離散時間T-S模糊系統的新型狀態反饋控制設計

趙成龍，薛 欣，張 友

（1.泰山職業技術學院，山東泰安271000；2.泰山學院數學與統計學院，山東泰安271021；3.東北師范大學計算機科學與信息技術學院，吉林長春130117）

離散時間T-S模糊系統的新型狀態反饋控制設計

趙成龍1，薛 欣2，張 友3

（1.泰山職業技術學院，山東泰安271000；2.泰山學院數學與統計學院，山東泰安271021；3.東北師范大學計算機科學與信息技術學院，吉林長春130117）

針對離散時間T-S模糊系統的控制設計問題，設計了一種新型的非-PDC型模糊狀態反饋控制器.在模糊狀態反饋控制器設計過程中，采用了一種全新的模糊李亞普諾夫函數和一種新穎的松弛變量技術，可以為狀態反饋控制設計引入更多的自由度，因此可以獲得比以往結果保守性更小的模糊鎮定控制條件.特別是以線性矩陣不等式形式給出的模糊鎮定控制條件可以很方便地利用Matlab工具箱來進行求解.最后，使用一個經典的仿真算例驗證了所得結果的有效性.

離散時間系統；狀態反饋；T-S模糊模型；松弛變量技術；線性矩陣不等式

0 引言

在實際工業過程控制中，相當數量的控制對象屬于非線性系統，因而對于非線性控制系統所開展的穩定性分析和控制設計方向的研究吸引了眾多控制領域學者的注意力和研究興趣.自從20世紀80年代中期以來，T-S模糊模型［1］已被廣泛作為有效處理非線性控制系統的穩定性分析和控制設計等問題的手段.特別是王立新在文獻［2］中成功證明了T-S模糊模型能夠以任意精度逼近定義在緊集上的一個連續非線性函數，從理論上保證了T-S模糊模型處理非線性控制系統問題可行性.在使用T-S模糊模型的非線性系統控制設計研究中，文獻［3］給出了著名的并聯分布補償（PDC）技術，構建了模糊狀態反饋控制的一般化設計架構，引發了該研究方向的一股研究熱潮［4－8］.需要指出的是，基于上述PDC技術獲得的模糊鎮定控制條件的保守性通常比較大，在很大程度上限制了T-S模糊模型在非線性控制領域的正常使用.于是，很多文獻在如何降低基于PDC技術的模糊控制系統鎮定控制條件保守性方面做了大量同質化的研究工作［4－8］.其中，文獻［4］首次通過引入附加變量的思想把各個模糊子系統之間的耦合關系投射到一個增廣矩陣內，得到相比文獻［3］保守性要小的模糊鎮定控制條件；文獻［8］將數學領域的Polya's定理推廣到模糊控制設計中，完成了基于PDC技術框架下的一種漸近充要條件的理論性證明.然而，受制于PDC技術本身固有的缺點，上述漸近充要條件在本質上依然具有較大的保守性，是因為所使用的是普通二次型李亞普諾夫函數，因而結果為常規二次型鎮定控制條件［9］.需要特別指出的是模糊隸屬函數為T-S模糊系統的重要組成部分，因此在系統的狀態反饋控制設計過程中，如何將蘊含在模糊隸屬函數的有用信息融合和運用是結果保守性降低的一條有效途徑［9－11］.在使用模糊李亞普諾夫函數進行穩定性分析時，文獻［12］設計了一種針對離散時間T-S模糊系統的非-PDC狀態反饋控制律，顯著減少了已有結果的保守性.

為了進一步減少離散時間T-S模糊系統控制設計的保守性，本文提出了一種新型的非-PDC模糊狀態反饋控制器.證明已有文獻中的模糊狀態反饋控制器為本文提出非-PDC模糊狀態反饋控制器的一個特例.此外，本文還設計了一種新型的模糊李亞普諾夫函數和一種與之配套的松弛變量技術來進一步減小相關結果的保守性.上述方法的協同實施使得在模糊控制設計時可以更有效地考慮到蘊含在模糊隸屬函數中的可用系統信息，得到比已有文獻結果的保守性更小的控制設計條件，最終達到擴大T-S模糊模型在非線性控制領域的應用范圍的目的.

