示，若土壤電導(dǎo)率為σ、真空磁導(dǎo)率為μ0、信號(hào)的角頻率為ω，則導(dǎo)體k的自阻抗Zs可用式（1）計(jì)算，導(dǎo)體k、l間的互阻抗Zm可用式（2）計(jì)算，式（1）（2）即為Carson公式。

圖1 兩導(dǎo)線相對位置示意Fig.1 Diagram of two conductorsconfiguration

式中，省略了導(dǎo)體內(nèi)阻抗，實(shí)際計(jì)算中需補(bǔ)充。Js與Jm為Carson校正項(xiàng)，用于解決非零的土壤電阻率對線路參數(shù)的影響，計(jì)算方法為

式中，hkl=hk+hl。

式（3）和式（4）可進(jìn)行簡化，式（3）可寫為

并定義函數(shù)F（s），式（4）則可寫為

式（5）和式（6）中函數(shù)F（s）變量s實(shí)部始終大于0，即Re（s）>0、π/2>Arg（s）>-π/2，此時(shí)函數(shù)F（s）的積分結(jié)果如式（7）所示。式（7）中Y1（x）為第二類Bessel函數(shù)、H1（x）為Struve函數(shù)。

式（5）式（6）無法直接得出精確的計(jì)算結(jié)果，可采用復(fù)化Simpson法近似計(jì)算式（3）和式（4），但計(jì)算量大、計(jì)算復(fù)雜。文獻(xiàn)[1]為式（3）和式（4）給出了相應(yīng)的級(jí)數(shù)表達(dá)式，經(jīng)相關(guān)人員完善形成了易于計(jì)算的形式[8-9]，并得到廣泛使用[2]。

Carson公式適合用于需要精確計(jì)算值的環(huán)節(jié)、不適合應(yīng)用于公式推導(dǎo)，Carson算法的計(jì)算結(jié)果不連續(xù)，這均將對相應(yīng)的分析和研究帶來影響。Carson算法中僅保留一次項(xiàng)時(shí)形成的表達(dá)式即為簡化Caroson公式[3]，簡化Carson公式有較簡單的表達(dá)形式，但存在較大的誤差。

1.2 Dubanton公式

Dubanton公式也稱為復(fù)穿透距離法[3]，該方法通過增加一個(gè)復(fù)數(shù)埋深來解決土壤電阻率、磁導(dǎo)率變化對架空線路參數(shù)的影響[3-4]，所增加的復(fù)距離和Dubanton公式分別為

對比式（1）和式（2）與式（9）和式（10）易知，Dubanton公式將Carson校正項(xiàng)Js與Jm分別簡化為

Dubanton公式的計(jì)算相對簡單、方便，但文獻(xiàn)[4]在推導(dǎo)復(fù)穿透距離時(shí)所選用的剖面具有代表性，但不能體現(xiàn)電磁場沿導(dǎo)線斷面分布中的差異，計(jì)算結(jié)果將總存在一定的誤差。Dubanton公式的表達(dá)形式簡單、計(jì)算結(jié)果連續(xù)、計(jì)算精度介于Carson及簡化Carson公式之間，可用于公式推導(dǎo)，但其計(jì)算精度仍存在提升的可能。

2 計(jì)算架空線路分布參數(shù)的新方法

Carson公式的架空線路參數(shù)計(jì)算結(jié)果較為準(zhǔn)確，而Carson算法采用了級(jí)數(shù)疊代、不適于公式推導(dǎo)，其算法切換位置可能存在較大誤差；若采用復(fù)化Simpson法進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算量大、計(jì)算復(fù)雜、應(yīng)用面小。簡化Carson公式及Dubanton公式雖具有簡單的形式，但誤差較大。因此一種表達(dá)形式簡單、計(jì)算量低、計(jì)算精度較高的架空線路參數(shù)的計(jì)算方法具有很強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值。

文獻(xiàn)[4]提出Dubanton公式相當(dāng)于用函數(shù)替代簡化了Carson校正項(xiàng)，這為Carson公式的簡化提供了思路。

研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)Re（s）>0時(shí)

始終成立。對比式（7）可知，Re（s）>0時(shí)M（s）=F（s）成立。

定義函數(shù)F1（λ）、F2（λ）、F3（λ）為

函數(shù)F2（λ）、F3（λ）與F1（λ）的差別見圖2。

圖2 函數(shù)值的差別Fig.2 Difference of function values

文獻(xiàn)[4]用函數(shù)F2（λ）在式（13）中替代函數(shù)F1（λ）推導(dǎo)出Dubanton公式。由圖2知，采用函數(shù)F3（λ）替代函數(shù)F1（λ）時(shí)形成的計(jì)算方法性能應(yīng)優(yōu)于Dubanton公式。

