一類分數階脈沖微分方程邊值問題的多重正解

張愛華，胡衛敏

（1.伊犁師范學院數學與統計學院，新疆伊寧835000；2.菏澤市第二中學，山東菏澤274000）

一類分數階脈沖微分方程邊值問題的多重正解

張愛華1，2，胡衛敏1

（1.伊犁師范學院數學與統計學院，新疆伊寧835000；2.菏澤市第二中學，山東菏澤274000）

通過錐拉伸與錐壓縮不動點定理得到了一類非線性分數階脈沖微分方程邊值問題正解的存在性和多重性結果.

脈沖微分方程；邊值問題；分數階導數；錐拉伸與錐壓縮不動點定理

0 引言

非線性脈沖微分方程是描述狀態在某些時刻發生瞬間突變的過程，因其能更深刻、精確地反映事物的變化規律，日益引起人們的重視，使它在物理、經濟、生命科學、醫學、航天技術、工程技術、人口動態分布等領域都有廣泛的應用［1－2］.隨著脈沖微分方程理論的發展，人們開始關注脈沖微分方程邊值問題的研究.關于整數階脈沖微分方程兩點、三點和多點邊值問題解的存在性和唯一性的研究已經取得了一定的成果［3－5］，但是很少有文獻研究非線性分數階脈沖微分方程邊值問題解的存在性［6－12］.

本文運用錐拉伸與錐壓縮不動點定理給出如下分數階脈沖邊值問題：

正解的存在性和多重性.其中：2＜α≤3；CDα0＋是Caputo分數階導數；R＋＝［0，∞）；f∈C（［0，1］×R＋× R＋×R＋，R＋）；xk，yk，zk∈C（R＋，R＋）；J＝［0，1］，J′＝J＼｛t1，t2，…，tm｝，k＝1，2，…，m；J0＝［0，t1］，Jk＝（tk，tk＋1］，0＝t0＜t1＜…＜tm＜tm＋1＝1；Δu（tk）＝u（t＋k）－u（t－k），u（t＋k）與u（t－k）分別表示u（t）在tk處的右極限與左極限，且u（t－k）＝u（tk），Δu′（tk）和Δu″（tk）對u′（t）和u″（t）也有類似定義.此外

K∈C（D，R＋），D＝｛（t，s）∈J×J｜t≥s｝，H∈C（J×J，R＋）.

定義PC（J，R）＝｛u：J→R｜u∈C（Jk），k＝0，1，2，…，m；u（t＋k）存在，k＝1，2，…，m｝，則PC（J，R）是以為范數的Banach空間.

若u∈PC2（J，R）∩AC3（J′，R）滿足（1），并且u（t）＞0，t∈J，則稱u為問題（1）的正解.

1 預備知識

首先，我們給出一些分數階微積分理論的定義和定理，參見文獻［12-16］.定義1.1［13］函數f：［0，∞）→R的α＞0階Riemann-Liouville積分是指

其中右邊是在［0，∞）上逐點定義的.

定義1.2［14］函數f：［0，∞）→R的α＞0階Riemann-Liouville微分是指

其中n＝［α］＋1，右邊是在［0，∞）上逐點定義的.特別地，當α＝n時，Dn0＋f（t）＝f（n）（t）.

定義1.3［15］函數f：［0，∞）→R的α＞0階Caputo微分是指

其中右邊是在［0，∞）上逐點定義的.特別地，當α＝n時，CDn0＋f（t）＝f（n）（t）.

引理1.1［15］設n－1＜α≤n，f（t）∈Cn（［0，∞），R），則：

引理1.2［12］令0＜α＜1，h∈C（［0，T］，R），函數x∈C（［0，T］，R）是分數階邊值問題

的解當且僅當x是如下積分方程的解：

引理1.3［16］令X是一個Banach空間，P?X是X中的一個錐.假設Ω1，Ω2?P為非空相對開集，且0∈Ω1?ˉΩ1?Ω2，設T：P→P為全連續算子，滿足下列條件之一：

（ⅰ）‖Tx‖≤‖x‖，x∈P∩?Ω1，且‖Tx‖≥‖x‖，x∈P∩?Ω2；

（ⅱ）‖Tx‖≥‖x‖，x∈P∩?Ω1，且‖Tx‖≤‖x‖，x∈P∩?Ω2.

則T在P∩（ˉΩ2＼Ω1）中有不動點.

