基于重整化群和模糊概率法的巖土邊坡穩定性

付宗志，劉 濤

（1.長沙有色冶金設計研究院有限公司，湖南長沙 410011；2.西北礦冶研究院礦山工程研究所，甘肅白銀 730900）

傳統的巖土邊坡穩定性分析是以邊坡安全系數Fs來判別邊坡的穩定性。該方法具有一定的局限性，它通過數值模擬的方法得出邊坡的安全系數Fs。大量的工程實踐［1－5］表明，并非Fs＞1邊坡就是穩定的，也不是Fs＜1邊坡就會破壞。一些學者通過研究［6－9］發現，影響邊坡穩定性的因素往往是隨機變化的，用確定性的方法很難充分考慮巖土參數變化對邊坡穩定性造成的影響。因此，有必要應用數學的方法，在考慮巖土參數隨機性和模糊性的同時，對邊坡的穩定性進行研究。

Logistic函數是一種常見的S形函數。Logistic映射是研究動力系統、混沌及分形等復雜系統行為的一個經典模型。Logistic映射又叫Logistic迭代，是一個時間離散的動力系統。

重整化群是一種用于解決多體問題的有力工具。該方法基于統計分形的原理，將小標尺下系統簡單特性擴展到大標尺下系統復雜特性的計算，并取得了巨大的成功。重整化群已應用于地震預測、礦柱穩定性［10］、采空區安全評價［11］及采空區突水預測［12］等多個領域。

1 重整化群分析模型

1.1 重整化群簡介

重整化群最早是應用于量子場論當中而得到公認。該方法通過研究系統內部組成單元之間的聯系和系統單元之間的自相似變換，從宏觀上對系統的一些規律進行描述，該方法是解決臨界問題的有效工具。

重整化群是通過改變系統中觀測尺度來獲取系統參數變化規律的方法。假設系統在某個觀測尺度下所獲的物理參數為p，將觀測尺度放大n倍，這時獲得的物理參數記為p′。如果將尺寸變換函數記為fn，那么p與p′的關系為：

如果觀測尺度再放大n倍，有：

如果將式（2）變成一般情況下的關系式，那么其變換函數f具有的性質為：

1.2 邊坡演化的一維重整化群模型

傳統的重整化群方法在研究巖石破裂時，假設一級原包由2個基本單元組成，那么一級原包中有1個及1個以上的單元破裂，則一級原包就破壞了。一級原包所有可能的情況如圖1所示。一級原包發生破壞的概率為：

式中：p0為基本單元的破壞概率為2個單元都破壞的概率；pab為1個單元破壞后向鄰近單元應力轉移的條件概率，且應力向鄰近為破壞的單元轉移概率是相等的。

應力轉移的條件概率為：

式中：pa為單元破壞前鄰近單元的破壞概率；pb為單元破壞后鄰近單元的破壞概率。

假設基本單元的破壞概率由Weibull分布給出，其破壞概率函數為：

式中：F0為基本單元的強度；m為表征一級原包強度相似性的相關參數。

單元破壞后鄰近單元的破壞概率為：

當m＝2時，一級原包發生破壞的概率為：

根據logistic一維映射遞推關系，可得到n級原包的破壞失穩概率為：

式（9）即為一維重整化群方程，將式（9）寫成函數形式：

在0≤x≤1的范圍內求解式（10），可得方程（10）存在3個不動點，即x＝0，0.206，1。根據判斷準則，當｜（df（x）／dx）｜x＞1時，x為不穩定不動點；反之，當｜（df（x）／dx）｜x＜1時，x為穩定不動點。分別將x＝0，0.206，1帶入判據df（x）／dx，得到的結果分別為：0，1.62，0。這說明0和1為穩定不動點，0.206為不穩定不動點。當x＝0時，表示沒有單元破壞，系統處于穩定狀態；當x＝1時，表示系統中全部單元破壞，系統處于極限不穩定狀態。故x＝0.206是系統兩種狀態的分界點。即：當x＞0.206時，系統向不穩定的方向發展；當x＜0.206時，系統向穩定的方向發展。

圖1 2個單元組成一級原包的所有可能情況Fig.1 All the possibilities of two units composed of original package

1.3 二維情況

二維情況下，1個一級原包由4個基本單元構成，2個二級原包由4個一級原包構成。與一維情況下的分析方法一致，假設p0為基本單元的破壞概率，根據式（8）可求出一級原包的破壞概率。同理，二級原包的破壞概率［12］為：

