內余分裂李代數的唯一性

沈彩霞

（江蘇大學理學院，江蘇鎮江212013）

內余分裂李代數的唯一性

沈彩霞

（江蘇大學理學院，江蘇鎮江212013）

復數域上的有限維李代數L是弱余分裂的當且僅當［L，L］＝L，而當L半單一定是余分裂的.但復數域上余分裂李代數是否一定半單仍然是開問題.證明了復數域C上的有限維李代數是內余分裂李代數當且僅當它是半單的，而且它的內余分裂結構是唯一的.

余分裂；內余分裂；唯一性

1 預備知識

文獻［1］介紹了一種新的“李代數-李余代數”結構，稱為余分裂李代數，即一個李代數（L，μ）上被賦予一個李余代數結構（L，δ），使得μ?δ等于恒等變換.當μ?δ在某組基下為非退化對角變換時，稱（L，μ，δ）是一個弱余分裂李代數.

定義1.1［1］一個余分裂李代數是一個在F-向量空間L上賦予兩個F-線性映射，μ：L?FL→L，δ：L→L?FL，使得下列條件成立：

（1）（L，μ）是一個李代數；

（2）（L，δ）是一個李余代數；

（3）μ?δ＝idL.

文獻［1］中的一個重要結果是任意有限維復單李代數有一個余分裂結構.其給出的δ的結構在文獻［2］中被解釋為某個L-模同態，并且將其結果推廣到更大的范圍.文獻［2］中的余乘結構是算子

的某個常數倍數，這里是伴隨表示的Casimir算子.

顯然，任意的（弱）余分裂李代數L一定滿足條件［L，L］＝L.文獻［3］證明了復數域上任意有限維李代數L＝［L，L］一定是一個弱余分裂李代數，反之亦然.文獻［3］還給出了正特征域上的一類非半單的余分裂李代數的例子.文獻［4-6］則對余分裂李代數的相關內容做了研究.

在復數域C上，任意的有限維半單李代數都是余分裂的，而我們還沒能發現C上的非半單余分裂李代數的例子.同時，目前所知道的域F（特征charF＝p＞0）上的非半單余分裂李代數都是通過半單李代數的Casimir元素構造的.對這一問題，我們做出如下猜想：

猜想1.1 設L是一個復數域C上的有限維李代數，則L是余分裂的當且僅當L是半單的.

如果這一猜想成立，則復數域C上的半單李代數就有了一個新的簡單的等價定義.因此這一問題對于李代數的結構理論來說是非常有趣的.

本文證明一個比較弱的結論.我們希望這一結論將有助于猜想1.1的研究.

定義1.2 假設（L，μ，δ）是一個余分裂李代數.如果存在

對所有x∈L成立，則稱（L，μ，δ）（或L）是一個內余分裂李代數.

通常情況下，把μ（a?b）記為［a，b］，這不會引起任何混淆.下面是本文的主要結果.

定理1.1 設L是復數域C上的有限維李代數，則L是一個內余分裂李代數當且僅當L是半單的.特別地，對任意的復李代數L來說，它的內余分裂結構是唯一的.

2 內余分裂李代數

為方便起見，固定L的一組基元素x1，…，xn，其中n＝dimL，則對一個內余分裂李代數L，可以假設它的余乘法為

其中z1，…，zn∈L.

特別地，復數域C上的任意有限維半單李代數都是內余分裂的，這可以由文獻［1-2］的結果得到.

證明 由余分裂李代數及余乘δ的定義，我們有

則對任意的x∈L，

因此

對所有的zi，可以得到

引理2.1 如果L是內余分裂李代數，則L是半單的.

證明 設L＝S＋I是L的Levi分解，其中S是半單李代數，I可解并且是一個S-模.由于L余分裂，可推出I是冪零的.

若I≠0，設δ＝δ1＋δ2＋δ3＋δ4，其中

對

任意的x∈I，由

的反對稱性可知

則

從而對任意的x∈I，有x＝∈（μ?（δ2＋δ4））（x）∈［I，I］，這與I的可解性矛盾.

所以I＝0，進而L＝S是半單的.

引理2.2 如果L有非平凡的直和分解L＝L1⊕L2，并且（L，μ，δ）是內余分裂李代數，則（Li，μ｜Li?Li，δ｜Li）也是內余分裂李代數.

