Gierer-Meinhardt模型的穩(wěn)定分析和時(shí)空分歧

李海俠

（寶雞文理學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西寶雞721013）

Gierer-Meinhardt模型的穩(wěn)定分析和時(shí)空分歧

李海俠

（寶雞文理學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西寶雞721013）

在齊次Neumann邊界條件下，討論了Gierer-Meinhardt模型的穩(wěn)態(tài)分歧和Hopf分歧.給出了正常數(shù)解的穩(wěn)定性.利用分歧理論、空間分解和隱函數(shù)定理研究了系統(tǒng)的單重和二重分歧，并且以d2為分歧參數(shù)考察了系統(tǒng)的Hopf分歧，得到了非齊次周期解存在的條件.

Gierer-Meinhardt模型；分歧；雙重特征值；Hopf分歧

0 引言

反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的模式形成于包括化學(xué)和生物系統(tǒng)的各種機(jī)理中，是非線性物理學(xué)中最有趣的現(xiàn)象之一.因此，近幾十年來(lái)很多工作致力于模式的研究，比如文獻(xiàn)［1-3］研究了化學(xué)模型，文獻(xiàn)［4-7］研究了生物模型.

本文討論Gierer-Meinhardt模型

其中：Ω是RN中帶有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域；ν是外單位法向量；u和v分別表示活化劑和抑制劑的濃度；b和m分別表示u和v的衰減率；d1和d2是擴(kuò)散系數(shù)；參數(shù)d1，d2，b和m都是正常數(shù)；常數(shù)p，q， r，s滿足關(guān)系p＞1，q＞0，r＞0，s≥0，且；初值u0（x）和v0（x）是連續(xù)函數(shù).

近年來(lái)，許多學(xué)者從數(shù)值模擬和理論分析上對(duì)系統(tǒng)（1）進(jìn)行了廣泛的研究［8－12］.文獻(xiàn)［8］給出了系統(tǒng)正解的先驗(yàn)估計(jì)和唯一性.文獻(xiàn)［9］研究了Gierer-Meinhardt模型內(nèi)部峰值的動(dòng)力學(xué)行為.文獻(xiàn)［12］在二維情況下討論了系統(tǒng)（1）的K-峰值不對(duì)稱(chēng)模式的存在性和穩(wěn)定性.

本文主要研究一維情況Ω＝（0，2π）下系統(tǒng)（1）的平衡態(tài)系統(tǒng).為了方便起見(jiàn)，我們?nèi)＝2，q＝1，r＝2，s＝0，則系統(tǒng)（1）的平衡態(tài)系統(tǒng)為

目前，關(guān)于系統(tǒng)（2）的穩(wěn)態(tài)分歧和Hopf分歧的理論分析很少見(jiàn)，尤其是二重特征值的分歧.因此本文集中討論系統(tǒng)（2）的穩(wěn)態(tài)分歧和Hopf分歧.

1 正常數(shù)解的穩(wěn)定性

顯然，系統(tǒng)（2）有唯一正常數(shù)解U＊＝（u＊，v＊），這里.在此給出系統(tǒng)（2）的常數(shù)解U＊的穩(wěn)定性.眾所周知，特征值問(wèn)題

系統(tǒng)（2）在U＊處的線性化算子為

它的特征方程為

其中

定理1 下面的穩(wěn)定性結(jié)果成立：

（ⅰ）如果b＜min｛d1λ1，m｝，則U＊漸近穩(wěn)定.

（ⅱ）如果m＜b＜d1λ1，則U＊不穩(wěn)定.

（ⅳ）記d2，i，ˉd2和I0如（ⅲ）所示.若m＜b＜m＋d1λ1，則對(duì)于0＜d2＜ˉd2，U＊不穩(wěn)定.

證明 （ⅰ）因?yàn)閎＜min｛d1λ1，m｝，所以b－m＜0.于是，對(duì)所有的d2＞0和i≥0，可知Ti（d2）＜0.由于b＜d1λ1，因此b＜d1λi，i≥1.于是當(dāng)d2＞0和i≥1時(shí)，Di（d2）＝d2λi（d1λi－b）＋md1λi＋bm＞0.當(dāng)d2＞0和i＝0時(shí)，D0（d2）＝bm＞0.因此，L（d2）的所有特征值有負(fù)實(shí)部.故對(duì)所有的d2＞0，U＊是漸近穩(wěn)定的.

