新三維非線性混沌系統的動力學分析

付木亮，張 勇，張光云，盧振坤

（1.河南工業職業技術學院基礎教學部，河南南陽473000；2.西南石油大學外國語學院，四川成都610500；

3.廣西民族大學信息科學與工程學院，廣西南寧530006）

新三維非線性混沌系統的動力學分析

付木亮1，張 勇1，張光云2，盧振坤3

（1.河南工業職業技術學院基礎教學部，河南南陽473000；2.西南石油大學外國語學院，四川成都610500；

3.廣西民族大學信息科學與工程學院，廣西南寧530006）

基于動力系統的理論和方法，采用理論分析和Matlab仿真相結合的方式，在已有文獻研究的基礎上，研究了一個新三維混沌系統的復雜動力學行為，包括混沌系統的散度和吸引子的存在性、平衡點及其數目、全局吸引域、對稱性和正向不變集等.該研究結果是已有文獻的推廣，Matlab模擬驗證了計算理論的正確性.

混沌系統；混沌吸引子；不變集；數值仿真

混沌的理論起源于1900年龐加萊對于三體問題的研究，發現它的運動軌跡是非周期的，也不趨于固定點.1963年，Lorenz發現了第一個混沌吸引子，從此，混沌在數學、物理、化學、計算機工程、神經網絡、圖像處理等領域得到了廣泛的研究和應用［1－5］；1999年，Chen等人發現了1個新的Chen混沌吸引子，Chen混沌吸引子與Lorenz混沌吸引子在拓撲結構上是不等價的；2002年，Chen與Lü等人發現了Lü混沌吸引子，Lü混沌吸引子是連接Lorenz混沌吸引子與Chen混沌吸引子之間的紐帶；此后，Qi等人發現了一個有5平衡點的新混沌系統.從此，新的混沌系統不斷得到發現，并且這些新混沌系統的動力學行為也得到了一系列的分析和應用［6］.

混沌系統的吸引集是研究混沌系統定性理論的一個重要方面［4］.早在1987年，Leonov首次研究了Lorenz混沌吸引子的有界性基于動力系統的理論和方法［7］；2007年，Qin和Chen等人研究了Chen混沌吸引子的有界性；2010年，文獻［8］研究了Lü混沌吸引子的有界性.基于以上研究工作的啟發和方法，本文研究了一個新三維混沌系統的復雜動力學行為，并且給出計算機仿真.

1 數學模型及其主要結果

文獻［9］提出的一個新三維混沌系統的方程為：

這里a，b，c，d為系統（1）正參數.當a＝5，b＝16，c＝1時，系統（1）軌線相圖見圖1.

對于一個新的混沌系統，它的一些基本的非線性動力學行為是令人關注的.

1.1 對稱性和不變性

系統（1）具有自然的對稱性，即在坐標變換（x，y，z）→（－x，－y，z）下，系統（1）保持不變.z軸為系統（1）的不變集，并且從z軸上任何點出發的軌線當t→＋∞時都趨于原點.

圖1 系統（1）軌線的相圖

1.2 耗散性和吸引子的存在性對系統（1），有：

則系統（1）的散度為

1.3 平衡點

對于混沌系統（1），當b＞c時，系統（1）只有3個平衡點，分別為：

1.4 全局吸引性

定理1 對任意的a＞0，b＞0，c＞0，λ＞0，系統的軌線（1）存在指數估計式

有

為系統（1）的一個全局指數吸引集.其中：

證明 定義廣義正定、徑向無界的李雅普函數為

當V （X （t））＞L0，V （X （t0））＞L0，沿著系統（1）求導

對上述不等式兩邊積分，當V （X （t））＞L0，V （X （t0））＞L0，有

令t→＋∞，對上述不等式兩邊取上極限

集合

為系統（1）的一個全局指數吸引集，有

注 當λ＝1時，即為文獻［10］中的結果.

定理2 對任意的a＞0，b＞0，c＞0，系統（1）存在指數估計式

集合

為系統（1）的一個全局指數吸引集.其中：

證明 定義V1（X）＝y2＋z2，當V1（X （t））＞M，V1（X （t0））＞M，沿著系統（1）求導得

對上述不等式兩邊積分，當V1（X（t））＞M，V1（X （t0））＞M，有

令t→＋∞，對上述不等式兩邊取上極限

2 數值模擬

取參數a＝5，b＝16，c＝1，這時由定理θ＝min （a，c，1）＝1，β＝min （c，1）＝1，系統的2個全局指數吸引集為：

特別的，取λ＝1，這時有

系統（1）的正半軌線界估計如圖2所示.

圖2 系統（1）正半軌線最終界估計圖

3 結論

本文基于動力系統的基本理論和方法，采用理論分析和Matlab仿真相結合的方式，在已有文獻研究的基礎上，研究了一個新三維混沌系統的一些復雜的動力學行為，包括新混沌系統的耗散性和吸引子的存在性、系統的對稱性、混沌系統的平衡點及其個數、混沌系統的全局吸引域、系統的不變集等，對于該混沌系統吸引域的研究推廣了文獻中的已有結果，同時給出了相應的Matlab仿真，Matlab仿真驗證了本文計算理論的可行性和正確性.

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［2］ 梁春輝，張運波，孟祥萍，等.自適應反演控制在一類非線性系統中的應用［J］.東北師大學報：自然科學版，2014，46（4）：66-71.

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Dynamical analysis of a new nonlinear 3Dchaotic system

FU Mu-liang1，ZHANG Yong1，ZHANG Guang－yun2，LU Zhen-kun3
（1.Department of Basic Teaching，Henan Polytechnic Institute，Nanyang 473000，China；2.School of Foreign Languages，Southwest Petroleum University，Chengdu 610500，China；3.Institute of Information Science and Engineering，Guangxi University for Nationalities，Nanning 530006，China）

Based on the theory and the method of dynamical systems，this paper further investigates complex dynamical behaviors of a new chaotic system including the chaotic attractor of the system，the divergence of the system，the equilibria of the system，the number of equilibrium point of the system，global attractive set，symmetry and invarian sets by theoretical analysis and Matlab simulation combined method.The results of this paper generalize the existing results available in the literature.Matlab simulation verifies the correctness of the theoretical calculation.

chaotic system；chaotic attractor；invariant set；matlab simulations

O 29；O 242.1 ［學科代碼］ 110·61

A

（責任編輯：石紹慶）

1000-1832（2015）03-0068-04

10.16163／j.cnki.22-1123／n.2015.03.015

2014-02-08

廣西省自然科學基金資助項目（2014GXNSFBB118005）.

付木亮（1978—），男，講師，主要從事數學理論研究.