用函數(shù)F3（λ）替代式（13）中的函數(shù)F1（λ），導(dǎo)出式在Arg（s）<π/4時(shí)可積分、結(jié)果為

導(dǎo)出式在π/4≤Arg（s）<π/2時(shí)難以直接計(jì)算，可按

進(jìn)行函數(shù)替換，結(jié)果與式（15）相同。

由式（15）和式（16），Carson校正項(xiàng)中自、互阻抗部分可分別簡化為

則Carson公式中自、互阻抗計(jì)算可分別簡化為

即為計(jì)算架空線路分布式參數(shù)的新方法。

從圖2的函數(shù)值對比易知，新方法計(jì)算結(jié)果的最大誤差應(yīng)小于Dubanton公式計(jì)算結(jié)果的誤差；由式（15）和式（16）易知，新方法的計(jì)算結(jié)果在θ＜π/4時(shí)具有極高的精度，但在θ＞π/4時(shí)計(jì)算結(jié)果的最大誤差將隨θ增大而增大。

3 誤差分析

3.1 模型參數(shù)

本文以圖1所示的2導(dǎo)線系統(tǒng)進(jìn)行誤差計(jì)算與分析，基本參數(shù)為：兩線對地距離均為20m，土壤電阻率為200Ω·m，線水平間距由圖1中θ決定，導(dǎo)線為直徑2.5 cm的單根導(dǎo)線。

3.2 基準(zhǔn)值

式（5）~式（7）是Carson校正項(xiàng)的精確表達(dá)形式，通常采用Carson算法[1-2]進(jìn)行近似計(jì)算。Carson算法用式（21）的值來切換算法，算法切換處附近計(jì)算結(jié)果不連續(xù)（文獻(xiàn)[2]中切換值為5），計(jì)算值在α介于3~5之間總存在較大誤差。

式（21）用于導(dǎo)線k的自阻抗計(jì)算時(shí)dkl為0、hkl為2hk。

隨著算法的發(fā)展，Y1（x）與H1（x）的算法日趨成熟[13-14]，使直接計(jì)算Y1（x）與H1（x）成為可能，如Mathematica就提供了相應(yīng)函數(shù)。計(jì)算表明：α介于1~10之間時(shí)，直接計(jì)算的結(jié)果與用復(fù)化Simpson法計(jì)算式（3）和式（4）的結(jié)果基本吻合。但直接計(jì)算也存在一定問題，Y1（x）與H1（x）的差占其自身比例過小時(shí)，算法本身的誤差可能導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)較大偏差，計(jì)算值將發(fā)生擺動(dòng)。

計(jì)算結(jié)果對比表明：兩種計(jì)算結(jié)果均不能精確的描述式（5）和式（6）；兩種結(jié)果在α等于1及10時(shí)基本相同，參見圖3（a）、（b）；α介于1~10之間時(shí)，兩者總存在誤差（如α介于3~5之間），此時(shí)Carson算法的結(jié)果存在突變，而直接計(jì)算的結(jié)果更平滑、接近用復(fù)化Simpson公式計(jì)算的結(jié)果，參見圖3（c）（圖3（c）中Carson算法切換時(shí)α為3）。

圖3 計(jì)算結(jié)果的對比Fig.3 Comparison of the calculation results

由此，本文選用混合計(jì)算結(jié)果作為基準(zhǔn)數(shù)據(jù)，其校正項(xiàng)在α介于1~10時(shí)選用直接計(jì)算結(jié)果、α為其他值時(shí)選用Carson算法的計(jì)算結(jié)果。

3.3 誤差對比與分析

1）最大相對誤差的對比

tanθ不大于100時(shí)，用新方法及Dubanton公式分別進(jìn)行計(jì)算，兩種方法計(jì)算結(jié)果校正項(xiàng)最大相對誤差的模值對比如圖4所示，總阻抗最大相對誤差的模值對比如圖5所示。

圖4 校正項(xiàng)的最大相對誤差模值Fig.4 Maximum nodulusof relativeerror in correction terms

圖5總阻抗的最大相對誤差模值Fig.5 Maximum modulusof relative error in total impedance

圖4 和圖5表明：

（1）兩種方法計(jì)算結(jié)果的最大相對誤差均隨tanθ增大而增大，其中實(shí)部及模值的最大相對誤差變化逐漸變慢，虛部的最大相對誤差增長極快、但其絕對誤差較小、對模值相對誤差的影響極小。