（ⅱ）由于b＜d1λ1，因此對(duì)所有的d2＞0，i≥1，Ti（d2）＜0.顯然在假設(shè)條件下，T0（d2）＝b－m＞0.另一方面，由（ⅰ）可知對(duì)所有的d2＞0，i≥0，Di（d2）＞0.所以，L（d2）有正實(shí)部的特征值.因此，對(duì)所有的d2＞0，U＊是不穩(wěn)定的.

（ⅲ）首先，由b＜m可知對(duì)任意的i≥0，d2＞0，都有Ti（d2）＝－（d1＋d2）λi＋b－m＜0.當(dāng)d2＞0和i＝0時(shí)，D0（d2）＝bm＞0.當(dāng)1≤i≤I0時(shí)，D′i（d2，i）＝λi（d1λi－b）＜0.顯然，對(duì)任意的1≤i≤I0，Di（d2，i）＝0.所以當(dāng)1≤i≤I0，d2＜ˉd2時(shí)，Di（d2）＝d1d2λ2i＋［md1－bd2］λi＋bm＞d1d2，iλ2i＋［md1－bd2，i］λi＋bm＝0.另一方面，當(dāng)i＞I0時(shí)，結(jié)合I0的定義可得Di（d2）＝d2λi（d1λi－b）＋md1λi＋bm＞0.于是，對(duì)任意的i≥0，d2＜ˉd2，都有Di（d2）＞0.這就說(shuō)明Li（d2）的所有特征值有負(fù)實(shí)部.因此，對(duì)所有的d2＞0，U＊是漸近穩(wěn)定的.

（ⅳ）類(lèi)似于（ⅲ）的證明方法可得，對(duì)任意的i≥0，0＜d2＜ˉd2，都有Di（d2）＞0.當(dāng)d2＞0和i＝0時(shí)，由b＞m可知T0（d2）＝b－m＞0.另一方面，對(duì)任意的d2＜ˉd2，當(dāng)1≤i≤I0時(shí)，由于T′i（d2，i）＝－λi＜0，且Ti（0）＝－d1λi＋b－m＜－d1λ1＋b－m＜0.所以Ti（d2）＜Ti（0）＜0.當(dāng)i＞I0時(shí)，b－d1λi＜0.因此，Ti（d2）＝－（d2λi＋m）＋b－d1λi＜0.這就說(shuō)明L（d2）有正實(shí)部的特征值.因此，對(duì)所有的d2＞0，U＊是不穩(wěn)定的.

2 分歧解的存在性

我們利用分歧理論來(lái)研究系統(tǒng)（2）正常數(shù)解U＊處的分歧解.固定b，m，d1，將d2＞0作為分歧參數(shù)，利用局部分歧理論、空間分解和隱函數(shù)定理給出非常數(shù)正解的存在性.

令Y＝Lδ（0，2π）×Lδ（0，2π），內(nèi)積為（U1，U2）Y＝（u1，u2）L2（0，2π）＋（v1，v2）L2（0，2π），其中U1＝（u1，v1），U2＝（u2，v2）∈Y.記X＝｛（u，v）∈W2，δ（0，2π）×W2，δ（0，2π）：ux＝vx＝0，x＝0，2π｝.定義映射F：R＋×X→Y為

易知系統(tǒng)（2）的解等價(jià)于F的零點(diǎn).顯然，F(xiàn)（d2，U＊）＝0.下面假定b＞d1，于是存在正整數(shù)Id2使得b－d1λi＞0，1≤i≤Id2.令（3）式中的μ＝0，可得

