關(guān)于一道光學(xué)習(xí)題的分析與思考

王 瑤

（鄭州大學(xué)物理工程學(xué)院，河南 鄭州 450001）

在趙凱華和鐘錫華先生編著的《光學(xué)》教程中，幾何光學(xué)部分有這樣一道習(xí)題：

光線射入如圖1所示的棱鏡，經(jīng)兩次折射和反射后射出.（圖中畫出了棱鏡的某一截面，簡稱為棱鏡，后文中皆用此約定——作者注.）

（1）證明偏向角與入射方向無關(guān)，恒等于2α；

（2）在此情況下，能否產(chǎn)生色散？

注：棱鏡內(nèi)實際光線的交點為O；

入射光線與出射光線的延長線交點為O′；

兩次折射法線的交點為O″.

圖1

1 問題解答

（1）在此，提供與鐘錫華先生等編著的《光學(xué)·習(xí)題思考題解答》中不同的另一種較為簡便的解題方法（∠O″DO＝）：

如圖1所示，易知α＝π-∠1-∠2＝i3＋i4，故在△AOB中，∠AOB＝π-2α，即∠COD＝π-2α，?∠OCP＋∠ODP＝π.

∠O′CO″＝ ∠O′DO″

因此，∠CO′D＝π-2α，即偏向角δ≡2α，與入射角方向無關(guān)，且由i′1＝，可得到i1＝i2.

＊在《光學(xué)·習(xí)題思考題解答》中，關(guān)于這道題目的作圖是有誤的.∠COD，∠CO′D，∠CO″D大小都為π-2α，故圖1中，O，O′及O″應(yīng)在C，D，P三點所確定的圓上.如圖1所示，若線段OC在其法線上方，則線段OD也必然在其法線上方，才能保證∠COD大小為π-2α.

（2）由于任何波長的光線出射方向都相同，因此不能發(fā)生色散.在此，作為補充，進行另外一些分析.

①光線由C點垂直入射時，光束在棱鏡內(nèi)的光路關(guān)于PQ對稱.

證明如下：

如圖2所示，棱鏡關(guān)于PQ對稱，入射點為C，作BC⊥PC；作AD，使其與BC關(guān)于PQ對稱，連接AB，可知AB⊥PQ，現(xiàn)要證明CB-BAAD為光路，只需證明∠3＝∠4.

在四邊形CPMB中，

在直角三角形△QEB中

圖2

② 光線由C點非垂直入射（圖3）

由入射點C依次作關(guān)于兩次反射界面的對稱點，得到其虛像C″，如圖3所示.由此可見，在棱鏡內(nèi)部的反射并不能改變兩束光線的夾角.因此，出射點D1，D2不可能重合.（圖3中法線方向均由棱鏡外指向棱鏡內(nèi).）

圖3

2 對該現(xiàn)象原因的分析

如圖4所示，把棱鏡的4條邊平移到相同的起點，作出入射界面NP在兩次反射中的虛像，可得a，b，c，d，e5條線段之間的夾角都為，且線段a關(guān)于c的虛像與e平行，e關(guān)于b的虛像與d平行.故兩次反射使入射界面NP的虛像與NP有2α的夾角，并與MP平行.而兩平行的折射界面不改變光線的傳播方向，如圖5所示.因此，偏折角恒為2α.

事實上，這也是求解此題目的另外一種方法.

3 光線由 PN入射,先后經(jīng)QM、QN反射,并由 PM出射的條件探究

影響因素的分析

首先猜想幾種影響因素：

（1）光在棱鏡中的相對折射率n[設(shè)其中最大頻率光線折射率為n1（即最大折射率），最小折射率為n2]；

（2）入射點C的位置；

（3）入射角大小i；

（4）棱鏡形狀（α角大小）.

圖4

圖5

圖6

如圖6所示，畫出整個棱鏡先后關(guān)于反射界面QM，QN的虛像，N關(guān)于QM的對稱點為N′，N′，P′，M關(guān)于QN的對稱點分別為N″，P″，M″.P″N″／／PM.經(jīng)過虛像C″，光線依次通過QM″，QN到達PM后出射，此即為光線由PN入射，先后經(jīng)QM，QN反射，并由PM出射的充要條件.

如圖6所示，作C″F⊥MP，設(shè)P″N″＝PM＝l，C″N″＝l′（0≤l′≤l），光線從界面N″P″法線左側(cè)（對應(yīng)于圖1即法線上方）入射時，入射角i＞0，∠FC″D＞0；光線從該法線右側(cè)（對應(yīng)于圖1即法線下方）入射時，入射角i＜0，∠FC″D＜0.

在 △QN″P″中，由正弦定理可得，QN″＝

在△QN″M中，由正弦定理可得，

根據(jù)α的取值范圍劃分，可得到表1.

表1 化簡光路圖

續(xù)表

根據(jù)α的取值范圍，對應(yīng)于化簡后的光路圖，容易得出表2的結(jié)果.

至此，對于光線由該棱鏡PN入射，先后經(jīng)QM，QN反射，并由PM出射的條件已討論完畢.

表2 出射條件

續(xù)表

4 分析與討論

4.1 入射點C的位置

由表1左側(cè)的3幅的光路圖可以得到，若0＜α當(dāng)時，光線須從法線下方入射；若，當(dāng)時，光線須從法線上方入射，才能先后經(jīng)QM，QN反射，并由PM射出.

4.2 存在盲區(qū)的α臨界值

所謂盲區(qū)，這里指α值在一定范圍內(nèi)時，入射點在入射界面PN上存在不論i為何值，在界面PM上都無任何出射光線的區(qū)域.

4.3 出射光線展寬

若入射光線可由MP界面完全射出，則出射光線展寬為（設(shè)D1，D2分別為最大、最小頻率光線的出射點）

表3 盲區(qū)存在分析

[1]趙凱華，鐘錫華.光學(xué)（上冊）[M].北京：北京大學(xué)出版社，1984.

[2]鐘錫華，駱武剛，鄧淑琴.光學(xué)習(xí)題思考題解答[M].北京：北京大學(xué)出版社，2006.