引理1.4 令2＜α≤3，假設h：［0，1］→R＋是一個連續函數，則邊值問題

等價于積分方程

證明 令u（t）是問題（4）的解，利用引理1.1的（1），當t∈［0，t1］時，有

當t∈（t1，t2］時，由引理1.2及注1.1可得

同理，當t∈（tj，tj＋1］時，有

對（6）式從0到t進行2次積分，得

則

代入邊界條件u（1）＝β1u（0），u′（1）＝β2u′（0），u″（1）＝β3u″（0），有

代入（7）式，得（5）式成立.

相反，若u（t）是方程（5）的解，由引理1.1的（2）和Caputo導數的定義可得u（t）是（4）式的解，證畢.

記σ（t）∶＝f（t，u（t），（Tu）（t），（Su）（t）），由引理1.4可知邊值問題（1）有解，等價于如下定義的積分算子F：PC（J，R）→PC（J，R）有不動點.

2 主要結論

為證明正解的存在性，現作如下假設：

（H1）存在常數k＊，h＊＞0，使得

（H2）當u→∞時對t∈J一致成立.

（H3）當u→0＋時對t∈J一致成立.

（H4）當u→0＋時0，k＝1，2，…，m.

（H5）對任意t∈J，存在非負連續函數a（t），ɡ（u，v，w），使得

引理2.1 若條件（H1）成立，則F：Q→Q是全連續的.

證明 首先，由函數f，xk，yk，zk的連續性以及Lebesgue控制收斂定理，易知算子F也是連續的.往證F：Q→Q.事實上，對任意u∈Q，存在r1≥‖u‖，

記

則

則

故Fu∈Q.從而F：Q→Q.

再證F映有界集為有界集.只需證明對任意u∈Q，存在常數l＞0，使得‖Fu‖≤l，由以上證明過程可知，取l＝（η1＋1）（aM1＋bN1）即可.

最后證F映有界集為Q中等度連續集.對任意tk＜t＜t′≤tk＋1；k＝0，1，2，…，m；u∈Q.有

由于當t′→t時，上述不等式右端趨于0，故F在每個區間Jk上等度連續.由廣義的Arzela-Ascoli定理可知F是全連續算子.

定理2.1 若條件（H1），（H2），（H3）成立，并且存在r＞0，使得（η1＋1）（aMr＋bNr）＜r，其中

則邊值問題（1）至少有兩個正解u1和u2，滿足

證明 由引理2.1知，（8）式所定義的算子F：Q→Q是全連續的.下面需要證明F在Q中有兩個不動點u1和u2，滿足0＜‖u1‖＜r＜‖u2‖.由條件（H2）知，存在r1＞0，使得

取r2＞max｛β1r1，r｝，對任意u∈Q，‖u‖＝r2，有

由（10），（11）式及算子F的定義知

故

同理，由條件（H3）知，存在r3＞0，使得

取0＜r4＜min｛r3，r｝，對任意u∈Q，‖u‖＝r4，有

則

故

另一方面，對任意u∈Q，‖u‖＝r，類似于（9）式有

因為0＜r4＜r＜r2，由（12），（15），（16）式及引理1.3得，F在Q中有兩個不動點u1和u2，滿足

定理2.2 若條件（H1），（H2），（H4），（H5）成立，并且當u＋v＋w→0＋時，則邊值問題（1）至少有一個正解u，滿足

證明 如定理2.1的證明，取r2＞β1r1＞0，使得

取ε0＝［2（η1＋1）（a（1＋k＊＋h＊）a＊＋b）］－1，由條件知，存在r5＞0，使得

故

由條件（H5）可得

則

故

因0＜r6＜r2，由引理1.3得，算子F在Q中有不動點u，滿足r6＜‖u‖＜r2.

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Multiple positive solutions for a class of boundary value problem of impulsive fractional differential equations

ZHANG Ai-hua1，2，HU Wei-min1
（1.School of Mathematics and Statistics，Yili Normal University，Yining 835000，China；2.The Second High Middle School of Heze City，Heze 274000，China）

In this paper，we investigate the multiple positive solutions for a boundary value problem of nonlinear impulsive fractional differential equations.The arguments are based upon the fixed point theorem of cone expansion and compression with norm type.

impulsive differential equation；boundary value problem；fractional derivative；fixed point theorem of cone expansion and compression with norm type

O 175.8 ［學科代碼］ 110·54

A

（責任編輯：陶 理）

1000-1832（2015）03-0012-07

10.16163／j.cnki.22-1123／n.2015.03.004

2014-01-10

新疆維吾爾自治區自然科學基金資助項目（201318101-14）.

張愛華（1984—），女，碩士，主要從事微分方程理論及其應用研究；通訊作者：胡衛敏（1968—），男，教授，主要從事微分方程理論及其應用研究.