1 預備知識

1.1 離散時間T-S模糊系統

我們考慮一個由若干組模糊規則所組成的離散時間T-S模糊系統［1］：

其中：x（t）∈Rn表示系統狀態變量；u（t）∈Rm為系統控制輸入信號；Ai∈Rn×n；Bi∈Rn×m；ξ1（t），…，ξp（t）為模糊系統前件變量；r表示模糊規則數；Mij（i＝1，2，…，p；j＝1，2，…，r）為模糊集函數.

上述離散時間模糊系統的全局模型可以表示為

1.2 放松性離散時間T-S模糊狀態反饋控制器

基于非-PDC控制思想，文獻［12］提出了一種模糊狀態反饋控制器

基于上述模糊狀態反饋控制器，文獻［12］給出了一組不同于以往的離散時間T-S模糊控制系統鎮定控制條件，它與先前文獻相比具有更弱的保守性特征.在其證明中，如下數學引理起到了一定作用.

引理1［12］對于適當維數的矩陣A，P＋和P，矩陣不等式ATP＋A－P＜0成立的一個充分條件為存在矩陣并使得如下矩陣不等式成立：

其中He（G）＝G＋GT.

注1 文獻［12］在系統設計中考慮了不同于傳統PDC技術的狀態反饋控制器，仿真實驗證明它所得鎮定控制的保守性比文獻的小.另一方面，狀態反饋控制器（3）和模糊李亞普諾夫函數的共同作用則為保守性的持續減弱發揮了作用.這也給我們以啟示：若設計者從控制器組成結構、模糊李亞普諾夫函數組成架構、松弛變量引入方法等不同方面進行協調優化，充分地將蘊含在模糊隸屬函數的有用信息融合控制設計中，則可以為獲得保守性更弱的離散時間T-S模糊系統鎮定控制條件提供保證.

2 主要結果

文獻［12］中所得到的模糊鎮定控制條件的保守性還是比較大的，這也在很大程度上限制文獻［12］所得理論研究成果在實際控制設計中的廣泛使用.為達到進一步減弱模糊鎮定控制條件保守性的目的，我們提出一種新型的非-PDC狀態反饋控制器設計方法以及與之配套的模糊李亞普諾夫函數，輔之相應的松弛變量技術，保證在系統控制設計中能夠更加有效地考慮蘊含在隸屬函數中的有用信息，最大限度地減弱所得結果的保守性，以期增大T-S模糊模型在實際控制系統設計應用中的范圍.

首先，給出如下形式的一種新型非-PDC模糊狀態反饋控制器.即

其中矩陣Fij和Gij表示待求解的控制增益矩陣.把新型非-PDC模糊狀態反饋控制器（5）代入到離散時間T-S模糊控制系統（2）之后，相應離散時間T-S模糊控制系統（2）的閉環表示形式變為

這里

定理1 在新型非-PDC模糊狀態反饋控制器（5）作用下的離散時間T-S模糊控制系統（2），若有矩陣

使得如下線性矩陣不等式成立：

其中：則離散時間T-S模糊閉環控制系統（6）是漸近穩定的.

證明 這里，我們用x，hi來代替x（t），hi（ξ（t））.并且使用如下形式的模糊李亞普諾夫函數

其中：

對V（x）沿閉環系統（6）求取一階差分可得

由（12）式可以看出，如果如下不等式成立則系統（6）是漸近穩定的：

對（13）式兩邊左乘和右乘Gzz（t）后得到

使用引理1，可得保證不等式（14）成立的一個充分條件為如下不等式成立：

對式Π變換求和次序可得

式中

進一步，有

此時，由（7）—（9）式可得

其中：

于是，若（10）式成立，那么Πmn＞0也成立.換句話說，離散時間T-S模糊閉環控制系統（6）是漸近穩定的，定理得證.

