高等數(shù)學(xué)中定積分計(jì)算和應(yīng)用的一點(diǎn)注記

陳 軍 勝

(寧夏大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，寧夏 銀川 750021)

高等數(shù)學(xué)中定積分計(jì)算和應(yīng)用的一點(diǎn)注記

陳 軍 勝

(寧夏大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，寧夏 銀川 750021)

以高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中兩個(gè)定積分的計(jì)算為例，引導(dǎo)學(xué)生利用已知幾何體體積對(duì)定積分計(jì)算過(guò)程中的錯(cuò)誤進(jìn)行分析，給出正確解題方法；同時(shí)利用定積分的計(jì)算結(jié)果來(lái)分析探究特殊幾何體的形體。

定積分；幾何體體積；高等數(shù)學(xué)

下面，通過(guò)在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的兩個(gè)習(xí)題為例，分析學(xué)生在解題過(guò)程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤原因，引導(dǎo)學(xué)生利用已知幾何體的體積與二重積分的計(jì)算結(jié)果做比較研究。

教材[1]習(xí)題8-3中的一道計(jì)算題：

解法2 由于所求的立體關(guān)于xoz面對(duì)稱(chēng)，于是所截立體的體積V是第一卦限那部分曲頂柱體體積的2倍，即

其中，D2={(x,y)|y≥0,x2+y2≤Rx}，如圖3所示。

作極坐標(biāo)變換x=rcosθ,y=rsinθ，區(qū)域D2的邊界曲線的極坐標(biāo)方程為

下面這個(gè)例題是用積分的計(jì)算結(jié)果來(lái)探究幾何體的形體。

教材[2]習(xí)題5第5題：

例2 計(jì)算底面半徑為R的圓，而垂直于底面一固定直徑的所有截面都是等邊三角形的立體體積。

解 如圖4所示，則底面方程為x2+y2=R2。對(duì)任意的x∈[-R,R]，過(guò)點(diǎn)x且垂直于x軸的截面是一個(gè)等邊三角形，底和高分別為

于是，立體體積

考察用平行于xoz平面y=y0去截割幾何體所得的邊界曲線方程，如圖5所示。

考察用平行于xoy平面z=z0(z0≥0)去截割幾何體所得的邊界曲線方程，如圖6所示。

所以，用平行于xoy平面z=z0(z0≥0)去截割幾何體所得的邊界曲線方程是兩圓的交線。

[1]林偉初. 高等數(shù)學(xué)(經(jīng)管類(lèi))下冊(cè)[M]. 2版.上海: 復(fù)旦大學(xué)社,2013: 73.

[2] 黃立宏. 高等數(shù)學(xué)上冊(cè)[M]．3版. 上海:復(fù)旦大學(xué)社, 2011: 205.

[3] 董艷慧. 對(duì)維維安尼(Viviani)體的體積錯(cuò)解小議[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)研究, 2011, 30(10): 62-63.

Note on the Integral Calculation and Application Higher Mathematics

CHEN Jun-sheng

(School of Mechanical Engineering, Ningxia University, Yinchuan 750021, China)

The calculation problem for example encountered two of the definite integral of taking higher mathematics teaching process, we guide students to use the known geometry volume results, why the process error calculation of the definite integral is analyzed, and given the right method for solving. At the same time, we use the definite integral computation result analysis to explore a special geometry shape.

definite integral, geometry, higher mathematics

2015-04-02

陳軍勝，男，寧夏西吉人，碩士，寧夏大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院副教授，研究方向?yàn)殡S機(jī)分析、數(shù)學(xué)優(yōu)化。

時(shí)間：2016-1-5 13:01 網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160105.1301.030.html

O13

A

1007-4260(2015)04-0120-03

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.04.030