具有有界曲率的黎曼流形上的雙調和子流形

馮書香，方聯銀，李 靜

(信陽師范學院 數學與信息科學學院，河南 信陽464000)

具有有界曲率的黎曼流形上的雙調和子流形

馮書香，方聯銀，李 靜

(信陽師范學院 數學與信息科學學院，河南 信陽464000)

利用分部積分法，對截面曲率上界為非負常數的黎曼流形中的完備雙調和子流形進行研究。截面曲率上界為非負常數的黎曼流形中的完備雙極小子流形，若子流形平均曲率積分滿足某種增長性條件時，雙調和子流形平均曲率是常數。特別地，單位球面中平均曲率下界為1的完備雙調和子流形，若平均曲率積分滿足該增長性條件時，則它的平均曲率是1。因而對BMO猜想和S.Meata猜想作出部分肯定的回答。

雙調和映照；雙調和子流形；雙極小子流形

之后又有很多球面中雙調和子流形的研究成果[3-11]。有趣的是這些例子及分類得到的結果都說明：球面中的雙調和子流形具有常平均曲率。在此基礎上，Balmus 和Oniciuc提出了如下猜想：

BMO猜想[6]球面中的雙調和子流形都具有常平均曲率。

對于BMO猜想可以肯定的回答，若M滿足下面任一條件：

(i)一個緊致的平均曲率向量恒不為零的超曲面，且|B|2≥m或|B|2≤m，其中|B|2是第二基本形式范數模長的平方[3,9]。

(ii)一個可定向的Dupin超曲面[3]。

但BMO猜想中并沒有假設子流形是完備的，從某種意義上說是局部幾何學中的一個問題。因此S. Meata提出了猜想，并給出了相應的定理。

S. Meata猜想[10]球面中的完備雙調和子流形都具有常平均曲率。

定理1[10]設M是單位球面中平均曲率下界為1的完備雙調和子流形，且

∫M(|H|2-1)pdvg<∞，(0

則M平均曲率恒為1。

本文主要對BMO、S. Meata猜想作出部分肯定的回答。在給出定理之前，先介紹幾個概念。

J.Eells等人[1]提出雙能量函數E2(u)=

N[X,Y]是N上的曲率算子。

定義2 設u:(M,g)→(N,h)是從m維黎曼流形(M,g)到n維黎曼流形(N,h)的映射。若雙張量場τ2(u)=0，則映照u:(M,g)→(N,h)稱為雙調和映照。

設u:(M,g)→(N,h=〈.，.〉)是從m維黎曼流形(M,g)到m+t維黎曼流形(N,h)的一個等距浸入。對于任一點x∈M，du(X)由X確定。 〈.，.〉表示u-1h上的內積。Gauss公式為

NXY=XY+B(X,Y),X,Y∈Γ(TM),

其中B是M在N中的第二基本形式。Weingarten公式為

其中Aξ是M上單位法向量場ξ的形狀算子，⊥表示M法叢上的法聯絡。對于任一點x∈M，點x處M的平均曲率向量為B(ei,ei)。

定義3 若等距映射u:(M,g)→(N,h)是雙調和的，則M稱為N的雙調和子流形。

注意到u的張量場τ(u)，記作τ(u)=mH，其中H表示M的平均曲率向量。M是N中雙調和子流形的充要條件為

(1)

(2)

Trg(,其中是由法聯絡⊥導出的Laplace算子。

(3)

下面是本文的主要結論及證明。

證明 由(3)式可得，

Δ(|H|2-D)=2|⊥H|2+

2〈B(AH(ei),ei),H〉-

2〈RN(H，ei)ei,H〉+2λ|H|2=

2〈RN(H，ei)ei,H〉+2λ|H|2≥

2mc|H|2+2λ|H|2=

2mD(|H|2-D)

(4)

其中不等號是由N的截面曲率上界為非負常數c及|AH|2≥m|H|4得出。

對于固定的一點x∈M以及r>0，在M上考慮如下截斷函數：

(5)

其中Br(x0)={x∈M:d(x,x0)

-∫M[μ2(|H|2-D)a](|H|2-D)dvg=

∫Mμ2(|H|2-D)a△(|H|2-D)dvg≥

2∫Mμ2(|H|2-D)a|⊥H|2dvg+

2m∫Mμ2(|H|2-D)a+2dvg+

2mD∫Mμ2(|H|2-D)a+1dvg

(6)

另一方面，有-∫M[μ2(|H|2-D)a](|H|2-D)dvg=

-4∫Mμ(|H|2-D)aμ〈⊥H,H〉dvg-

4a∫Mμ2(|H|2-D)a-1〈⊥H,H〉2dvg≤

-4∫Mμ(|H|2-D)aμ〈⊥H,H〉dvg=

-4∫Mμ(|H|2-D)a

(7)

其中X∈Γ(TM)是單位矢量場。由(6)式，(7)式可得，

2∫Mμ2(|H|2-D)a|⊥H|2dvg+

2m∫Mμ2(|H|2-D)a+2dvg+

2mD∫Mμ2(|H|2-D)a+1dvg≤

-4∫Mμ(|H|2-D)a

-2∫Mμ2(|H|2-D)a|⊥H|2dvg+

2∫M|μ|2(|H|2-D)a+1dvg故有

∫Mμ2(|H|2-D)a+1dvg≤

(8)

由定理2可得如下推論：

推論1 設(M,g)是單位球面中平均曲率下界為1的完備雙調和子流形。若

∫Br(x0)(|H|2-1)a+1dvg(a≥0)

至多以r的多項式增長，則平均曲率是1。

[1]J. Eells, L. Lemaire. Selected Topics in Biharmonic Maps[M]. CBMS: Amer. Math. Soc., 1983.

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[13] E. Loubeau, S. Montaldo. Biminimal immersion[J]. Proc. Edinb. Math. Soc., 2008, 51 : 421-437.

On Biharmonic Submanifolds in Riemannian Manifold with Bounded Curvature

FENG Shu-xiang, FANG Lian-yin, LI Jing

(College of Mathematics and Information Science，Xinyang Normal University，Xinyang 464000，China)

The complete biharmonic submanifolds in a Riemannian manifolds with sectional curvature bounded from above by a non-negative constant are investigated by using integral by parts. If the integral of their mean curvature satisfies some growth conditions, then their mean curvature is a constant. In particular, the mean curvature of the complete biharmonic submanifolds is bounded as 1 in a sphere and satisfies some growth growth conditions, then the mean curvature is 1. So an affirmative partial answer to BMO conjecture and S.Meata′s Conjecture is obtained.

biharmonic maps, biharmonic submanifolds, biminimal submanifolds

2015-04-07

信陽師范學院青年基金(2014-QN-061)和信陽師范學院研究生科研創新基金(2014KYJJ29)。

馮書香，女，山東菏澤人，碩士，信陽師范學院數學與信息科學學院講師，主要從事微分幾何研究。

時間：2016-1-5 13:01 網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160105.1301.003.html

O186.12

A

1007-4260(2015)04-0012-03

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.04.003