證明 假設δ＝δ1＋δ2＋δ3＋δ4，其中

和引理2.1的證明類似，可以得到δ2＝δ3＝0.則：

進一步，由δ的反對稱性可以得到δ1和δ4的反對稱性，由δ的Jacobi可以得到δ1和δ4的Jacobi.引理得證.

3 定理的證明

由命題2.1和引理2.1—2.2可知，要證明定理1.1，只需證明下面的命題.

命題3.1 若L是復數域上的一個有限維單李代數，則它有一個唯一的內余分裂結構.

證明 由文獻［1-2］的結果，內余分裂結構的存在性已經得到證明.

設x1，…，xn是L的一組基，并且δ，使得（L，［，］，δ）是一個內余分裂李代數.令L為z1，…，zn生成的李子代數.

情形1 L≠L.

可以假設基元素x1，…，xn，使得L＝spanC｛x1，…，xr｝，其中dimL＝r＜n.對任意的zk，由

的反對稱性可推出［zi，zk］＝0，對所有的i＞r≥k成立.因此對任意的k＞r，有

所以zr＋1＝…＝zn＝0，并且

由于L是單的，我們可以找到x∈L和某個zi，使得［zi，x］?L.則

不滿足反對稱性，矛盾.

情形2 L＝L.

首先h是L的一個Cartan子代數，｛α1，…，αl｝由h決定素根系，其中l＝dimh＝Rank（L）.Δ為L的根系，并且｛x1，…，xn｝選擇為Chevalle基

特別地，我們可以找到一個元素h∈h，使得［h，Xα］＝ht（α）Xα，其中對所有的根α＝成立.則由引理2.2可得，zi＝ciX－α對所有xi＝Xα，α∈Δ成立.如果存在某個k使得xi＝hk，則zi∈h.

下面考慮δ（Xαi）.它有加法項和其他的不含半單元的加法項構成.由δ的反對稱性可知，對所有的1≤i≤l，有ci＝h′i（αi），并且對所有的i≠j有h′i（Xαj）＝0.所以h′i＝ciωi，其中ωi使得ωi（αj）＝δi，j.

經過類似的討論可知，zi＝cαX－α.其中當xi＝Xα，且

假設y1，…，yn是基x1，…，xn的對偶基.存在唯一的常數C，使得是一個余分裂李代數.由唯一性可知，對每個1≤i≤n都有zi＝Cyi.

［1］ XIA LIMENG，HU NAIHONG.Introduction to co-split Lie algebras［J］.Algebr Represent Theory，2011，14：191-199.

［2］ FARNSTEINER R.Lie algebras with a co-algebra splitting［J］.Algebr Repres Theory，2011，14：87-96.

［3］ XIA LIMENG.Note on co-split Lie algebras［J］.Chin Ann Math，2012，33B（5）：651-656.

［4］ 沈彩霞，夏利猛.一類Cartan型余分裂李代數的例子［J］.東北師大學報：自然科學版，2010，42（4）：17-20.

［5］ 夏利猛，沈彩霞.具有非退化Killing型的余分裂李超代數［J］.東北師大學報：自然科學版，2009，41（4）：9-12.

［6］ 夏利猛，胡乃紅.A（m，n）型余分裂李超代數［J］.數學年刊，2008，29（6）：1-4.

Inner co-split Lie algebras and its uniqueness

SHEN Cai-xia
（Faculty of Science，Jiangsu University，Zhenjiang 212013，China）

A finite-dimensional Lie algebra Lover Cis weak co-split if and only if［L，L］＝L，and each semi-simple Lis co-split.However，it is still open that if a co-split Lie algebra over C must be semisimple.In the present short note，we prove that a finite-dimensional Lie algebra over complex number field Cis an inner co-split Lie algebra if and only if it is semi-simple.Moreover，its inner co-split structure must be unique.

co-split；inner co-split；uniqueness

O 152.5 ［學科代碼］ 110·2125

A

（責任編輯：陶 理）

1000-1832（2015）03-0040-04

10.16163／j.cnki.22-1123／n.2015.03.009

2014-02-04

國家自然科學基金資助項目（11271164）；江蘇省政府留學獎學金和江蘇大學高級人才啟動基金資助項目（07JDG038）.

沈彩霞（1977—），女，博士，副教授，主要從事李代數研究.