三近點角間變換的級數展開式

高端陽,李厚樸,邊少鋒

(海軍工程大學導航工程系,武漢 430033)

三近點角間變換的級數展開式

高端陽,李厚樸,邊少鋒

(海軍工程大學導航工程系,武漢 430033)

針對偏近點角、真近點角和平近點角之間數值變換十分困難的問題,為實現近點角間的直接變換,借助計算機代數系統Mathematica,提出了一種冪級數法,推導出它們之間變換的級數展開式,并將式中系數統一表示為軌道偏心率的冪級數形式,且擴展至偏心率的8次方。本文首先闡述方法的原理,最后通過算例分析驗證,結果表明對于偏心率小于0.05的衛星軌道,該方法導出的公式計算精度優于10-5″,可供實際使用。

衛星軌道;偏近點角;平近點角;真近點角;計算機代數系統

0 引言

偏近點角、真近點角和平近點角是描述衛星運動時常用的三種近點角,在衛星星歷計算[1-2]、航天器軌道確定[3-4]時經常遇到它們之間的變換問題。偏近點角和平近點角之間的變換即經典的Kepler方程解算是解決這一問題的關鍵,國內外學者對此經行了深入研究,取得了豐富研究成果[5-12]。總的看來,Kepler方程的解法主要有迭代法和直接法兩種[5]。迭代法方面,常用的方法是Newton迭代法[6],對于收斂的迭代過程,只要迭代足夠多次,就可以使結果達到任意精度,但對初值的選取要求比較高,且每次都要計算導數值。為克服Newton迭代法存在的不足,有學者提出采用Steffensen迭代法來求解橢圓軌道下的Kepler方程,以提高計算效率和收斂速度[7-9]。雖然迭代法在數值計算的精度上有一定優勢,但這種方法在進行理論分析時不甚方便,不能直接表達各近點角之間的關系。為此,文獻[10]給出了基于Bessel函數的Kepler方程級數解法,文獻[11-12]給出了Kepler方程直接解的四元素表示,導出了小偏心率橢圓軌道下的真近點角近似方程。值得注意的是,以往研究主要集中在偏近點角和平近點角之間的變換,對于這兩種近點角和真近點角之間的變換研究較少,而且部分推導過程由人工完成,展開的項數不高。鑒于此,本文在深入分析三種近點角間數學關系基礎上,借助具有強大符號運算功能的計算機代數系統Mathematica[13-14]進行了新的推演,導出了偏近點角、真近點角和平近點角間變換的級數展開式,并設計算例分析了展開式的計算精度。

1 偏近點角、真近點角和平近點角的定義

圖1 真近點角和偏近點角幾何關系

如圖1所示,O為橢圓的一個焦點(地球質心),S為衛星在軌道上的位置,r為衛星向徑,N為升交點,f為真近點角,P為近地點。以橢圓中心為圓心,橢圓長半徑a為半徑的輔助圓,且過S 作x軸的垂線交于H,延長SH交輔助圓于S,連接S′,E為x軸與O′S′夾角,即偏近點角。

由圖1可知向徑r的坐標為

2 偏近點角、真近點角和平近點角間變換的級數展開式

2.1 偏近點角和平近點角間變換的級數展開式

式(9)的右端只含有E,是M的隱函數,可以利用隱函數的求導法則,將其展開成cos M的冪級數。當然,這一過程由人工來做,可能令人難以忍受,甚至不可能完成。但由計算機代數系統來做,由于求導數的過程比較機械,卻是可以勝任和完成的。為使展開過程簡明些,不妨再引入一新變量:

略去推導過程,在Mathematica計算機代數系統下依次求得f(t)關于t的1至8階導數,a1, a2,…,a8依次為各階導數在t=sin e處的值。因

2.2 偏近點角和真近點角間變換的級數展開式

由式(7)可得

2.3 平近點角和真近點角間變換的級數展開式

使用式(26)需要經過兩步計算方可完成變換,計算過程較為繁瑣。為簡化計算,可將上式中的變量E消去,得到由平近點角M計算真近點角f的直接展開式。該過程人工推導非常繁瑣,借助Mathematica強大的符號運算功能,在e=0處將f展開為e的冪級數形式,取至e8項可得

