一種太陽視運動軌跡建模方法及其應用

房淼森,李少華(江蘇科技大學電子信息學院,江蘇鎮江 212000)

一種太陽視運動軌跡建模方法及其應用

房淼森?,李少華
(江蘇科技大學電子信息學院,江蘇鎮江 212000)

摘 要:基于日地系統的運動特征,分析太陽視運動參數中的方位角和高度角變化規律,對方位角和高度角建立相應數學模型,采用空間解析幾何知識,完成太陽視運動方位角和高度角的公式推導與求解并提出了太陽視運動模型的實際應用。此方法簡便直觀,能夠客觀反映太陽視運動軌跡,并且通用性較強,可應用于各種圓周視運動體系中進行視運動參數的建立。

關鍵詞:太陽視運動;天球;太陽方位角;求解公式;地平坐標系

1　引 言

太陽的視運動[1]在地理學、建筑學、光學,氣象學等領域有著重要作用,如何準確地獲取太陽在任一時刻的位置顯得十分重要。常用的用來描述太陽視運動的模型通常是以地平坐標系或赤道坐標系為基礎建立的,在這兩種模型求解過程中需要對日地運動系統有著深刻的認識,單獨采用某一種模型求解太陽視運動軌跡十分繁瑣。本文從日地運動系統中抽象出了一種數學模型,結合了以地平坐標系和赤道坐標系為基礎的太陽視運動模型,通過簡單的演算,便可推導出太陽視運動方位角和高度角的軌跡公式。

2　天球及其坐標系

在實際的日地系統中,地球圍繞太陽轉動。但考慮到運動的相對性以及更加方便地描述太陽及其他天體相對于地球的運動位置,便出現了天球的概念。根據天球理論[2],以地球表面上任意一個觀測點為球心,作一個假想的半徑無窮大的球面,該球面稱為天球。從觀測點進行觀測,太陽月亮等天體都在天球上圍繞地軸轉動,這種運動被稱為天體的視運動。通常,對于一個特定的觀測點,只能觀察到地平線以上的部分,即半個天球。

天體在天球上的位置時刻變化,為了精確描述某個天體在天球中的位置,可以通過赤道坐標系和地平坐標系從不同的角度來描述天體的位置。赤道坐標系是將地球上的經緯度坐標擴展到整個天球形成的坐標系,赤道日晷[3]便是一個使用赤道坐標系來描述太陽位置的典型應用實例,而地平坐標系[4]是采用方位角[5]和高度角兩個參數來描述天體位置的坐標系。在描述天體的視運動時,通常都采用地平坐標系。

3　太陽方位角和高度角的建模方法

3.1日地運動參數模型

在建立太陽方位角和高度角的模型時,首先需要假想地球沒有大氣層,排除蒙氣差[6]對實際觀測的太陽高度角和理論值不同的影響;其次,還需要假設地球是一個表面光滑的正球體。

為了不失一般性,現建立一空間直角坐標系,O-z軸為假想的地軸,xOy平面為假想的赤道面,原點O為觀測點(如圖1所示)。

圖1　太陽視運動模型

首先以觀測點所在位置做一個切面H,使其完全通過O-y軸,該切面即為觀測點所在的地平面。令O -z軸與該平面的交角為φ,φ為觀測點地理緯度并且令n為該切面的單位法向量。其次通過觀測點,在xOz平面內作一個指向正北方向的單位向量p。最后,過觀測點作一太陽光直射的單位向量l,l與xOy平面的交角為δ,δ為太陽赤緯[7],也叫太陽直射點緯度,與地球的公轉和黃赤交角有關。根據天球模型中的太陽視運動變化規律,l實際上在一直繞著O-z軸轉動,而l在xOy平面內的投影與O-x軸的順時針方向角為時角[8]ω,時角與觀測點的經度有關。

3.2太陽赤緯的求解

太陽赤緯是求解太陽高度角和方位角的一個重要參數,現提出一種簡單的求解太陽赤緯的方法。假想地球勻速繞太陽轉動(如圖2所示),從12月22日為起點開始到某一天,地球在公轉軌道上轉過一個角度α,圖為地球公轉俯視圖,其中N為北極點,圖中D0所在緯度為太陽在12月22日的赤緯,為南緯23.5°,D1所在緯度為待求的太陽赤緯。

圖2　地球公轉運動俯視圖

由此可知,太陽赤緯在一年中的變化是在D所在圓上逆時針轉動。若在該圓周上取365個日序[9]點(閏年則取366個日序點)將其等分,則相應日期對應的點即為太陽當日的赤緯。因此通過計算待求赤緯的日序與12月22日的差值天數,便可由以下公式確定地球公轉過程中的α角:

式中:α為公轉角,d1為待求日期的日序,d0為12 月22日的日序。

現作出地球在12月22日的主視圖(如圖3所示),與圖2所示的俯視圖對應。

圖3　地球在12月22日公轉軌道上的主視圖

線段DS即為太陽赤緯在一年中變化對應的位置, MN為赤道,O為球心。D1點所示的位置為待求太陽赤緯。過D1點作MN的平行線交圓與Q點,則∠QOM即為待求的太陽赤緯。根據日地公轉系統的特征,∠SON為黃赤交角[10],約為23.5°,令該角為ε。因此,通過三角函數關系易得太陽赤緯滿足以下關系式:

式中:δ為太陽赤緯,α為地球從12月22日到待求赤緯日期的公轉角。

3.3時角的求解

時角是求解太陽高度角方位角的直接影響參量,時角通常指的是觀測點的地方時[11]對應的時間角。時角可由以下公式確定:

