數域上矩陣公分母的一些基本性質

王 禮 想

(安慶師范學院 數學與計算科學學院，安徽 安慶 246133)

數域上矩陣公分母的一些基本性質

王 禮 想

(安慶師范學院 數學與計算科學學院，安徽 安慶 246133)

文章引入了數域上矩陣公分母的概念，并且討論了數域上特殊線性群中矩陣公分母的一些基本性質。在數域的整數環是主理想環的特殊情況下，研究了最小公分母滿足的一些重要條件。

整數環；K-矩陣；Ok-矩陣；公分母

在研究數域K上的矩陣(以下簡稱K-矩陣)A(本文總假設A不是零矩陣)時，常把它與K的代數整數環Ok上的一個矩陣(以下簡稱Ok-矩陣)B建立關系，其中常用的方法：給A乘以Ok中的一個適當的代數整數α，使得B=αA是Ok-矩陣，顯然這樣的α不唯一，易驗證集合QA：={α∈Ok|αA是Ok-矩陣}是Ok的一個理想。

定義1 稱上述理想QA為矩陣A在域K上的公分母。如果QA是主理想，則把QA的任意生成元稱為A在域K上的一個最小公分母。

注1 在不致混淆的情況下，上述概念總是簡稱為A的公分母及A的最小公分母。特別地，在K是有理數域Q，Ok是有理整數環Z的情況下，熟知存在正整數n使得QA=(n)，所以在此情況下，總是選擇n作為A的最小公分母。

在數域為有理數域這一特殊情況下，作為公分母這一概念的應用，文獻[4]中研究了在P∈SL(2,Q)，且q級主同余子群Γq的共軛子群PΓqP-1為SL(2,Z)的子群時，P的最小公分母的如何取值的問題。文中有關模論的基本知識可參考文獻[1-2]，代數數域的內容可參考文獻[3,5]。

本文主要是考慮數域K上n階特殊線性群SL(n,K)中矩陣公分母的一些基本性質。

定義2 給定K-矩陣A，稱A的一切元素在K中生成的分式理想IA為A的理想。

根據數域中分式理想的定義以及基本性質，下面命題1是顯然的。

命題2 給定n階K-矩陣A，B，AB乘積的公分母QAB整除QAQB。

證明 任取ω∈QA，θ∈QB，(ωθ)·(AB)=(ωA)·(θB) 是Ok-矩陣，而QAQB是包含一切ωθ的最小理想，即得QAQB?QAB。

證明 設Sn是對稱群，sgnσ是置換的符號，即sgnσ=1僅當σ是偶置換，否則sgnσ=-1。因A是SL(n,K)中矩陣，故其行列式為

命題5n階K-矩陣A∈SL(n,K)乘以SL(n,Ok)中一個矩陣后，公分母不變。

證明 由于A乘以可逆矩陣B∈SL(n,Ok)后的理想IAB?IA，當然I(AB)B-1?IAB，即IA=IAB，再由命題3即得。

下面主要是討論當Ok是主理想環時，最小公分母滿足的一些重要條件。這里除非特別說明，總是假設Ok是主理想環。由定義2知，用最小公分母代替公分母來討論是方便的。以下稱Ok中某一可逆元為單位，相差Ok中一個單位的兩元α,β稱為相伴。

命題6 給定K-矩陣A∈SL(n,K)，非零元π∈Ok是A的一個最小公分母當且僅當矩陣B=πA的理想IB=Ok，即B的所有元素的最大公因子與1相伴。

證明 必要性。由于Ok是主理想環，且B的理想IB?Ok，因此存在非零元θ∈Ok使得IB=(θ)。因此C=θ-1B是Ok-矩陣，即存在α∈Ok，使得detC=α，故θn·α=detB=det(πA)=πn，即θn整除πn。如果θ,π的最大公因子與1相伴，則θ是單位，即證；否則存在Ok中不可約元ω同時整除θ,π，且是π的真因子，有πω-1∈IA=(π)，矛盾。

充分性。設QA=(β)。由IB=Ok，則B=πA必然是Ok-矩陣，即π∈QA，故存在υ∈Ok，使得π=βυ。有必要性C=βA的理想IC=Ok，所以Ok=υOk，即υ是Ok的一個單位，而π是一個最小公分母。

根據模論的知識[1]，對于主理想整環Ok上的矩陣有下面重要結論：

定理1 對于Ok上任意n階非零矩陣A，存在U,V,P,Q∈SL(n,Ok)，使得UA為上三角形矩陣，AV為下三角形矩陣，而PAQ為對角形矩陣D：

D=diag(d1,d2,…,dr,0,…,0)

(1)