定理2 假定b＞d1.取

（ⅰ）若存在正整數(shù)j，1≤j≤Id2，使得任意的整數(shù)i≠j，1≤i≤Id2都有dS2，i≠dS2，j成立，則（dS2，j，U＊）是F＝0的一個(gè)分歧點(diǎn).當(dāng)0＜｜s｜?1時(shí)，系統(tǒng)（2）存在非常數(shù)解曲線Γ2（s）＝（d2（s），u（s），v（s）），其中d2（s），u（s），v（s）是連續(xù)函數(shù)，且滿足d2（0）＝dS2，j，u（s）＝u＊＋sφj＋o（s），v（s）＝v＊＋sbjφj＋o（s），bj＝另外，在分歧點(diǎn)，U＊）的小鄰域內(nèi)，F(xiàn)的零點(diǎn)集由兩條曲線｛（d2，U＊）｜d2＞0｝和Γ2（s）構(gòu)成.

（ⅱ）若存在正整數(shù)i≠j，1≤i，j≤Id2，使得＝＝.令

如果1＋bib＊i≠0，1＋bjb＊j≠0，P1＋b＊j≠0，P2＋b＊i≠0，P3＋b＊i≠0，P2＋b＊j≠0，且j＝2i（或i＝2j），則（~d2，U＊）是F＝0的一個(gè)分歧點(diǎn)，且當(dāng)0＜｜α－α0｜?1時(shí)，存在系統(tǒng)（2）的非常數(shù)解曲線（d2（α），U＊＋s（α）（cosαΨi＋sinαΨj＋W（α））），其中d2（α），s（α），W（α）是連續(xù)函數(shù)，且滿足d2（α0）＝~d2，s（α0）＝W（α0）＝0，這里α0是滿足如下條件的任意常數(shù)：

或

證明 （ⅰ）用類(lèi)似于文獻(xiàn)［12］定理3的方法可證得.

（ⅱ）如果存在正整數(shù)i≠j，使得dS2，i＝dS2，j＝~d2，則此時(shí)

所以，dim kerL（~d2）＝codimR（L（~d2））＝2.顯然，局部分歧定理失效.現(xiàn)在，我們求助于空間分解和隱函數(shù)定理來(lái)討論二重分歧解的存在性.首先，做變換＾u＝u－u＊，＾v＝v－v＊.定義新的映射ˉF：R＋×X→Y為

接著，我們分解空間X為X＝X1⊕X2，其中

尋找ˉF＝0的形式為

的解，這里s，α∈R是參數(shù).為了后面的需要，定義算子P：Y→X1為

根據(jù)投影的定義可驗(yàn)證P是投影.于是，我們分解空間Y為Y＝Y(jié)1⊕Y2，其中Y1＝R（P）＝X1，Y2＝kerP＝R（L（~d2））.

我們應(yīng)用隱函數(shù)定理證明非常數(shù)對(duì)（＾u，＾v）的存在性.固定α0∈R，定義非線性映射

為

其中

顯然，H（~d2，0，0；α0）＝0.而且，H（d2，s，W；α）關(guān)于（d2，s，W）在（~d2，0，0；α0）處的Fréchet導(dǎo)數(shù)

為

為了應(yīng)用隱函數(shù)定理，我們需要證明線性映射H（d2，s，W）（~d2，0，0；α0）：R×R×X2→Y是雙射.為此，重記H（d2，s，W）（~d2，0，0；α0）（d2，s，W）＝y(tǒng)1＋y2，這里y1∈Y1，y2∈Y2.簡(jiǎn)單計(jì)算可知

再分解

其中

接下來(lái)，分兩種情況討論：

分解

其中：

易知L（~d2）：X2→Y2是雙射.假設(shè)：

首先，我們證明L＝H（d2，s，W）（~d2，0，0；α0）是單射.令L（d2，s，W）＝0，則y1＝0，y2＝0.由于cosα0≠0，（c1c3biλi＋2c2c4bjλj）sin2α0≠c1c3biλi.所以由y1＝0易知d2＝0，s＝0.將d2＝0，s＝0，帶入y2＝0中可得W＝0.于是，L是單射.

