高職數(shù)學(xué)教學(xué)中引入計(jì)算機(jī)應(yīng)用方案探析

摘 要 簡述數(shù)學(xué)軟件的起源與發(fā)展，學(xué)校高職數(shù)學(xué)課如何與數(shù)學(xué)軟件配合，相關(guān)的教學(xué)要點(diǎn)，案例教學(xué)及教學(xué)模式的改變，數(shù)學(xué)軟件的選用及應(yīng)用帶來的教學(xué)過程改變。先進(jìn)行案例理解，而后對(duì)比兩種教學(xué)模式，通過實(shí)際案例提高高職數(shù)學(xué)課的質(zhì)量。

關(guān)鍵詞 高職數(shù)學(xué)；計(jì)算機(jī)應(yīng)用；數(shù)學(xué)軟件

中圖分類號(hào)：G712 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1671-489X（2015）10-0133-04

1 引言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)發(fā)揮著越來越重要的作用。為了適應(yīng)新的形勢(shì)，數(shù)學(xué)教學(xué)也面臨改革，特別是信息時(shí)代的到來，要求數(shù)學(xué)教學(xué)增強(qiáng)實(shí)踐性，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)這門課程就是基于此而產(chǎn)生的。以計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)軟件為平臺(tái)開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一種新的教學(xué)模式，它是基于過程導(dǎo)向的一種開放式教學(xué)，是對(duì)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式的補(bǔ)充和完善。學(xué)生通過上機(jī)驗(yàn)證數(shù)學(xué)計(jì)算結(jié)果，能充分調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性，由被動(dòng)接受知識(shí)轉(zhuǎn)變成為主動(dòng)接受知識(shí)。

本文的目的在于探討高職數(shù)學(xué)課教學(xué)中引進(jìn)計(jì)算機(jī)應(yīng)用，在微積分的幾個(gè)重要環(huán)節(jié)，根據(jù)高職學(xué)生理論基礎(chǔ)差的特點(diǎn)，改變教學(xué)模式，引入計(jì)算機(jī)應(yīng)用方案，通過數(shù)學(xué)軟件的使用，跨過微積分傳統(tǒng)教學(xué)中的幾個(gè)環(huán)節(jié)，使得所要求解的問題變得簡單化，達(dá)到傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)達(dá)不到的目的，以期望高職數(shù)學(xué)教學(xué)達(dá)到事半功倍的效果。

2 數(shù)學(xué)軟件的類型及選用

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)軟件平臺(tái)由若干數(shù)學(xué)軟件組成，它提供各種強(qiáng)大的運(yùn)算、統(tǒng)計(jì)、求解、作圖等功能。數(shù)學(xué)軟件按用途，一般可分為通用數(shù)學(xué)軟件和專用數(shù)學(xué)軟件兩大類。常見的通用數(shù)學(xué)軟件包括MATLAB、Mathematica、Maple和MathCAD等，其中MATLAB以數(shù)值計(jì)算見長，Mathematica和Maple以符號(hào)運(yùn)算、公式推導(dǎo)見長，MathCAD以繪圖、設(shè)計(jì)見長。專用數(shù)學(xué)軟件主要是為解決物理、數(shù)學(xué)和其他科學(xué)分支的某些計(jì)算問題而設(shè)計(jì)的，專用系統(tǒng)在符號(hào)和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)上都適用于相應(yīng)的領(lǐng)域，如繪圖軟件類、數(shù)值計(jì)算類、有限元計(jì)算類、數(shù)理統(tǒng)計(jì)類、數(shù)學(xué)公式排版類、數(shù)學(xué)編程類等。

軟件Mathematica的用戶群中最主要的是科技工作者和其他專業(yè)人士。但是，Mathematica還被廣泛用于教學(xué)中。數(shù)學(xué)中的許多計(jì)算是非常繁瑣的，特別是函數(shù)的作圖費(fèi)時(shí)又費(fèi)力，而且所畫的圖形很不規(guī)范，所以現(xiàn)在流行用Mathematica符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)進(jìn)行學(xué)習(xí)，從高中到研究生院的數(shù)以百計(jì)的課程都使用它，很多問題便迎刃而解。此外，隨著學(xué)生版的出現(xiàn)，Mathematica已經(jīng)在全世界的學(xué)生中流行起來，成為一個(gè)著名的工具。