根據Logistic映射遞推關系，n級原包的破壞失穩概率［13］為：

用Matlab軟件求解式（12），可得x＝0.170 7為系統的臨界點。

1.4 三維情況

三維情況下，1個一級原包由8個基本單元構成，1個二級原包由8個一級原包構成。假設p0為基本單元的破壞概率，根據基本單元的破壞概率，可算出一級原包的破壞概率。同理，根據一級原包的破壞概率，二級原包的破壞概率為：

據Logistic映射遞推關系，n級原包的破壞失穩概率為：

用Matlab軟件求解式（14），可得x＝0.159 9為系統的臨界點。

2 邊坡穩定分析的模糊概率法

2.1 模糊概率

在邊坡穩定性分析中，邊坡的安全性用功能函數Z來表示。

式中：xi（i＝1，2，…，n）為基本隨機變量。

在模糊數學中，可將邊坡失穩的概率定義為：

式中：pf為邊坡失穩概率；μA（Z）為功能函數Z的隸屬函數；f（Z）為Z的概率密度函數。

2.2 功能函數

在邊坡穩定分析中，安全系數為：

式中：R為邊坡的抗滑力矩；S為邊坡的滑動力矩。

功能函數為：

根據瑞典條分法，安全系數為：

式中：m為邊坡分條數；Wi為分條的重力；bi為分條的寬度；αi為第i個分條底部與水平方向的夾角；c為巖土的內聚力；φ為巖土的內摩擦角。

2.3 隸屬函數

對于巖土邊坡而言，當隸屬函數越接近于1，表明邊坡破壞的可能性越大；反之，隸屬函數越接近于0，表明巖土邊坡的破壞可能性越小。假設

結合式（20），采用分段線性分布，其隸屬函數為：

2.4 概率密度函數

假設功能函數Z為非正態分布，那么可通過中心點法，求得功能函數Z的均值μZ和方差σZ。

式中：μxi為xi（i＝1，2，…，n）的均值為在中心點對功能函數求偏導數。

則概率密度函數為：

將式（24）代入式（16），可計算出邊坡工程的失穩概率。對于具體的邊坡工程，依據模糊概率法計算邊坡的失穩概率，再與重整化群法計算出的邊坡系統臨界失穩概率進行比較。若其結果大于失穩概率且大于臨界概率，則邊坡失穩；反之，則邊坡不失穩。

3 工程實例

某巖土邊坡如圖2所示。該滑動面滑弧半徑為150m，分條數m＝8，條寬b＝10m，取內聚力c、內摩擦角φ的正切f＝tanφ為基本隨機變量，隨機變量的取值：E（c）為18.36，D（c）為44.5，E（f）為0.419 4，D（f）為0.003 4。

圖2 邊坡剖面Fig.2 Sectional view of the slope

通過中心點法計算，μZ＝0.235，σZ＝0.085，將均值μZ和方差σZ代入式（24）和式（16），得：

4 結論

1）根據重整化群法，建立了巖土邊坡穩定性分析模型。考慮系統應力重分布對邊坡穩定性的影響，將露天邊坡失穩破壞的復雜問題轉化為邊坡失穩概率與臨界失穩概率之間比較的問題，并計算得出了一維、二維及三維情況下露天邊坡失穩破壞的臨界概率，它們分別為0.206，0.170 7及0.159 9。

2）用模糊概率的方法對邊坡的穩定性進行分析，得到了邊坡失穩概率的計算方法。

3）將該方法應用于某巖土邊坡穩定性分析，通過計算，得出該邊坡的失穩概率為0.246 1，大于三維情況下邊坡失穩的臨界概率0.159 9。這說明該邊坡是不穩定的，具有整體失穩的可能性。

（References）：

［1］譚曉慧.邊坡穩定分析的模糊概率法［J］.合肥工業大學學報：自然科學版，2001，24（3）：442－446.（TAN Xiao－hui.The stability analysis of slope by a fuzzy probability method［J］.Journal of Hefei University of Technology：Natural Science，2001，24（3）：442－446.（in Chinese））

