長(zhǎng)桿彈侵徹流體動(dòng)力學(xué)模型的精確解及其分析

高光發(fā)

(1.安徽理工大學(xué)煤礦安全高效開采省部共建教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽淮南 232001;2.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)近代力學(xué)系，合肥 230027;3.新加坡國(guó)立大學(xué)沖擊工程實(shí)驗(yàn)室，新加坡 120425)

基于長(zhǎng)桿彈高速垂直侵徹半無限靶板的流體動(dòng)力學(xué)模型(下文簡(jiǎn)稱HTP 模型［1］)，Alekseevskii［2］與Tate［3］分別獨(dú)立的提出一種同時(shí)考慮彈靶流變強(qiáng)度的改進(jìn)的長(zhǎng)桿彈侵徹/侵蝕模型，稱之為Alekseevskii-Tate 模型(下文簡(jiǎn)稱為AT 模型)，該模型同時(shí)也考慮到侵徹主要過程中侵徹行為的“不穩(wěn)定”特征。AT 模型自提出以來，一直是長(zhǎng)桿彈侵徹研究中最重要應(yīng)用最廣泛的理論模型。由于考慮到實(shí)驗(yàn)中觀察到的侵徹過程中彈體尾部速度的“不穩(wěn)定”減速現(xiàn)象，AT 模型與實(shí)際情況更吻合，其計(jì)算結(jié)果理論上應(yīng)該更準(zhǔn)確。

然而，正因?yàn)槠淇紤]的這種不穩(wěn)定現(xiàn)象，因而侵徹速度u和彈體尾部速度v 不再是常值了，同時(shí)彈體尾部速度u 與彈體剩余長(zhǎng)度l 兩個(gè)變量相互耦合，其解耦算法在一般情況下比較復(fù)雜，如此以來，AT 模型很難像HTP 模型、AR 模型［6］甚至改進(jìn)的AR 模型一樣容易地計(jì)算出其精確的解析解。為了進(jìn)一步提高AT 模型的實(shí)用性，更大程度上推導(dǎo)其模型中參數(shù)的精確解是很有必要的。Walters 等［7-8］也就AT 模型的一般解進(jìn)行了深入的推導(dǎo)分析，其結(jié)果與本節(jié)的推導(dǎo)結(jié)果類似，但其推導(dǎo)過程更為復(fù)雜，結(jié)果形式也較本推導(dǎo)復(fù)雜，同時(shí)，由于其符號(hào)定義與AT 模型原文定義的不甚一致，因此可讀性稍差。

本研究在分析AT 模型的基礎(chǔ)上，對(duì)其推導(dǎo)過程中存在不足之處進(jìn)行修改完善。在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出AT 模型中相關(guān)參數(shù)的一般解和一下特殊情況下的精確解析解，并在此基礎(chǔ)上研究彈靶流變強(qiáng)度比、彈靶材料密度比、彈體瞬時(shí)速度等因素與彈體瞬時(shí)侵徹深度、彈體最大侵徹深度等因素之間的內(nèi)在聯(lián)系及其影響規(guī)律。

1 AT 模型原文推導(dǎo)過程中的一點(diǎn)問題的修正

以Tate 模型為例，在原文［3］中，根據(jù)傳統(tǒng)HTP 模型基礎(chǔ)上考慮彈靶材料的強(qiáng)度，得到

根據(jù)原文“Capitals are used to denote the initial values of variables”［3］的意思，并結(jié)合原文推導(dǎo)過程，筆者認(rèn)為應(yīng)該寫為下列形式更為合適

式中:V、U 分別表示彈體的入射速度和初始侵徹速度;u、v 分別表示彈體的瞬時(shí)速度和瞬時(shí)侵徹速度; ρp和ρt分別表示長(zhǎng)桿彈和靶板材料的密度;Rp和Rt分別表示彈體和靶板的流變強(qiáng)度。

考慮到彈靶材料密度比為1 時(shí)的情況，侵徹速度與彈體的入射速度的關(guān)系式(2)可寫為

考慮材料密度比為1 時(shí)的情況，可有

式中l(wèi) 和L 分別表示彈體的瞬時(shí)長(zhǎng)度和初始長(zhǎng)度。

2 幾種特殊情況下AT 模型中相關(guān)參數(shù)的解

在推導(dǎo)AT 模型中相關(guān)參數(shù)的一般解之前，先討論幾種特殊情況下相應(yīng)的解，在這幾類特殊情況下，AT 模型能夠做一定的簡(jiǎn)化，因此，求出其解析解變得較為簡(jiǎn)單。

1)ρp=ρt=ρ0且Rp=Rt=σ

此時(shí)，由式(3)、式(4)可有

可定義

分別為彈體的相對(duì)剩余長(zhǎng)度，歸一化瞬時(shí)侵徹深度，彈體的相對(duì)入射動(dòng)能，彈體尾部的相對(duì)瞬時(shí)速度。

