Fan-Todd不等式在矩陣論中的推廣

金樂樂 ，周其生

(安慶師范學院 數學與計算科學學院，安徽 安慶 246133)

Fan-Todd不等式在矩陣論中的推廣

金樂樂 ，周其生

(安慶師范學院 數學與計算科學學院，安徽 安慶 246133)

利用矩陣跡的Cauchy-Schwarz不等式及性質，將著名的Fan-Todd不等式和與之相關的實數不等式推廣到矩陣論中，得到矩陣跡的相應不等式，一些結論還推廣到算子理論中。

矩陣；跡；Fan-Todd不等式；算子

作為矩陣的一個重要數字特征，矩陣的跡在數值計算、量子信息以及隨機控制等方面有著廣泛的應用。但是矩陣的乘法不具有交換性，許多實數不等式難以推廣到矩陣論中。本文利用矩陣跡的Cauchy-Schwarz不等式及相關性質，將Fan-Todd等實數不等式推廣到矩陣論中。

成立的任一實數序列，則

其中等式成立當且僅當

K.Fan等人利用這個定理證明了：

K.Fan等人對定理B作了進一步推廣：

本文將以上幾個不等式推廣到矩陣論中，得到矩陣跡的相應不等式。先給出一個重要引理，即關于矩陣跡的Cauchy-Schwarz不等式：

引理1[5-6]設A,B為m×n復矩陣，則有

|tr(A*B)|2≤tr(A*A)tr(B*B)，特別當A和B為同階實對稱陣或Hermite陣時

|trAB|2≤trA2·trB2,

等號成立當且僅當存在常數c,使得A=cB。

下面是本文的主要結論。

定理1 設A,B為n階非零實對稱陣，對于任意常數c，B≠cA，又令X為滿足trAX=0，trBX=1的任一同階實對稱陣，則

(1)

(2)

證明 對于任意的y∈R，yA-B為實對稱陣，由引理1得

|tr[(yA-B)X]|2≤tr(yA-B)2·trX2

(3)

即|tr(yAX-BX)|2≤tr(yA-B)2·trX2。又tr(yAX-BX)=ytrAX-trBX=-1，所以

這說明對任何實數y,二次不等式恒大于0，因此判別式Δ≤0，即

因為對任意常數c，均有B≠cA，故由引理1知，trA2·trB2>(trAB)2，所以化簡后有

上述不等式即證。

下面討論定理1中等號成立的條件。

則(3)式等號成立(顯然左邊也算出等于1)，故由引理1知，存在c使得X=c(yA-B)(其中c為實常數)，即有

X2=c2(yA-B)2，

從而c2=(trX2)2，c=±trX2，故

X=±trX2(yA-B)。

當X=trX2(yA-B)時，

與定理條件不合，所以

X=-trX2(yA-B)=-trX2·

當(2)式成立時，不難計算(1)式等號成立。

注2 定理1是定理A的推廣。為了看到這一點，令

下面討論A,B為n階復矩陣時的情況。

定理2 設A,B為n階非零Hermite陣，且不存在常數c使得B=cA，又設X為滿足trAX=0,trBX=1的任一同階Hermite陣，則

證明 任意y∈R，yA-B也為Hermite陣，由引理1得|tr[(yA-B)X]|2≤tr(yA-B)(yA-B)*·trXX*=tr(yA-B)2·trX2，其證明與定理1的證法類似。

是兩個滿足aibj≠ajbi(i≠j)的n階Hermite陣，則

它的n(n-1)項可以按以下成對形式分組：

根據定理1，可以推出

對定理3進行類似定理B到定理C的推廣：

它的n(n-1)項可以按以下成對形式分組：

每一對這樣的和等于零，即可推出trAX=0。同理可證,

因而由(1)式可得上述定理。

即為定理3的結論，可見，定理4是定理3的推廣。

類似于定理1的討論，可將文獻[5]中一個實數不等式推廣為下面結論。

定理5 設A,B為n階非零Hermite陣，且不存在常數c使B=cA，又設任一同階半正定Hermite陣X，滿足trX2=1，trA2>0，trAX=0，則

(4)