（2）新方法自阻抗計(jì)算的精度較高，校正項(xiàng)的實(shí)部、虛部、模值最大相對誤差分別為0.294%、0.200%、0.214%，遠(yuǎn)小于Dubanton公式的計(jì)算誤差。

（3）在tanθ<1時(shí)，新方法具有極高的計(jì)算精度，互阻抗計(jì)算結(jié)果實(shí)部、虛部、模值的最大誤差分別不超過0.56%、0.24%、0.25%。

（4）當(dāng)tanθ>10時(shí)，圖4中校正項(xiàng)的最大相對誤差和圖5中總阻抗的最大相對誤差幾乎相等，說明此時(shí)線路互阻抗中校正項(xiàng)所占比例較大、對計(jì)算精度影響較大。

（5）新方法計(jì)算結(jié)果的最大相對誤差總是小于Dubanton公式。如tanθ為100時(shí)新方法計(jì)算結(jié)果的實(shí)部、模值的最大誤差分別為8.66%與7.31%，而Dubanton公式的相應(yīng)誤差接近13%。

2）新方法計(jì)算總阻抗的相對誤差

根據(jù)圖4和圖5所示的計(jì)算結(jié)果，選擇較有代表性、方便比較的角度進(jìn)行計(jì)算，新方法計(jì)算的總阻抗模值、實(shí)部及虛部相對誤差如圖6所示。圖6中各曲線的tanθ數(shù)值標(biāo)記在該曲線的最大模值附近。

圖6總阻抗的相對誤差Fig.6 Relative error in the total impedance

圖6 表明：

（1）新方法計(jì)算結(jié)果的最大誤差隨tanθ增大而不斷增大的同時(shí)，發(fā)生位置也不斷向低頻發(fā)展。根據(jù)圖6計(jì)算結(jié)果中的最大誤差分布及式（21）易推知，tanθ>3時(shí)計(jì)算結(jié)果的最大誤差發(fā)生頻率大致與1+tan2θ成反比。

（2）當(dāng)tanθ<20時(shí)，計(jì)算結(jié)果中誤差較大的部分主要集中在（102~105）Hz之間，其實(shí)部、虛部、模值誤差小于7.11%、20.20%、5.82%，但小于1Hz的數(shù)據(jù)仍能保持一定的精度。

（3）計(jì)算結(jié)果中50Hz數(shù)據(jù)的各部分隨tanθ的增加而發(fā)生變化，但tanθ<20時(shí)50Hz的數(shù)據(jù)仍能保持較高的精度，其實(shí)部、虛部、模值誤差分別小于3.40%、1.40%、1.64%。

3.4 計(jì)算方法的性能分析

常規(guī)單回或同桿多回架空線路的架設(shè)參數(shù)通常滿足tanθ<1，此時(shí)新方法自、互阻抗計(jì)算結(jié)果的實(shí)部、虛部及模值均具有較高的精度，計(jì)算結(jié)果能滿足大部分仿真及計(jì)算的需要。

在平行線路的互阻抗計(jì)算中：tanθ不大時(shí)（小于20），該方法的計(jì)算結(jié)果能保證較高的精度，誤差較大部分主要集中在102~105Hz之間，50Hz數(shù)據(jù)仍能保持較高的精度；當(dāng)tanθ較大時(shí)，線路參數(shù)計(jì)算結(jié)果通常用于計(jì)算線路之間的相互干擾，此時(shí)該方法計(jì)算結(jié)果的實(shí)部和模值仍能具有一定的精度、但虛部誤差較大，線路間相互干擾的幅值計(jì)算結(jié)果仍能保持一定的精度。

架空線路分布參數(shù)計(jì)算新方法的公式簡單、計(jì)算結(jié)果連續(xù)、精度高于Dubanton公式，可替代Dubanton公式進(jìn)行相應(yīng)的分析、計(jì)算，在電力系統(tǒng)分析、仿真及計(jì)算中均具有較強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值。

4 結(jié)語

本文利用函數(shù)替代法簡化了Carson公式，提出了一種架空線路分布式參數(shù)計(jì)算的新方法，該方法也可看作為Dubanton公式的改進(jìn)，具有計(jì)算公式簡單、計(jì)算結(jié)果連續(xù)、計(jì)算精度較高的優(yōu)點(diǎn)。該方法的計(jì)算精度高于Dubanton公式的計(jì)算精度，可替代Dubanton公式參與相應(yīng)的分析與計(jì)算，在電力系統(tǒng)計(jì)算及仿真中均具有較強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值，但其計(jì)算精度是否可繼續(xù)提高還有待進(jìn)一步的研究。