注2 通過設計新型的非-PDC模糊狀態反饋控制器（5）、模糊李亞普諾夫函數（13）以及定理中的松弛變量引入方法等措施，所得到的T-S模型系統鎮定控制條件（7）—（10）具有比以往結果更小的保守性.需要指出的是，如果令Fij＝Fi＋Fj和Gij＝Gi＋Gj，則本文給出的新型模糊狀態控制器（5）退化為文獻［12］中提出的模糊狀態控制器（3），也就是說，文獻［12］中所提出的控制器是本文方法的一個特例.

3 仿真驗證

考慮下面一類離散時間T-S模糊控制系統［12］

其中

這里，使用可調參數β的可鎮定范圍來進行定理1與文獻［12］方法之間保守性強弱關系的比較.

不失一般性，采用文獻［12］給出的已有方法進行控制設計時，可調參數β的鎮定范圍為β≤1.69；而采用本文給出的定理1進行控制設計時可調參數β的可鎮定范圍為β≤1.76.因此，從以上對比結果中可以知道定理1對應的可行域要大于文獻［12］方法對應的可行域，換句話說，定理一得到的模糊鎮定控制條件對應的保守性更弱.

設定β＝1.76，該點采用文獻［12］給出的已有方法進行控制設計時是不可行點，但在采用本文給出的定理1進行控制設計時具有可行解，即上述2種設計方法中唯有使用定理1才能使得該系統漸近穩定.對定理1給出的相關線性矩陣不等式（7）—（10）進行求解，得到新型非-PDC模糊控制律（5）的系統控制增益矩陣如下：

設定系統初始值為x（0）＝［1.76，2.49］T，在圖1中給出了在上述控制增益矩陣控制作用下系統的狀態軌跡變化情況.由圖1可以看出在控制器控制下整個閉環系統是漸近穩定的.

圖1 閉環系統狀態軌跡圖

4 結語

本文給出了一種離散時間T-S模糊控制系統的新型狀態反饋控制設計結果.提出新型的非-PDC狀態反饋控制器、更豐富內涵的模糊李亞普諾夫函數和與之配套的松弛變量技術，能夠顯著降低模糊狀態反饋控制設計結果的保守性.從仿真結果可以看出本文所給出方法是有效的.

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Novel state feedback control design of discrete-time T-S fuzzy systems

ZHAO Cheng-long1，XUE Xin2，ZHANG You3
（1.Taishan Ploytechnical Institute，Taian 271000，China；2.College of Mathematics and Statistics，Taishan University，Taian 271021，China；3.School of Computer Science and Information Technology，Northeast Normal University，Changchun 130117，China）

A new kind of non-PDC fuzzy state feedback controller has been proposed for dealing with the problem of control synthesis of the discrete-time Takagi-Sugeno fuzzy systems.Both a new fuzzy Lyapunov function and a novel slack variable technique have been developed in the process of fuzzy state feedback control designs.Since more freedom is introduced in virtue of the above measures，the obtained stabilization conditions are less conservative than existing ones.In particular，the underlying fuzzy stabilization conditions proposed in this paper are in terms of linear matrix inequality which is easy to be solved by using the Matlab tools.Finally，a classical numerical example is also provided to illustrate the effectiveness of the proposed results.

discrete-time systems；state feedback；T-S fuzzy model；slack variable technique；linear matrix inequality（LMI）

TP 273 ［學科代碼］ 520·30

A

（責任編輯：石紹慶）

1000-1832（2015）03-0072-06

10.16163／j.cnki.22-1123／n.2015.03.016

2014-07-04

國家自然科學基金資助項目（21127010）.

趙成龍（1969—），男，副教授，主要從事計算機應用及數據挖掘；通訊作者：張友（1971—），男，副教授，主要從事控制論與模式識別研究.