就學(xué)校而言，在微積分教學(xué)中，筆者認(rèn)為選用Mathe-matica較為適宜，它的主要特點(diǎn)是：從某種意義上講，Mathematica是一個(gè)復(fù)雜的、功能強(qiáng)大的解決計(jì)算問題的工具。它的主要功能包括三個(gè)方面：符號(hào)演算、數(shù)值計(jì)算和圖形。它可以自動(dòng)完成許多復(fù)雜的計(jì)算工作。顯然，針對(duì)高職數(shù)學(xué)中的主要內(nèi)容，尤其是涉及有關(guān)微積分方面的知識(shí)，通過Mathematica的三大功能，很多問題都能很輕易地解決，大大提高教學(xué)效率，這是選用它的主要原因。

3 傳統(tǒng)的教學(xué)模式

本文僅就導(dǎo)數(shù)問題及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題在引入計(jì)算機(jī)應(yīng)用后，探討兩種教學(xué)模式的優(yōu)劣。傳統(tǒng)的教學(xué)模式是：數(shù)學(xué)概念的背景→定義→幾何意義→推導(dǎo)公式或介紹相關(guān)定理→性質(zhì)→例題→作業(yè)等。

筆者的思路：講解簡單的數(shù)學(xué)概念來源，類似的問題提煉出來，如何解決，數(shù)學(xué)軟件直接解決，省去若干繁瑣的中間步驟，得到期望的結(jié)果。就像是足球比賽中，為了達(dá)到進(jìn)球的目的，有很多打法，如壓迫式打法、短傳滲透式打法、長傳沖吊式打法等。傳統(tǒng)的教學(xué)模式類似于足球中的短傳滲透式打法，強(qiáng)調(diào)的是中間過程（背景、定義、定理等，注重邏輯推理等），當(dāng)然技術(shù)性要求較高。筆者思路中的教學(xué)模式類似于足球比賽中的長傳沖吊，快速通過中場(chǎng)，省去中間的若干環(huán)節(jié)，如講解定義、定理等過程，甚至求導(dǎo)過程（導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)等應(yīng)用）的省略。尤其是基于高職學(xué)生基礎(chǔ)差的原因，省去理論上的若干環(huán)節(jié)，用數(shù)學(xué)軟件直接得到相應(yīng)的結(jié)果，以求達(dá)到所要的目的。在筆者看來，這不失為一種高效便捷的方法。當(dāng)然，對(duì)于基礎(chǔ)好的學(xué)生，兩種方法都可以使得他們更加盡善盡美。相當(dāng)于足球強(qiáng)隊(duì)配有不同的幾套陣容，針對(duì)不同的對(duì)手，采用不同的打法。

1）求導(dǎo)問題。傳統(tǒng)的教學(xué)模式中，經(jīng)過導(dǎo)數(shù)概念的引進(jìn)、定義、幾何意義、推導(dǎo)導(dǎo)數(shù)公式之后，就是利用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)。

顯然，碰到稍微復(fù)雜一點(diǎn)兒的情況，中間求導(dǎo)（部分過程省略）涉及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)問題，相當(dāng)繁瑣，不易計(jì)算。

2）導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用——作圖問題。在函數(shù)作圖這個(gè)案例中，傳統(tǒng)教學(xué)模式中，實(shí)際涉及的概念有很多項(xiàng)。通過一一講解各項(xiàng)概念、定義、定理、性質(zhì)等，才能歸納解決最后的函數(shù)作圖問題。因此，了解各種概念的相關(guān)性及教學(xué)組織形式，才能明了整體思路，理論上升到一定的高度。描繪函數(shù)圖形時(shí)，它主要體現(xiàn)在：確定函數(shù)的定義域；確定函數(shù)的奇偶性；確定函數(shù)的單調(diào)性、極值；確定曲線的凹向與拐點(diǎn)；確定曲線的漸近線；需要時(shí)，還得由曲線的方程計(jì)算出一些適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)的坐標(biāo)；把上面所得結(jié)果，按自變量大小順序列入一個(gè)表格內(nèi)，以觀察圖形的大概形態(tài)，然后描繪成圖。