3 誤差分析

為說明本文導出的級數展開式在小偏心率e= 0.01、e=0.1、e=0.2(一般認為e>0.2為大偏心率)下的精度,進行了誤差分析。基本思路是:取定偏近點角E0,分別代入式(8)、式(20)可得平近點角和真近點角的理論值M0、f0,將M0分別代入式(18)、式(27)可得偏近點角和真近點角的變換值E1、f1,將f0分別代入式(24)、式(30)可得平近點角和偏近點角的變換值E2、M1,將E0代入式(21)可得真近點角的變換值f2。將上述變換值分別與理論值E0、M0、f0相減可得相應展開式的計算誤差,分別記為ΔE1、Δf1、ΔM1、ΔE2、Δf2。計算誤差的大小可以反映展開式的精確與否。計算結果見表1～表4。

表1 e=0.01時的計算誤差

表2 e=0.05時的計算誤差

表3 e=0.1時的計算誤差

表4 e=0.2時的計算誤差

由表1～表4可以看出,本文導出的級數展開式計算精度在e=0.01時優于10-10(″),在e=0.05時優于10-5(″),在e=0.1時優于10-3(″),在e= 0.2時優于0.1(″)。因此,本文導出的級數展開式完全可以滿足偏心率e小于0.05的衛星軌道計算精度要求。

4 結束語

本文通過構思獨特的數學分析,建立了適合計算機代數系統Mathematica分析和推導的三種近點角間變換的數學模型,推導出了它們之間變換的級數展開式。本文研究表明:

(1)由于軌道偏心率影響,近點角間變換的級數展開式涉及較多復雜的數學推導,計算機代數系統強大的數學分析功能為解決這類問題提供了有力的幫助。本文推導過程預示Mathematica在解決衛星軌道其他數學分析問題中也有著良好的應用前景。

(2)本文導出的級數展開式是三種近點角間的直接關系式,式中系數統一表示為軌道偏心率的冪級數形式。利用該式可實現三種近點角的直接變換,避免了繁瑣的迭代運算,為進行衛星軌道相關理論分析提供了依據。

(3)算例分析表明,對于軌道偏心率e小于0.05的衛星,本文導出公式的計算誤差優于10-5″,可以滿足衛星軌道確定所要求的計算精度。由于希望衛星對全球有均勻的信號輻射強度、均勻的覆蓋面積和均勻的衛星通過時間,大部分全球導航衛星軌道形狀是近圓形的。因此,本文導出的技術展開式可直接應用于全球導航衛星軌道分析和確定。

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[14]李厚樸,邊少鋒,鐘斌.地理坐標系計算機代數精密分析理論[M].北京:國防工業出版社,2015.

The Series Expansions of Transformations between Eccentric,Mean and True Anomalies

GAO Duanyang,LI Houpu,BIAN Shaofeng
(Department of Navigation,Naval University of Engineering,Wuhan 430033,China)

Aiming at computational difficulties between eccentric,mean and true anomalies,in order to realize the direct transformations between them,the series expansions of their transformations are derived using the power series method with the help of computer algebra system Mathematica.Their coefficients are expressed in a power series of the orbital eccentricity and extended up to eighth-order terms of the orbital eccentricity.The principle of the method is described firstly,and verified by the numerical examples.The results show that the precision of these expansions is higher than 10-5″when the orbital eccentricity is smaller than 0.05,which could satisfy practical application.

satellite orbit;eccentric anomaly;mean anomaly;true anomaly;computer algebra system

P228

A

2095-4999(2015)-04-0057-05

2014-10-18

國家自然科學基金項目(41274013;41471387)。

高端陽(1995—),男,湖南邵陽人,本科,主要從事衛星導航研究。

高端陽,李厚樸,邊少鋒.三近點角間變換的級數展開式[J].導航定位學報,2015,3(4):57-61.GAO Duanyang,LI Houpu,BIAN Shaofeng.The Series Expansions of Transformations between Eccentric,Mean and True Anomalies[J].Journal of Navigation and Positioning, 2015,3(4):57-61.

10.16547/j.cnki.10-1096.20150411