帶有非局部時(shí)滯的競(jìng)爭(zhēng)擴(kuò)散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

孫亞男，孟 琳，王 靜

（東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林長(zhǎng)春130024）

帶有非局部時(shí)滯的競(jìng)爭(zhēng)擴(kuò)散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

孫亞男，孟 琳，王 靜

（東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林長(zhǎng)春130024）

在齊次Neumann邊界條件下研究了一類(lèi)具有非局部時(shí)滯的競(jìng)爭(zhēng)擴(kuò)散系統(tǒng).利用線性化方法和上下解方法，研究了該系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性.

競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)；反應(yīng)擴(kuò)散；平衡點(diǎn)；非局部時(shí)滯

1 背景及主要結(jié)論

競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)是當(dāng)今生態(tài)學(xué)研究的熱點(diǎn)問(wèn)題，由于國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)其研究的深入，極大地推動(dòng)了該理論的發(fā)展.近年來(lái)，許多學(xué)者對(duì)具有擴(kuò)散項(xiàng)［1－7］或時(shí)滯項(xiàng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了討論，尤其對(duì)非局部時(shí)滯的研究，獲得了許多成果.對(duì)于每一個(gè)σ∈［0，∞），核函數(shù)Ki（x，y，σ），i＝1，2，關(guān)于（x，y）∈ˉΩ×ˉΩ都是非負(fù)連續(xù)的.對(duì)于每一個(gè)（x，y）∈ˉΩ×ˉΩ，核函數(shù)Ki（x，y，σ），i＝1，2，關(guān)于σ∈［0，∞）都是可測(cè)的.由于這個(gè)核與時(shí)間變量和空間變量均有關(guān)，系統(tǒng)（1.1）中的時(shí)滯被稱(chēng)為時(shí)空時(shí)滯或非局部時(shí)滯.文獻(xiàn)［1］研究了具分布時(shí)滯的二維Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)擴(kuò)散系統(tǒng)

其中：u1（x，t）和u2（x，t）分別表示在位置x和時(shí)間t處的種群密度；r1，r2分別表示種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率；a1，a2分別表示種群的內(nèi)部競(jìng)爭(zhēng)率；b1，b2表示兩個(gè)種群間的競(jìng)爭(zhēng)率；齊次Neumann邊界條件表示沒(méi)有物種跨越邊界Ω；r1，r2，a1，a2，b1，b2是正常數(shù)；當(dāng)（x，θ）∈Ω×（－∞，0］時(shí)，初始函數(shù)i（x，θ）是非負(fù)連續(xù)函數(shù).

文獻(xiàn)［2］考慮了一維區(qū)域［0，π］，在這個(gè)區(qū)域內(nèi)時(shí)滯項(xiàng)與種群密度u（x，t）有關(guān)，并且考慮了時(shí)滯項(xiàng)

是方程

的解.

文獻(xiàn)［3］研究了非局部時(shí)滯的具有年齡結(jié)構(gòu)的反應(yīng)擴(kuò)散方程

的單調(diào)行波解.

文獻(xiàn)［4］研究了

其中

通過(guò)建立常微分方程的上下解，并利用單調(diào)迭代方法或不動(dòng)點(diǎn)方法建立了行波解的存在性.文獻(xiàn)［5］研究了具有

的捕食者-食餌系統(tǒng)的穩(wěn)定性.這個(gè)時(shí)滯既與捕食者有關(guān)，也與食餌有關(guān).

本文在文獻(xiàn)［5］的基礎(chǔ)上考慮競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)

其中

為了下面研究方便，令

則（1.2），（1.3）式等價(jià)于如下問(wèn)題：

其中1（x，θ），2（x，θ）由（1）式定義，且

2 常值解的存在性及局部穩(wěn)定性

通過(guò)計(jì)算可得系統(tǒng)（1.4）有平凡的常值解E0＝（0，0，0）和半平凡常值解為了得到系統(tǒng)（1.4）的正常值解，我們需要給出如下的假設(shè)：

在假設(shè)（H1）或（H2）下，顯然系統(tǒng)（1.4）有唯一的正常值解E＊＝（u＊1，u＊2，u＊3），其中

為了證明平衡點(diǎn)穩(wěn)定性我們引進(jìn)一些符號(hào).設(shè)0＝μ1＜μ2＜…＜μn＜…是帶有齊次Neumann邊界條件的-Δ算子在（0，π）中的特征值.E（μi）?C1（0，π）表示μi對(duì)應(yīng)的特征子空間.令｛ij｜j＝1，2，…，dimE（μi）｝表示E（μ1）的一組正交基，

則

下面把系統(tǒng)（1.4）線性化.令L＝IΔu＋fu（u），

首先給出E0，E1，E2的局部穩(wěn)定性結(jié)果.