式(5)可寫為

假設(shè)彈靶的流變強(qiáng)度皆為1.10 GPa［3］，彈靶的密度為7.80 g/cm3，彈體的入射速度為3 000 m/s，此時(shí)彈體的歸一化瞬時(shí)侵徹深度與彈體尾部的相對(duì)瞬時(shí)速度之間的關(guān)系如圖1 所示。

圖1 侵徹過程中彈體相對(duì)速度與歸一化侵徹深度之間的關(guān)系(I)

從圖1 可以看出，彈體在侵徹主要過程中尾部的速度并不穩(wěn)定，而是呈遞減的趨勢(shì)，而且該遞減速度逐漸加速，直到彈體的動(dòng)能耗盡，彈體的侵徹行為停止。

當(dāng)v=0 時(shí)，根據(jù)式(5)可知彈體侵徹速度u 也為0，亦即是說彈體侵徹過程終止，此時(shí)彈體的侵徹深度即為理論上彈體的最終侵徹深度

從式(8)可知，彈體的最終侵徹深度與彈體的初始長(zhǎng)度L、初始動(dòng)能ρ0V2呈正比，與彈體和靶板的流變強(qiáng)度呈反比σ。

假設(shè)彈靶的流變強(qiáng)度皆為1.10 GPa，彈靶的密度為7.80 g/cm3，則根據(jù)式(8)可以得到歸一化最終侵徹深度與彈體入射速度之間的關(guān)系

從式(9)可以看出，隨著彈體入射速度的增加，其歸一化侵徹深度逐漸增加直到到達(dá)某一值(接近HTP 理論解)時(shí)為止;同時(shí)也可以看出，當(dāng)入射速度較小時(shí)(入射速度低于150 m/s 左右)，侵徹深度隨入射速度的增加緩慢增加，而當(dāng)入射速度大于此值時(shí)，彈體的歸一化侵徹深度與入射速度近似呈線性正比關(guān)系。

2)ρp≠ρt但Rp=Rt=σ

此時(shí)，可有

利用式(6)的定義，可簡(jiǎn)化為

或

同上假設(shè)彈靶的流變強(qiáng)度皆為1.10 GPa，彈體材料的密度為7.80 g/cm3，彈體的入射速度為3 000 m/s，可以得到不同彈靶密度比α 時(shí)，彈體的歸一化瞬時(shí)侵徹深度與彈體尾部的相對(duì)瞬時(shí)速度之間的關(guān)系，如圖2 所示。

圖2 不同彈靶密度比時(shí)侵徹過程中彈體相對(duì)速度與歸一化侵徹深度之間的關(guān)系

結(jié)合圖1，從圖2 中可以看出，首先，隨著彈靶材料密度比的增加，彈體的最大侵徹深度逐漸增大;其次，雖然在主要侵徹過程中，彈體尾部速度都是逐漸減小，但隨著彈靶材料密度比的增加，這種減小的趨勢(shì)逐漸減緩。

當(dāng)v=0 時(shí)，根據(jù)式(10)可知彈體侵徹速度u 也為0，亦即是說彈體侵徹過程終止，此時(shí)彈體的侵徹深度即為理論上彈體的最終侵徹深度

或

同上假設(shè)彈靶的流變強(qiáng)度皆為1.10 GPa，彈體材料的密度為7.80 g/cm3，可以得到不同彈靶密度比α 時(shí)，彈體的歸一化最終侵徹深度P/L 與彈體入射速度V 之間的關(guān)系。從式中可以看出，雖然不同彈靶材料密度比時(shí)，彈體的最大歸一化侵徹深度與彈體入射速度之間的關(guān)系相似，但是在速度足夠大時(shí)(本情況中速度大于1 500 m/s 左右)，決定彈體的最大歸一化侵徹深度的還是彈靶材料密度比。

3)ρp=ρt=ρ0但Rp≠Rt

此時(shí)，式(3)可簡(jiǎn)化為

從式(13)可以看出，當(dāng)彈體的流變強(qiáng)度Rp大于靶板的流變強(qiáng)度 Rt時(shí)，此時(shí)當(dāng)彈體尾部速度減小到 v =時(shí)u=v，即侵徹過程中彈體呈剛體性質(zhì)，也就是說彈體從始至終不存在變形現(xiàn)象，此時(shí)彈體的侵徹深度還包括剛體侵徹的這一階段，此類侵徹行為不屬于純流體動(dòng)力學(xué)的研究范圍，在此不做討論。

當(dāng)Rt-Rp＞0 時(shí)，由式(13)可知，彈體尾部速度減小到時(shí)，彈體侵徹行為停止，此時(shí)即使彈體速度大于0，但彈體的銷蝕速度等于彈體的尾部速度。同時(shí)，該式也說明，只有彈體入射速度大于該值時(shí)，彈體才能對(duì)靶板進(jìn)行有效的侵徹。

此時(shí)，可有

當(dāng)u=0 時(shí)，即是說彈體侵徹過程終止，此時(shí)彈體的侵徹深度即為理論上彈體的最終侵徹深度

式(14)與式(15)的即彈靶材料密度相同時(shí)彈體的瞬時(shí)侵徹深度和最大侵徹深度的一般解。特別地，當(dāng)Rt/Rp=2n +1(n 為任意正整數(shù)，包括0)時(shí)，有

