例談小學(xué)“百分?jǐn)?shù)”錯(cuò)題的診斷與對(duì)策

周禮

“百分?jǐn)?shù)”這個(gè)單元的教學(xué)內(nèi)容在六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)教材中有著舉足輕重的作用，這部分內(nèi)容既是學(xué)生對(duì)數(shù)的概念的拓展與延伸，又是學(xué)生進(jìn)一步聯(lián)系生活實(shí)際和數(shù)學(xué)知識(shí)的橋梁. 離開了生活世界，百分?jǐn)?shù)就成了無水之源，無本之木. 然而學(xué)生在解決實(shí)際問題時(shí)經(jīng)常會(huì)遭遇知識(shí)的陷阱，本文將列舉學(xué)生解題中部分“常見病”，分析病因，探索診療方法，以增強(qiáng)學(xué)生的“自我防疫”能力.

【病癥】 A.

【診斷】 在部分學(xué)生眼里，降價(jià)10%和漲價(jià)10%正好可以相互抵消，也就意味著這種商品還是按原價(jià)出售. 其實(shí)在這里 兩個(gè)10%對(duì)應(yīng)的單位“1”是不同的. 降價(jià)是的10%是把原價(jià)看作單位“1”；而后來又漲價(jià)的10%是以降價(jià)后的價(jià)格作為單位“1”.

這種商品的價(jià)格沒有直接告訴我們，不妨假設(shè)原價(jià)是1，那么降價(jià)后的價(jià)格是1 × （1 - 10%） = 1 × 90% = 0.9，后來又漲價(jià)10%，現(xiàn)在的價(jià)格是0.9 × （1 + 10%） = 0.9 × 110% = 0.99，0.99 < 1，很顯然，現(xiàn)在的價(jià)格低于原價(jià). 正確選擇應(yīng)該是B.

【錯(cuò)例4】 判斷：張師傅做了100個(gè)零件，合格率是95%. 如果他再做5個(gè)零件，而且經(jīng)過檢驗(yàn)都合格，則合格率就上升為100%. ………………………（ ）

【病癥】 √

【診斷】 小學(xué)生在處理信息時(shí)，容易受表面現(xiàn)象的影響，憑借已有知識(shí)的慣性作用，憑借直覺經(jīng)驗(yàn)而不經(jīng)過邏輯思考貿(mào)然判斷，從而造成錯(cuò)誤. 當(dāng)合格零件的個(gè)數(shù)增加時(shí)，學(xué)生容易把問題簡(jiǎn)單化，認(rèn)為增加了5個(gè)合格零件，合格率就相應(yīng)地增加了5%，或者只考慮了合格零件的個(gè)數(shù)增加了，而沒有考慮到零件總數(shù)也增加了.

合格率表示合格零件的個(gè)數(shù)占零件總數(shù)的百分之幾. 張師傅先做的100個(gè)零件合格率是95%，合格零件的個(gè)數(shù)是95個(gè)，再做5個(gè)且均合格，這時(shí)合格的零件是100個(gè)，零件總數(shù)也隨之發(fā)生變化，由原來的100個(gè)變成了105個(gè)，所以這時(shí)的合格率是100 ÷ 105 ≈95.2%.

針對(duì)這樣的錯(cuò)誤，教學(xué)中要讓學(xué)生多了解并解釋現(xiàn)實(shí)情景中百分率（如出勤率、近視率、收視率、覆蓋率、命中率等）的含義，加深對(duì)求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾方法的理解. 【錯(cuò)例5】 一個(gè)長(zhǎng)方形花壇，長(zhǎng)是20米，寬是10米. 經(jīng)過改造，長(zhǎng)增加了5米，寬增加了2米，面積增加了百分之幾？

【病癥】 （5 × 2） ÷ （20 × 10） = 5%.

【診斷】 學(xué)生在分析解決問題時(shí)，往往只停留于表象的概括水平上，對(duì)一些數(shù)學(xué)知識(shí)的形成和問題解決的思維過程沒有深刻理解，題中的“長(zhǎng)增加了5米，寬增加了2米”，誤以為面積就會(huì)增加5 × 2 = 10（米）.

花壇面積增加了百分之幾，是把原來的花壇面積看作單位“1”，求現(xiàn)在的面積比原來增加部分占原來的百分之幾. 原來花壇的面積是20 × 10 = 200（平方米），改造后面積是（20 + 5） × （10 + 2） = 300（平方米），現(xiàn)在的面積比原來增加了300 - 200 = 100（平方米）增加的部分占原來的100 ÷ 200 = 50%.

波利亞認(rèn)為：“教師對(duì)學(xué)生的幫助，應(yīng)當(dāng)是不多不少”，應(yīng)當(dāng)“不顯眼的幫助學(xué)生”，“應(yīng)當(dāng)順其自然”. 也就是說，因勢(shì)利導(dǎo)地幫助學(xué)生. 所以，對(duì)待學(xué)生的錯(cuò)誤，教師首先要重視錯(cuò)誤思維的產(chǎn)生，挖出錯(cuò)誤的原因；其次要剖析錯(cuò)誤的思維過程，并作出調(diào)控和修正，進(jìn)而引發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新.