定理2.1 對(duì)于系統(tǒng)（1.4）有如下特征：

（1）平凡解E0總是不穩(wěn)定的；

（2）如果b2r1＞a1r2且r2τ＜r1τ＜1，則E1是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的；

（3）如果b1r2＞a2r1且r1τ＜r2τ＜1，則E2是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的.

證明 （1）系統(tǒng)（1.4）在E0的線性化系統(tǒng)

的特征方程是

顯然，當(dāng)i＝1時(shí)，（2.1）式存在兩個(gè)正根λ1＝r1＞0，λ2＝r2＞0，于是由于L存在具有正實(shí)部的特征根，所以系統(tǒng)（1.4）的平凡解E0不穩(wěn)定.

（2）系統(tǒng)（1.4）在E1的線性化方程

的特征方程為

其中：顯然，當(dāng)b2r1＞a1r2，r2τ＜r1τ＜1時(shí)，B1，B2，B3，B1B2－B3都是大于0的，根據(jù)Routh-Hurwitz判別法，特征多項(xiàng)式的特征值具有負(fù)實(shí)部，所以E1是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的.

（3）系統(tǒng)（1.4）在E2的線性化方程ut＝Lu＝IΔu＋fu（E2）u的特征方程為

其中：

顯然，當(dāng)b1r2＞a2r1且r1τ＜r2τ＜1時(shí)，B1，B2，B3，B1B2－B3都是大于0的，根據(jù)Routh-Hurwitz判別法，特征多項(xiàng)式的特征值具有負(fù)實(shí)部，所以E2是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的.證畢.

定理2.2 如果假設(shè)（H2）成立，并且a1，a2，b1，b2，r1，r2滿(mǎn)足統(tǒng)（1.4）的正常值解E＊是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的.

線性化方程

的特征方程為

其中：

即

通過(guò)計(jì)算可得，當(dāng)假設(shè)（H2）成立，并且a1，a2，b1，b2，r1，r2滿(mǎn)足

此時(shí)2a1u＊1－r1＞0，2a2u＊2－r2＞0，顯然B1，B2，B3＞0，

根據(jù)Routh-Hurwitz判別法，特征多項(xiàng)式的特征值具有負(fù)實(shí)部，所以E＊是局部漸近穩(wěn)定的.證畢.

3 正常值解的全局穩(wěn)定性

為了研究E＊穩(wěn)定性，我們需要引入系統(tǒng)（1.4）的伴隨系統(tǒng)

定義3.1［6］令

我們稱(chēng)~c，＾c是系統(tǒng)（3.1）的一對(duì)有序上下解.

對(duì)于＾ci≤ui，vi≤~ci，i＝1，2，3，可知存在常數(shù)

使得如下關(guān)系成立：

即系統(tǒng)（1.4）滿(mǎn)足Lipchitz條件，顯然系統(tǒng)（1.4）的右端函數(shù)連續(xù)，所以系統(tǒng)（1.4）存在位于［＾c，~c］的解.構(gòu)造序列

引理3.1［5］令，＾c表示系統(tǒng)（3.1）的一對(duì)有序上下解，c表示（3.4）式中滿(mǎn)足（3.5）式的極限.則其對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)（1.4）的解u＝（u1，u2，u3）在初始值i（x，θ）滿(mǎn)足＾ci≤i（x，0）≤（i＝1，2，3）的情況下滿(mǎn)足性質(zhì)≤u（x，t）≤c，t→∞，x∈（0，π）.進(jìn)一步的，如果＝c，則（或c）是系統(tǒng)（3.1）在，＾c〉中的唯一解，且

定理3.1 令u＝（u1，u2，u3）表示系統(tǒng)（1.4）在i（x，0）0，i＝1，2，3條件下的解.假設(shè)（H2）成立，并且存在δ＞0，使得

證明 u＝（u1，u2，u3）表示系統(tǒng)（1.4）在i（x，0）0，i＝1，2，3條件下的解，則有ui（x，y）＞0，i＝1，2，3，x∈［0，π］，t＞0.