依據(jù)上面結(jié)果，按自變量大小順序列表（表1）。根據(jù)表格作圖，見圖1。

上面的作圖步驟第3、第4項(xiàng)，也就是前面做的任務(wù)1和任務(wù)2，即是導(dǎo)數(shù)問題，在傳統(tǒng)教學(xué)中花費(fèi)的學(xué)時(shí)較多，授課順序這里不再詳述，僅導(dǎo)數(shù)相關(guān)概念及相關(guān)運(yùn)算法則連帶練習(xí)，就耗費(fèi)相當(dāng)多的學(xué)時(shí)。而用數(shù)學(xué)軟件Mathematica求導(dǎo)數(shù)，則省去在函數(shù)求導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則、高階導(dǎo)數(shù)等很多時(shí)間。

4 改變教學(xué)模式

介紹簡單數(shù)學(xué)概念→數(shù)學(xué)軟件使用→軟件求解結(jié)果。

案例1的數(shù)學(xué)軟件解法：描繪的曲線。endprint

用Mathematica軟件直接圖解，由于Mathematica軟件強(qiáng)大的作圖功能，可以分兩步來研究和講解導(dǎo)數(shù)和函數(shù)圖形的關(guān)系。而且不需要會(huì)手工求導(dǎo)數(shù)及如何運(yùn)用導(dǎo)數(shù)相關(guān)的四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，只需要按照Mathematica數(shù)學(xué)軟件要求語法格式輸入相應(yīng)的命令運(yùn)行即可，來達(dá)到求導(dǎo)數(shù)和作圖等目的。相關(guān)命令及分析見圖2和圖3。

圖中涉及的Mathematica操作命令為：定義函數(shù)→求導(dǎo)數(shù)（可高階求導(dǎo)）→求解方程→作圖→相關(guān)分析。實(shí)際操作過程中，可根據(jù)需要選擇相關(guān)命令，有些命令順序相關(guān)性不大。做題過程中，學(xué)生當(dāng)然需要掌握有關(guān)Mathematica命令的相關(guān)語法，這里不再詳述，相關(guān)部分的命令格式詳見有關(guān)書籍或Mathematica軟件幫助。

案例2：作函數(shù)的圖形。

解法1：傳統(tǒng)解法（由于篇幅有限，傳統(tǒng)做法省略，類似案例1）在前面的任務(wù)2求導(dǎo)中看到，僅一階、二階導(dǎo)數(shù)就很麻煩。

解法2：直接用Mathematica求導(dǎo)，相關(guān)步驟及理解等同案例1，見圖4（求導(dǎo)等）及圖5。可以看到，相比案例1更復(fù)雜的情況，很容易地就解決了。

以上通過案例1及案例2的傳統(tǒng)的理論課環(huán)節(jié)，及用數(shù)學(xué)軟件Mathematica兩種解決方法來描述案例，學(xué)生可從實(shí)際的案例，用Mathematica做題的作圖過程中體會(huì)，再理論上對(duì)比理解這個(gè)案例。