式(16)和式(17)通過簡(jiǎn)單的積分求解能夠到達(dá)具體的解析解。

同上假設(shè)彈靶的流變強(qiáng)度皆為1.10 GPa，彈靶材料的密度為7. 80 g/cm3，彈體的入射速度為3 000 m/s，根據(jù)式(16)，可以得到不同靶彈流變強(qiáng)度比時(shí)，彈體尾部的相對(duì)速度與歸一化瞬時(shí)侵徹深度一直的關(guān)系，如圖3 所示。

圖3 不同靶彈流變強(qiáng)度比時(shí)侵徹過程中彈體相對(duì)速度與歸一化侵徹深度之間的關(guān)系

從圖3 可以看出，隨著靶板和彈體流變強(qiáng)度比逐漸增大，在侵徹“準(zhǔn)穩(wěn)定”過程中的前期彈體尾部速度變化不明顯，但在后期，其速度的減少趨勢(shì)逐漸增大，而且，其最終侵徹深度也逐漸減小。

同上假設(shè)彈靶的流變強(qiáng)度皆為1.10 GPa，彈靶材料的密度為7.80 g/cm3，根據(jù)式(17)，可以得到不同靶彈流變強(qiáng)度比時(shí)，彈體的入射速度與歸一化最大侵徹深度之間的關(guān)系。結(jié)果表明，當(dāng)靶板與彈體流變強(qiáng)度比大于1 時(shí)，彈體的入射速度必須大于一定值才能對(duì)靶板進(jìn)行有效的侵徹，這種速度可以稱之為最小臨界速度(此種動(dòng)能也可稱之為最小臨界動(dòng)能［7-8］)，隨著此比值逐漸增加，其最小臨界速度也隨之增大，當(dāng)靶彈流變強(qiáng)度為3 和5 時(shí)，彈體的最小臨界速度分布為751 m/s 和1 062 m/s;其次，隨著靶彈流變強(qiáng)度比的增加，相同入射速度下彈體的最大歸一化侵徹深度逐漸降低; 第三，靶彈流變強(qiáng)度比值的增加，雖然相同入射速度下其最大歸一化侵徹深度會(huì)減小，但同時(shí)提高其入射速度后，極限的歸一化侵徹深度基本相似，此時(shí)提高入射速度效果并不是很明顯，提高最大臨界侵徹深度理論上最有效的手段是提高彈靶材料密度比。

3 AT 模型中相關(guān)參數(shù)的一般解的分析

對(duì)AT 模型中的一般情況下的解進(jìn)行推導(dǎo)分析。在此暫不考慮彈靶密度相等時(shí)的情況，另外，同上分析，當(dāng)彈體的流變強(qiáng)度大于靶板的流變強(qiáng)度時(shí)，彈體的侵徹過程中存在剛體侵徹過程，此時(shí)AT 模型的適用性值得探討，暫不考慮，只考慮彈體流變強(qiáng)度小于靶板流變強(qiáng)度時(shí)的情況(兩者相等時(shí)的情況上文已做討論，并得到具體的解析解;同時(shí)，需要注意的是，彈體流變強(qiáng)度小于靶板的流變強(qiáng)度并不代表彈體材料的動(dòng)態(tài)屈服強(qiáng)度小于靶板材料的動(dòng)態(tài)屈服強(qiáng)度)。

根據(jù)上文的分析有

式中相關(guān)符號(hào)的意義同前文。

可有

即

式中

將式(18)代入式(20)，可以得到

根據(jù)上述參數(shù)代表的物理意義，可以定義以下的無量綱參數(shù)

則有

式中

為一個(gè)常量，至于彈體入射速度、靶彈材料密度比、彈靶的流變強(qiáng)度相關(guān)。

當(dāng)彈體尾部速度減小到

4 結(jié)論

1)Tate 等提出的AT 模型的推導(dǎo)過程中沒有考慮到彈靶材料密度比為1，即彈靶材料密度相等時(shí)的情況(此時(shí)推導(dǎo)過程中存在表達(dá)式分母為0 的情況)，然而，原文中最后的實(shí)例分析卻使用彈靶材料密度相等時(shí)的情況討論理論分析結(jié)果，從而存在邏輯的不足之處，本文對(duì)此進(jìn)行了分析、修改與完善。

2)對(duì)AT 模型的理論方程進(jìn)行了推導(dǎo)，得到其一般情況下核心參數(shù)如彈體瞬時(shí)侵徹深度、彈體最大侵徹深度等解析解的表達(dá)式。

3)針對(duì)彈靶材料密度比相等、彈靶流變強(qiáng)度相等、靶彈流變強(qiáng)度比為奇數(shù)等特殊情況下相關(guān)參數(shù)的精確解析解進(jìn)行了推導(dǎo)，并利用實(shí)例對(duì)彈靶密度比、彈靶流變強(qiáng)度比等因素對(duì)侵徹行為的影響規(guī)律進(jìn)行了分析和討論。

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