其中d1(1≤i≤r)是Ok中一組非零元，且滿足整除關系d1|d2|…|dr。進一步，這些di在Ok中元素相伴的意義下是唯一的。

注2 定理1中di稱為A的第i個不變因子。若A∈SL(n,K)，則乘以它的最小公分母α，可知存在P,Q∈SL(n,Ok)，使得B=αA可以化為(1)式的形狀，且r=n。故

G=PAQ=α-1diag(d1,d2,…,dn)

(2)

再由命題3與命題5知，G的最小公分母也是α，d1是Ok中的一個單位。而且由于detG=1，所以d1d2…dn=αn。由此可以討論Ok是主理想環時，命題2中，QAB何時與QAQB相等。

命題7 給定A,B∈SL(n,K)，α,β分別是A,B的最小公分母。如果α,β互素，則乘積AB的最小公分母與αβ相伴，即QAB=QAQB。

證明 對矩陣A，設P,Q∈SL(n,Ok)滿足(2)式。這樣由命題5知AB與PAB公分母相同，由定理1知，

PAB=PAQ(Q-1B)=

α-1diag(d1,d2,…,dn)(Q-1B)

(3)

其中d1,d2,…,dn=αn。

再由命題5知，Q-1B與B公分母相同。由定理1設V∈SL(n,Ok)，使得(Q-1B)V為下三角形，當然仍與B公分母相同。設

其中對于1≤i,j≤n，hij∈Ok并且h11h22…hnn=βn。由(3)式可得：

設H的第j行元的一個最大公因子hj，顯然hj整除hjj。

由命題6知d1,d2,…,dn與h1,h2,…,hn兩組元素的最大公因子都與1相伴，下面證明d1h1,d2h2,…,dnhn的最大公因子也與1相伴。

反證法 假設有素元p同時整除這n個元，則可知p至少整除一個di和一個hj，否則由素元的性質，p將整除所有di或hj，這與它們的最大公因子是單位相矛盾。而由此導致p整除d1d2…dn=αn，但是由hj的定義，h1h2…hn整除h11h22…hnn=βn，這樣p同時整除αn與βn，這與α,β互素矛盾，即證AB最小公分母與αβ相伴。

下面證明命題7對應的逆命題也正確。

命題8 設C∈SL(n,K)，γ=αβ是其一個最小公分母，則存在A,B∈SL(n,K)，滿足C=AB,且A,B的最小公分母分別與α,β相伴。

證明 取P,Q∈SL(n,Ok)，使得

PCQ=γ-1diag(d1,d2,…,dn)，

如果γ是單位，則結果顯然，因此可令γ,α,β分解式分別為

如果ei=0，則對整數1≤j≤n，令αji=1。

如果ei≠0，因為nhi≥nei，且s1i=0，故存在0

此時令

A=α-1P-1diag(α1,α2,…,αn)，

B=β-1diag(β1,β2,…,βn)Q-1，

容易驗證A,B滿足所求。

命題9 給定A∈SL(n,K)，α是A的最小公分母，dn是αA的第n個不變因子，則α整除dn，且A-1的最小公分母與dnα-1相伴。

證明 取P,Q∈SL(n,Ok)使得(2)式成立。設p是α的一個素因子。如果對于非負整數f，pf整除α，則pnf整除αn。如果pf不能整除dn，則d1|d2|…|dr也不能整除di，但是d1是單位，因此由d1d2…dn=αn得p(n-1)f不整除αn，矛盾，即α整除dn。

對后一斷言，由(2)式得：

由α整除dn得G-1的最小公分母與dnα-1相伴，再由命題5即得。

[1]T. S. Blyth.Module Theory:An Approach to Linear Algebra [M]. Oxford: Clarendon Press, 1977.

[2]J. J. Rotman. 高等近世代數[M]. 章亮, 譯. 北京: 機械工業出版社, 2007:483-490.

[3]馮克勤. 代數數論[M]. 北京: 科學出版社, 2001.

[4]孫廣人. 主同余子群的Γ(n)-正規化子[J]. 安慶師范學院學報(自然科學版), 2013, 19(4), 5-7.

[5]張賢科. 代數數論導引[M]. 2版. 北京: 高等教育出版社, 2006.

On the Common Denominator of a Matrix over Some Number Field

WANG Li-xiang

(Department of Mathematics, Anqing Teachers College, Anqing 246133, China)

The notion common denominator of a matrix over some number field is introduced in this paper. Some basic facts are cleared when the matrix is belonging to the special linear group over a given number field. When the integer ring of number field is a principal ideal domain, several fundamental properties on minimum common denominator are stated.

integer ring,K-matrix,Ok-matrix, common denominator

2015-05-20

安慶師范學院青年科研基金(KJ201414)。

王禮想，女，安徽淮北人，碩士，安慶師范學院數學與計算科學學院講師，研究方向為數字圖像處理。

時間：2016-1-5 13:01 網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160105.1301.005.html

O152.3

A

1007-4260(2015)04-0016-03

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.04.005