其中等號成立當且僅當

證明 任意y∈R，由引理1，得

|tr[(yA-B)X)]|2≤

tr(yA-B)(yA-B)*·trXX*

(5)

|tr[(yA-B)X)]|2=[ytrAX-trBX]2=

(0-trBX)2=(trBX)2,

tr(yA-B)(yA-B)*·trXX*=

tr(yA-B)2·trX2=y2trA2-2ytrAB+trB2,

所以有(trBX)2≤y2trA2-2ytrAB+trB2,

即對于?y∈R有(trA2)y2-2(trAB)y+trB2-(trBX)2≥0成立。因此Δ≤0，即Δ=[-2(trAB)]2-4·trA2·[trB2-(trBX)2]≤0

即(trAB)2-trA2·[trB2-(trBX)2]≤0。

因為對任意常數c，均有B≠cA，故由引理1知，trA2·trB2>(trAB)2，所以有

下面討論定理5中等號成立的條件。

此時,tr(yA-B)2·trX2=tr(yA-B)2=

故(5)式等號成立，由引理1知，存在常數c，使得

X=c(yA-B)，

trBX=c(ytrAB-trB2)=

因(trBX)2=tr(yA-B)2=

定理2討論的是Hermite矩陣，定理2可以進一步推廣到算子論中。

定理6 設A,B為非零Hilbert-Schmite類Hermite算子，且不存在常數c，使得B=cA。又設X為滿足trAX=0，trBX=1的任一Hilbert-Schmite類Hermite算子，則

證明 記全體Hilbert-Schmite類算子為C2[7]，任意y∈R，yA-B也為Hilbert-Schmite類Hermite算子，在C2類算子中定義內積 =trA*B，C2按這個內積作成Hilbert空間，所以由內積空間中的Cauchy-Schwarz不等式有

||2≤·，

即|trA*B|2≤trAA*·trBB*。

特別地，當A,B為C2中Hermite算子時有|trAB|2≤trA2·trB2，所以|tr[(yA-B)X]|2≤tr(yA-B)(yA-B)*·trXX*=tr(yA-B)2·trX2。

此定理的證明與定理2的證明過程相同，因此可以將定理2推廣至算子理論中。

[1]A. Ostrowski. Vorlesungen über Differential-und Integralrechnung[M]. Basel: Springer, 1952.

[2] K.Fan , J.Todd. A determinatal inequality[J]. Journal of London Mathematics Society, 1955, 30: 58-64.

[3] D.S. Mitrinovic, P.M. Vasic. Analytic Inequalities[M]. New York: Springer-Verlag, 1970: 66-69.

[4] D.S. Mitrinovic. 解析不等式[M]. 張小萍, 王龍, 譯. 北京: 科學出版社, 1987: 87-92.

[5] 匡繼昌. 常用不等式[M]. 4版. 濟南: 山東科技出版社, 2012: 201-202.

[6] 王松桂, 吳密霞. 矩陣不等式[M]. 2版. 北京: 科學出版社, 2006: 185-224.

[7] 孫善利, 王振鵬. 泛函分析[M]. 北京: 北京航空航天大學出版社, 2008: 117-135.

Generalization of Fan-Todd Inequality in the Matrix Theory

JIN Le-le, ZHOU Qi-sheng

(School of Mathematics and Computational Science, Anqing Teachers College, Anqing 246133, China)

In this paper, famous Fan-Todd real inequalities are generalized to the matrix by the Cauchy-Schwarz inequality, and some corresponding matrix trace inequalities are obtained.Some conclusions are given in operator theory.

matrix, trace, Fan-Todd inequality, operator

2014-12-23

金樂樂，女，安徽安慶人，安慶師范學院數學與計算科學學院碩士研究生，研究方向為矩陣與算子理論。

時間：2016-1-5 13:01 網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160105.1301.006.html

O151.21

A

1007-4260(2015)04-0019-05

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.04.006