[1]Carson J R.Wave propagation in overhead wires with ground return[J]．Bell System Technical Journal，1926，5（4）：539-554．

[2]Dommel HW．EMTPTheory Book[M]．Vancouver：Microtran Power System AnalysisCorporation，1992．

[3]Beaty HW．電力計(jì)算手冊[M]．北京：中國電力出版社，2007．

[4]Deri A，Tevan G，Sem lyen A，et al．The complex groundreturn plane-asimplifiedmodel forhomogeneousandmultilayerearth return[J]．IEEE Transon Power Apparatusand Systems，1981，100（8）：3686-3693．

[5]WiseW H．Effectofground permeability on ground return circuits[J]．Bell System Technical Journal，1931，10（3）：472-484．

[6]Wedepohl L M．Wave propagation in transmission lines over lossy ground：a new complete field solution[J]．Proceedings of the Institution of Electrical Engineers，1978，125（6）：505-510．

[7]Sem lyen A．Ground return parameters of transmission lines，an asymptotic analysis for very high frequencies[J]．IEEE Trans on Power Apparatus and Systems，1981，100（3）：1031-1038．

[8]Galloway R H，ShorrocksW B，Wedepohl LM，etal．Calculation of electrical parameters for short and long polyphase transmission lines[J]．Proceedingsof the Institution of ElectricalEngineers，1964，111（12）：2051-2059.

[9]Dommel H W．Overhead line parameters from handbook formulas and computer programs[J]．IEEE Trans on Power Apparatusand Systems，1985，104（2）：366-372．

[10]Newman JN．Approximations for the Bessel and Struve functions[J]．MathematicsofComputation，1984，43（168）：551-556．

[11]Aarts RM，Janssen A JEM．Approximation of the Struve function H1occurring in impedance calculations[J]．Journal of the Acoustical Society of America，2003，113（5）：2635-2637．

[12]Gradshteyn IS，Ryzhik IM．Table of Integrals，Series and Products[M]．Burlington：Academic Press，2007．

[13]Jeffrey A，Dai H H．Handbook of Mathematical Formulas and Integrals[M]．Burlington：Academic Press，2008．

[14]PressW H，Teukoslsky SA，VetterlingW T，etal．Numerical Recipes：The Art of Scientific Computing[M]．UK：CambridgeUniversity Press，2007．

[15]李楊，李永麗（LiYang，LiYongli）．750 kV及特高壓輸電線路的暫態(tài)電流研究（Research on transientcurrentof 750 kV and UHV transmission line）[J]．電力系統(tǒng)及其自動(dòng)化學(xué)報(bào)（Proceedingsof the CSU-EPSA），2006，18（3）：18-23．

[16]葛耀中，徐丙垠，陳平（Ge Yaozhong，Xu Bingyin，Chen Ping）．利用暫態(tài)行波測距的研究（Study of fault location based on travelingwaves）[J]．電力系統(tǒng)及其自動(dòng)化學(xué)報(bào)（Proceedingsof the CSU-EPSA），1999，11（3）：17-22．

New Calculation Method of Overhead Transm ission Line Distributed Parameters

JIAOYanjun，YU Jiangtao，WANG Zengping
（State Key Lab ofNew Energy Power System（North China Electric Power University），Beijing 102206，China）

A new calculationmethod of overhead transmission line distributed parameterswith ground return is presented.After the introduction and analysisof the Carson formulaand Dubanton equations，itisproposed to simplify the Carson correction termsby function replacement，which is carried out to avoid the calculation difficulty of Carson formula and the large errorsof Dubanton equations，and a new high precisionmethod is put forward to calculate the distributed parameters of overhead transmission line.The error analysis result indicates that the newmethod has the advantage ofplain calculation expression，continuous calculation value andmore precise calculation results.Themethod can be utilized to replace the Dubanton equations in corresponding calculation and analysis，and is valuable for the analysis，simulation and calculation ofpowersystem.

overhead transmission line；distributed parameter；Carson′s formula；Dubanton equations；Carson′scorrection terms；function replacement

TM743；TP391

A

1003-8930（2015）04-0055-06

10.3969/j.issn.1003-8930.2015.04.010

焦彥軍（1963—），男，博士，教授，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)繼電保護(hù)。Email：jiao_yanjun@263.com

2013-03-18；

2013-05-29

于江濤（1973—），男，博士，高級(jí)工程師，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)繼電保護(hù)。Email：fisherhoper@sohu.com

王增平（1964—），男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)自動(dòng)化、電力系統(tǒng)繼電保護(hù)及變電站綜合自動(dòng)化等。Email：wangzp1103@sina.com