一維雙極量子流體動力學等溫模型穩態解的唯一性

董建偉，張又林

（1.鄭州航空工業管理學院數理系，河南鄭州450015；2.鄭州航空工業管理學院圖書館，河南鄭州450015）

一維雙極量子流體動力學等溫模型穩態解的唯一性

董建偉1，張又林2

（1.鄭州航空工業管理學院數理系，河南鄭州450015；2.鄭州航空工業管理學院圖書館，河南鄭州450015）

研究一個耦合的四階橢圓方程組此方程組來源于一維半導體器件中雙極量子流體動力學等溫穩態模型.在某些條件下利用一些不等式技巧證明了此方程組解的唯一性.

量子流體動力學模型；穩態解；唯一性

1 主要結果

眾所周知，量子流體動力學模型是重要的半導體宏觀量子模型之一.由于半導體器件的宏觀模型便于給出合適的物理邊界條件，也便于進行數值模擬，所以這一類模型是眾多數學家和物理學家的研究熱點.文獻［1-6］研究了一種耗散的量子流體動力學模型，即量子Navier-Stokes方程組.文獻［7-10］研究了一種雙極量子流體動力學模型.由于雙極量子流體動力學模型具有非線性、耦合性及高階性的特點［11］，所以其解的存在性及唯一性的研究比較困難.

文獻［10］在一維有界區域（0，1）上研究了雙極量子流體動力學等溫穩態模型解的存在性，作者通過變形把該模型轉化為一個四階橢圓方程組的混合邊值問題：

其中：eu，ev分別表示電子濃度和空穴濃度；δ＞0表示標度的普朗克常數；C（x）表示帶電粒子雜質的濃度；常數j0，j1，τe，τi分別表示電子電流密度、空穴電流密度、電子動量弛豫時間和空穴動量弛豫時間.文獻［10］的主要結果是如下定理：

定理1 設C（x）∈L2（0，1，其中M1，M2分別是

和

的解，則問題（1）—（4）存在弱解（u，v）∈H20（0，1）×H20（0，1），且

本文將證明問題（1）—（4）解的唯一性.

定理2 設定理1中的條件成立，且j0，j1，δ，‖C（x）‖L2（0，1）充分小，使得

則問題（1）—（4）的弱解（u，v）∈H20（0，1）×H20（0，1）是唯一的.

注1 由（5）式和（6）式可知，當‖C（x）‖L2（0，1），j0和j1充分小時，M1，M2也會充分小，從而可使（8）式及（9）式中的

2 定理證明

由文獻［10］中的引理1知，若（u，v）∈H20（0，1）×H20（0，1）是問題（1）—（4）的一個弱解，則

所以

這里（11）式中用到了M1的定義（見（5）式），從而再由邊界條件（3）式，H?lder不等式及Young不等式知，

同理可證

設（u1，v1），（u2，v2）∈H20（0，1）×H20（0，1）是問題（1）—（4）的兩個弱解，用u1－u2分別作為

的試驗函數，并兩式相減得

由（13）式及Young不等式知

由函數f（x）＝ex的單調遞增性知

所以再由微分中值定理、（7）式、Young不等式及Poincaré不等式得

其中θ∈（0，1）.由微分中值定理及（7）式，

其中θ∈（0，1）.所以再由（7）式、（13）式、H?lder不等式及Poincaré不等式知

由微分中值定理、（7）式、H?lder不等式及Poincaré不等式知

其中θ∈（0，1）.

由（15）—（19）式可得

同理，用v1－v2分別作為

的試驗函數，且兩式相減，并進行類似以上的估計可得

由（20）式與（21）式兩邊相加得

所以再由條件（8）—（9）式知，u1＝u2，v1＝v2.定理2得證.

［1］ JUNGEL A.Global weak solutions to compressible Navier-Stokes equations for quantum fluids［J］.SIAM J Math Anal，2010，42（3）：1025-1045.

［2］ JUNGEL A.Effective velocity in compressible Navier-Stokes equations with third-order derivatives［J］.Nonlinear Analysis，2011，74（8）：2813-2818.

［3］ DONG JIANWEI.A note on barotropic compressible quantum Navier-Stokes equations［J］.Nonlinear Analysis，2010，73（4）：854-856.

［4］ DONG JIANWEI.Classical solutions to one-dimensional stationary quantum Navier-Stokes equations［J］.J Math Pures Appl，2011，96（5）：521-526.

［5］ DONG JIANWEI，ZHANG YOULIN，WANG YANPING.On the blowing up of solutions to one-dimensional quantum Navier-Stokes equations［J］.Acta Mathematicae Applicatae Sinica：English Series，2013，29（4）：855-860.

［6］ 董建偉，張又林，王艷萍.一維穩態量子Navier-Stokes方程組分析［J］.數學物理學報，2013，33（4）：719-727.

［7］ ZHANG GUOJING，ZHANG KAIJUN.On the bipolar multi-dimensional quantum Euler-Poisson system：the thermal equilibrium solution and semiclassical limit［J］.Nonlinear Analysis，2007，66（10）：2218-2229.

［8］ ZHANG GUOJING，LI HAI-LIANG，ZHANG KAIJUN.Semiclassical and relaxation limits of bipolar quantum hydrodynamic model for semiconductors［J］.Journal of Differential Equatios，2008，245（6）：1433-1453.

［9］ LI HAI-LIANG，ZHANG GUOJING，ZHANG KAIJUN.Algebraic time decay for the bipolar quantum hydrodynamic model［J］.Mathematical Models and Methods in Applied Sciences，2008，18（6）：859-881.

［10］ 董建偉，程少華.一維雙極量子流體動力學等溫模型穩態解的存在性［J］.華中師范大學學報：自然科學版，2013，47（4）：461-464.

［11］ 謝嘉寧，袁洪君.一類燃燒非牛頓流強解的存在唯一性［J］.東北師大學報：自然科學版，2014，46（4）：15-21.

Uniqueness of stationary solutions to 1-d isothermal bipolar quantum hydrodynamic model

DONG Jian-wei1，ZHANG You-lin2
（1.Department of Mathematics and Physics，Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry Management，Zhengzhou 450015，China；2.Library，Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry Management，Zhengzhou 450015，China）

The following coupled fourth-order elliptic system is studied：

The system originates from the 1-d stationary isothermal bipolar quantum hydrodynamic model for semiconductor device.The uniqueness of the solutions to the system is proved under some conditions by using some inequality techniques.

quantum hydrodynamic model；stationary solutions；uniqueness

O 175.29 ［學科代碼］ 110·4740

A

（責任編輯：陶 理）

1000-1832（2015）03-0033-04

10.16163／j.cnki.22-1123／n.2015.03.007

2014-02-25

河南省科技廳基礎與前沿技術研究計劃項目（132300410373）；河南省教育廳科學技術研究重點項目（12A110024）；鄭州航空工業管理學院青年科研基金資助項目（2013111001，2014113002，2015113001）；航空科學基金資助項目（2013ZD55006）；河南省高等學校青年骨干教師資助計劃項目（2013GGJS-142）.

董建偉（1980—），男，碩士，副教授，主要從事偏微分方程研究.