其次，證明L是滿射.需要證明對(duì)任意的（y，z）∈Y，存在（d2，s，W）∈R×R×X2，使得

由Y的分解可知存在β，γ∈R和（y0，z0）∈Y2，使得

將上式帶入（7）式可得

由（8）式的前兩個(gè)式子可得

由于當(dāng)j＝2i時(shí)α0滿足（4）式，所以上式有意義.再將＾d2，＾s帶入到（8）式的第三個(gè)式子中得

這里

于是，（d2，s，W）＝（＾d2，＾s，L－1（~d2）（＾y，＾z）T）.因此，L是滿射，即L是雙射.由隱函數(shù)定理可知H（d2，s，W；α）＝0，在α0的小鄰域內(nèi)有非常數(shù)解（d2（α），s（α），W（α）），滿足d2（α0）＝~d2，s（α0）＝W（α0）＝0，這里α0滿足（4）式.而且，d2（α），s（α），W（α）是連續(xù)可微函數(shù)且W∈X2.因此，（d2（α），U＊＋s（α）（cosαΨi＋sinαΨj＋W（α）））是F＝0的非常數(shù)正解.

（B）i＝2j.類(lèi)似于（A）的證明過(guò)程可得，如果α0滿足（5）式，則應(yīng)用隱函數(shù)定理可知這種情況的結(jié)論也成立.

最后，用類(lèi)似于文獻(xiàn)［13］定理4的方法將定理2（ⅰ）中的局部分歧延拓為全局分歧.

3 Hopf分歧

我們討論系統(tǒng)（2）的常數(shù)解U＊的Hopf分歧周期解的存在性.令α（d2）＋iβ（d2）是L（d2）的復(fù)特征值，即方程（3）的復(fù)根，則.由文獻(xiàn)［14］可知如果存在整數(shù)i0≥0和dH2＞0使得

證明 顯然，T1（dH2，1）＝0，對(duì)于所有的i≥2都有Ti（）≠0.而且，對(duì)所有的d2＞0，在假設(shè)條件下T0（d2）＝b－m＞0.由于對(duì)于所有的d2＞0，D0（d2）＝bm＞0.因此，我們只需要驗(yàn)證D1（）＞0和對(duì)所有的i≥2，Di（dH2，1）≠0即可.將帶入到D1）中，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可知D1（）＞0等價(jià)于

I＝2d11－b＋md1.將帶入到I＝0中，整理可得

最后證明α′（dH2，1）≠0.對(duì)于i＝1，系統(tǒng)（3）在d2＝dH2，1附近的共軛復(fù)根為.因此，系統(tǒng)（2）在點(diǎn)（dH2，1，U＊）處產(chǎn)生Hopf分歧，即在常數(shù)解U＊附近系統(tǒng)（2）產(chǎn)生非齊次周期解.

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Stability analysis and spatially bifurcation for a Gierer-Meinhardt model

LI Hai-xia
（Institute of Mathematics and Information Sciences，Baoji University of Arts and Sciences，Baoji 721013，China）

The steady-states bifurcations and Hopf bifurcation for a Gierer-Meinhardt model with homogeneous Neumann boundary conditions are considered.The stability of the positive constant solution is discussed.Furthermore，the bifurcations from simple and double eigenvalues are investigated by means of the combination of the simple bifurcation theory，space decomposition and implicit function theorem.Finally，by regarding d2as a bifurcation parameter，we study the Hopf bifurcation and obtain the conditions of the existence of inhomogeneous periodic solution.

Gierer-Meinhardt model；bifurcation；double eigenvalue；Hopf bifurcation

O 175.26 ［學(xué)科代碼］ 110·4730

A

（責(zé)任編輯：陶 理）

1000-1832（2015）03-0026-07

10.16163／j.cnki.22-1123／n.2015.03.006

2014-09-23

中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)資金資助項(xiàng)目（GK2013 02025）；陜西省教育廳專(zhuān)項(xiàng)科研計(jì)劃項(xiàng)目（14JK1035）；寶雞文理學(xué)院重點(diǎn)科研項(xiàng)目（ZK15039）.

李海俠（1977—），女，博士，講師，主要從事偏微分方程計(jì)算及其可視化研究.