［2］段永偉，胡修文，吁燃，等.順層巖質邊坡穩定性極限平衡分析方法比較研究［J］.長江科學院院報，2013，30（12）：65－68.（DUAN Yong－wei，HU Xiu－wen，YU Ran，et al.Comparative study on limit equilibrium methods for the stability analysis of the bedding rock slope［J］.Journal of Yangtze River Scientific Research Institute，2013，30（12）：65－68.（in Chinese））

［3］陳建宏，王凱，鐘富生.多重影響因素下的邊坡穩定性評價方法及應用［J］.科技導報，2013，31（20）：20－25.（CHEN Jian－hong，WANG Kai，ZHONG Fusheng.Approach and application of rock slopes’stability assessment under the comprehensive effect of multiple factors［J］.Science ＆Technology Review，2013，31（20）：20－25.（in Chinese））

［4］丁麗宏.基于改進的灰關聯分析和層次分析法的邊坡穩定性研究［J］.巖土力學，2011，32（11）：3437－3441.（DING LI－hong.Research on the estimation of the slope stability based on the improved grey correlation analysis and analytic hierarchy process［J］.Rock and Soil Mechanics，2011，32（11）：3437－3441.（in Chinese））

［5］付士根.基于模糊隨機可靠性的邊坡穩定性評價［J］.中國安全科學學報，2012，8（8）：98－101.（FU Shigeng.Stability assessment of opencast mines slope based on the fuzzy stochastic reliability［J］.Journal of Safety Science and Technology，2012，8（8）：98－101.（in Chinese））

［6］崔建林，趙德安，余云燕，等.基于模糊概率的邊坡穩定性研究［J］.蘭州交通大學學報，2012，31（6）：20－23.（CUI Jian－lin，ZHAO De－an，YU Yun－yan，et al.Stability study of the slope based on the fuzzy probability［J］.Journal of Lanzhou Jiaotong University，2012，31（6）：20－23.（in Chinese））

［7］王宇，曹強，李曉，等.邊坡漸進破壞的模糊隨機可靠性研究［J］.工程地質學報，2011，11（9）：852－858.（WANG Yu，CAO Qiang，LI Xiao，et al.Fuzzy asymptotic theory based reliability analysis for slope progressive failure［J］.Journal of Engineering Geology，2011，11（9）：852－858.（in Chinese））

［8］劉章軍，陳飛，周宜紅.巖質路塹深邊坡穩定性評價的模糊概率方法［J］.巖土力學，2008，29（z1）：368－372.（LIU Zhang－jun，CHEN Fei，ZHOU Yi－hong.Stability evaluation of the depth cutting slope in rock mass based on the fuzzy probability method［J］.Rock and Soil Mechanics，2008，29（z1）：368－372.（in Chinese））

［9］楊坤，周創兵，張昕，等.邊坡塊狀結構巖體模糊隨機可靠性分析［J］.巖石力學與工程學報，2006，25（2）：407－413.（YANG Kun，ZHOU Chuang－bing，ZHANG Xin，et al.Fuzzy－random reliability analysis of blocky rock mass in slopes［J］.Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2006，25（2）：407－413.（in Chinese））

［10］周子龍，李夕兵，趙國彥.民窿空區群級聯失穩評價［J］.自然災害學報，2007，16（5）：91－95.（ZHOU Zi－long，LI Xi－bing，ZHAO Guo－yan.Evaluation of the cascading collapse for private mined zone groups［J］.Journal of Natural Disasters，2007，16（5）：91－95.（in Chinese））

［11］郭生茂，劉濤，程剛，等.基于RG法的空區群礦柱臨界破壞條件研究［J］.金屬礦山，2014（8）：125－128.（GUO Sheng－mao，LIU Tao，CHENG Gang，et al.Pillar critical failure condition of mined－out zone groups based on RG method［J］.Metal Mine，2014（8）：125－128.（in Chinese））

［12］廖九波，鄒洋，馬馳，等.深部開采突水機制的細觀分析和臨界破壞行為［J］.中國礦山工程，2012，42（1）：66－71.（LIAO Jiu－bo，ZOU Yang，MA Chi，et al.Micromechanical analysis and critical failure actions of water－inrush mechanism in deep mining［J］.China Mine Engineering，2012，42（1）：66－71.（in Chinese））

［13］郝柏林.從拋物線談起：混沌動力學引論［M］.上海：上海科技教育出版社，1993.（HAO Bo－lin.Starting with parabolas：An introduction to chaotic dynamics［M］.Shanghai：Shanghai Science and Technology Education Press，1993.（in Chinese））