首先，我們構(gòu)造~c，＾c使得~c≥＾c≥0＝（0，0，0），且（3.2）式成立.

令

其中，ε＞0且充分小，~c＝（~c1，~c2，~c3），＾c＝（＾c1，＾c2，＾c3）.

其次，證明存在t＊，使得當(dāng)t≥t＊時(shí)，＾ci≤ui（x，t）≤~ci，（x，t）∈［0，π］，i＝1，2，3.由系統(tǒng)（1.4）知uit≤uixx＋ui（ri－aiui），利用比較原理，

所以，對(duì)ε＞0且充分小，?ti＞0，使得當(dāng)t≥ti時(shí)因此，有u3t≤u3xx＋利用比較原理，

所以，對(duì)ε＞0且充分小，?t3＞max｛t1，t2｝，使得當(dāng)t≥t3時(shí)，u3（x，t）≤~c1~c2＋ε＝~c3.

由系統(tǒng)（1.4）及~c的值可知u1t≥u1xx＋u1（r1－a1u1）－b1u3，（x，t）∈（t3，∞），又因?yàn)閪c3≥~c1~c2≥u1~c2，所以只需證明u1t≥u1xx＋u1（r1－a1u1）－b1u1~c2即可.利用比較原理，對(duì)ε＞0且充分小，?t4＞t3，使得當(dāng)t≥t4時(shí).同理，?t5＞t3，使得當(dāng)t≥t5時(shí)由系統(tǒng)（1.4）和利用比較原理，對(duì)ε＞0且充分小，?t6＞max｛t4， t5｝，使得當(dāng)t≥t6時(shí)，u3≥＾c1＾c2－ε.

再次，證明系統(tǒng)（1.4）的解u一致收斂于E＊.

不失一般性，假設(shè)＾ci≤i（x，t）≤~ci，i＝1，2，3.由引理3.1可知存在使得系統(tǒng)（1.4）的唯一解u滿(mǎn)足0＜＾ci≤ci≤ui≤≤，i＝1，2，3，t→∞.因此，（3.5）式變?yōu)?/p>

于是，

由（3.9）和（3.10）式，有

利用（3.6）式，對(duì)ε＞0且充分小，有

對(duì)x∈［0，π］一致成立.證畢.

［1］ GOURLEY S A，RUAN S G.Convergence and travelling fronts in functional differential equations with nonlocal terms：a competition model［J］.SIAM J Math Anal，2003，35（3）：806-822.

［2］ GOURLEY S A，SO J W H.Dynamics of a food-limited population model incorporating nonlocal delays on a finite domain［J］.J Math Biol，2002，44：49-78.

［3］ OMARI J AL，GOURLEY S.Monotone travelling fronts in an age-structured reaction-diffusion model of a single species［J］.J Math Biol，2002，45：294-312.

［4］ WANG Z C，LI W T，RUAN S G.Travelling wave fronts in reaction-diffusion systems with spatio-temporal delays［J］.J Differential Equations，2006，222：185-232.

［5］ 李玉環(huán)，周軍，穆春來(lái).對(duì)帶有非局部時(shí)滯和擴(kuò)散的捕食者-食餌系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2012，32A（3）：475-488.

［6］ 葉其孝，李正元，王明新，等.反應(yīng)擴(kuò)散方程引論［M］.第二版.北京：科學(xué)出版社，2011：76-134.

［7］ 高芳，王文爽，王靜.帶有食餌避難的Leslie-Gower捕食者-食餌擴(kuò)散系統(tǒng)的穩(wěn)定性及最優(yōu)稅收［J］.東北師大學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014，46（1）：1-8.

Stability analysis for a competitive system with nonlocal delayed and reaction-diffusion

SUN Ya-nan，MENG Lin，WANG Jing
（School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China）

In this paper，we study a competitive system with nonlocal delayed and reaction-diffusion in the condition of homogeneous Neumann boundary conditions.By using the linearization method and the method of upper and lower solutions，we conclude the local and global stability of the constant equilibrium.

competitive system；reaction-diffusion；equilibrium point；nonlocal delayed

O 175.14 ［學(xué)科代碼］ 110·34

A

（責(zé)任編輯：陶 理）

1000-1832（2015）03-0019-07

10.16163／j.cnki.22-1123／n.2015.03.005

2014-01-17

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11271065）.

孫亞男（1989—），女，碩士；王靜（1972—），女，博士，副教授，主要從事微分方程和生態(tài)數(shù)學(xué)研究.