[12]

式中:ω為時角,T0為格林尼治世界標準時間24小時制標準的小時數,如時間為14:30對應的T0為14.5,λ為觀測點的經度,東經為λ正值,西經為λ負值。

3.4太陽高度角的求解

根據模型可以得知,觀測點對太陽視運動高度角的描述可以表示為向量n和向量l的夾角的余角(如圖4所示),令太陽高度角為hs。

圖4　太陽高度角示意圖

由于H平面完全通過O-y軸,因此易得其平面方程為:

由式(4)可得平面H的單位法向量n為:

根據時角和太陽赤緯可得太陽直射光線的單位向量l為:

由向量的夾角公式可得:→n·→l

由于:

結合式(7)和(8)故太陽高度角的最終表達式為:

式中:hs為太陽高度角,ω為時角,φ為地理緯度,δ為太陽赤緯。

3.5太陽方位角的求解

根據模型可以得知,觀測點對太陽視運動的方位角可由單位正北向量p所指線段OP、光線向量l在平面H上的投影線段OM和有向線段PL代表的向量s在平面H上的投影線段MP構成的三角形確定(如圖5所示),令太陽方位角為As。

圖5　太陽方位角示意圖

現有OP長度為1,根據P點和L點的位置,可得向量s為:

由此可得MP為:

又根據太陽高度角hs可知光線向量l在平面H上的投影線段OM為:

最后結合式(11)和(12),通過余弦定理,化簡后可求得太陽方位角的公式為:

式中:As為太陽方位角,hs為太陽高度角,φ為地理緯度,δ為太陽赤緯。

4　太陽視運動公式的應用

4.1城市光伏發電設備

目前,由于城市地域限制,無法布置大規模的光伏發電陣列而通常采用傳感器反饋控制的雙軸光伏發電[13]設備。如此,需要額外為光伏發電設備設計傳感器追蹤模塊而增加了成本。同時,由于光線的特殊性,一些設計成本較低的追日傳感器會受多云天氣、城市樓宇鏡面反射等干擾而降低設備的追蹤精度甚至失效,降低了設備的發電效率。當采用太陽視運動公式組后,光伏發電設備便不需要傳感器追蹤模塊,將設備固定后,只需根據其所處的經緯度、當前的日期,時間等參數便可以計算出太陽所處的位置,進而控制機組的朝向,實現對太陽的高精度跟蹤。

4.2建筑日照時數測量

日照時數通常指的是某一地點可受到太陽光照射的總時數。理想狀態下,在沒有任何遮擋物并不考慮大氣因素的情況下,任何一地全年的理論日照時數都是全年時間的一半。測量實際的建筑日照時數,只需要通過相機對測地點周邊的建筑分布進行水平360°成像,提取出360°的建筑遮擋視角數據,結合太陽高度角的計算公式,求取一年中太陽高度角大于建筑遮擋視角的無遮擋區域對應的日照時間,即為建筑日照時數。

4.3住宅區樓宇間距

隨著城市建設的快速發展,因樓宇之間的間距引起的光照權糾紛日益嚴重。根據相關規定,建筑的高度不能影響其周邊建筑的日照需求,日照需求的最小值應為1 h。

對于我國正南正北朝向的普通住宅區,可以通過計算太陽高度角和方位角的方法確定樓宇之間的最小間距。由于太陽的視角僅為0.5°,對應的視運動偏移時間約為2 min,因此為了簡便計算,將太陽看成一質點,不考慮其視角。根據每日最短日照時間1 h和太陽高度角以12:00對稱的關系可知,在實際的樓宇布置地點冬至日地方時為11:30,應有太陽光線不被前一幢樓遮擋。設地方時11:30的樓宇遮擋視角為γ,相應的太陽高度角為hs,則應有γ≤hs(如圖6所示)。

圖6　樓宇間距示意圖

假設樓宇高度為X,間距為V,將樓宇一層的窗戶看成質點U,∠QUB即為樓宇遮擋視角γ,UN為正北方向,As為太陽在地方時為11:30時對應的方位角。此時有如下不等式組成立:

通過求解(14)中的式子,最終應有下式成立:

式中,V為樓宇間距,X為樓宇高度,hs和As分別為當地11:30的太陽高度角和方位角。

5 結 語

本文提出的太陽視運動模型抽象精簡,通過簡單的數學推導,得出太陽視運動的地平坐標運動軌跡,并在建筑、天文等諸多領域有所應用。此外,該建模方法也適合地月運動系統和其他恒星相對于地球的視運動系統,通用性較強。

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A Modeling Method of Sun’s Orbit Visual Motion and Its Application

Fang Miaosen,Li Shaohua
(Jiangsu University of Science and Technology,Zhenjiang 321100,China)

Abstract:Analyzed the azimuth and elevation angle of Sun’s orbit visual motion and created a mathematical model of Azimuth and elevation angle based on the motion characteristics of the Sun-Earth system.Solved the equation for azimuth and elevation angle with spatial analytic geometry knowledge and finally presented its application.The method is simple,intuitive and it is able to objectively reflect Sun’s orbit visual motion.The model can be applied to various circumference visual motion system,establishing the visual motion parameters.

Key words:Sun’s orbit visual motion;celestial;solar azimuth;solving equations;horizon coordinate system

文章編號:1672-8262(2015)01-109-04中圖分類號:P128.13,P226

文獻標識碼:A

收稿日期:?2014—07—29

作者簡介:房淼森(1991—),男,碩士研究生,研究方向為檢測技術與自動化裝置。