5 數(shù)學(xué)軟件知識(shí)擴(kuò)展

通過比較Mathematica方法和傳統(tǒng)教學(xué)方法，看到了它們的差別與優(yōu)劣，實(shí)際上，將計(jì)算機(jī)引入數(shù)學(xué)教學(xué)后，產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)教學(xué)模式。在教學(xué)中，教師不僅需要講授相關(guān)的數(shù)學(xué)理論知識(shí)，還需要講授相關(guān)的數(shù)學(xué)軟件操作常識(shí)，通過指導(dǎo)學(xué)生上機(jī)實(shí)驗(yàn)，或利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，或驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論。本項(xiàng)研究以教學(xué)模式為著眼點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)在高職數(shù)學(xué)教學(xué)中，根據(jù)學(xué)生的基礎(chǔ)或?qū)W科的差異，可采用靈活的教學(xué)模式，基礎(chǔ)好的學(xué)生或?qū)I(yè)要求高的情況，增加數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的有關(guān)內(nèi)容。課上引入計(jì)算機(jī)應(yīng)用，對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問題采用案例教學(xué)，根據(jù)問題的性質(zhì)，提供多種計(jì)算機(jī)解決方案。

除了數(shù)學(xué)軟件Mathematica、MATLAB等，還可以介紹學(xué)習(xí)應(yīng)用數(shù)學(xué)編程類軟件、辦公軟件Office等常用軟件，目的是通過計(jì)算機(jī)技術(shù)的應(yīng)用加強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)手能力和獨(dú)立思考、解決實(shí)際問題能力。在實(shí)際生活中會(huì)碰到各種各樣的問題，有的問題，通過不同軟件，可以給出多種解法，但并不是所有問題用數(shù)學(xué)軟件Mathematica都能解決，每個(gè)軟件都有它的強(qiáng)項(xiàng)及范圍和應(yīng)用領(lǐng)域。

回歸分析問題或其他問題。以一元回歸為例，常用辦公軟件就可以解決得很好，在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的理論教學(xué)中應(yīng)實(shí)時(shí)根據(jù)學(xué)生的基礎(chǔ)及學(xué)科的差異，引入計(jì)算機(jī)的應(yīng)用，對(duì)于有計(jì)算機(jī)編程基礎(chǔ)的學(xué)生，至少可介紹兩種計(jì)算機(jī)解決方案，達(dá)到舉一反三的目的；對(duì)于計(jì)算機(jī)知識(shí)相對(duì)薄弱的學(xué)生，介紹常用的、容易操作的軟件方法，如可以討論用計(jì)算器和Excel解決一元回歸問題的差異，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)用計(jì)算機(jī)解決數(shù)學(xué)問題的興趣。

6 結(jié)語

綜上所述，本文以Mathematica作為軟件工具，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等數(shù)學(xué)內(nèi)容，用數(shù)學(xué)軟件求解來組織教學(xué)內(nèi)容，省略了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)理論上難懂的過程，定義—定理—性質(zhì)等推導(dǎo)過程，直接用數(shù)學(xué)軟件解題，讓問題變得簡單化，在學(xué)生能夠體會(huì)到的計(jì)算機(jī)應(yīng)用環(huán)境下實(shí)踐數(shù)學(xué)軟件。這里推薦采用“案例教學(xué)、任務(wù)驅(qū)動(dòng)”教學(xué)法講解知識(shí)與訓(xùn)練技能，適用于理論、實(shí)踐一體化教學(xué)。以此案例為背景，為下一個(gè)問題的提出、解決或本門課程后續(xù)章節(jié)講解打下一定的基礎(chǔ)。

過去訓(xùn)練學(xué)生用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題的困難（手工計(jì)算，后來用過高級(jí)語言編程……），現(xiàn)在可以通過計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的運(yùn)算、圖形功能和方便的數(shù)學(xué)軟件，使學(xué)生可以自由地選擇算法和軟件，在屏幕上通過數(shù)值的、幾何的觀察、聯(lián)想、類比，去發(fā)現(xiàn)線索，探討規(guī)律。最后是進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的興趣，促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展。

參考文獻(xiàn)

[1]樊映川.高等數(shù)學(xué)講義[M].2版.北京：人民教育出版社，1964：320.

[2]孫平，張忠毅，范廣玲.高等數(shù)學(xué)及其實(shí)驗(yàn)[M].哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué)出版社，2013：52.

[3]黃毓先.略談基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)中引入計(jì)算機(jī)應(yīng)用[J].中國教育技術(shù)裝備，2014（4）：95-97.endprint