空間映射粒子群算法用于電磁優化計算

樓 群田雨波邱大為劉 東王兆尹

空間映射粒子群算法用于電磁優化計算

樓 群1，2田雨波1邱大為1劉 東1王兆尹1

（1.江蘇科技大學電子信息學院，江蘇鎮江212003；2.南京大學電子科學與工程學院，江蘇南京210046）

將粒子群算法與空間映射算法相結合，提出了一種空間映射粒子群優化算法，并用于電磁問題的優化計算.算法實現過程中，將電磁仿真計算中精確網格剖分的計算模型作為精確模型，將粗糙網格剖分計算模型作為粗糙模型，在粒子群算法中計算粒子適應度前，使用粗糙模型結合基于卡爾曼濾波的映射關系，估計出粒子是否對算法最優解更新有效，并對有效的部分粒子做適應度計算，可以很大程度上減少算法的計算耗時.通過E型貼片天線和諧振腔縫隙天線的優化仿真說明了本算法的有效性.

粒子群算法；空間映射；電磁優化

引 言

粒子群優化算法（Particle Swarm Optimiza－tion）PSO是一種群體智能優化計算方法，其思想來源于自然界中鳥類捕食，最早由美國的Kennedy和Eberhart教授于1994年提出［1］.PSO算法是求解域的直接迭代優化算法，且算法參數較少，易于實現，其一經提出就備受眾多學者關注.對于PSO算法，已經提出了多種改進粒子群算法來提高優化收斂速度，如根據群體適應度方差自適應變異的PSO［2］、停滯檢測的PSO算法［3］、量子PSO算法［4］、小波變異PSO算法［5］.

目前，使用智能優化算法優化設計電磁問題漸漸成為一種主流的優化設計方法，而粒子群算法又是一種備受推崇的簡單直接的智能優化算法.近些年，許多文獻將粒子群及其改進算法用于優化計算電磁問題并取得了較好的效果［6］，如文獻［5］采用小波變異粒子群算法優化直線天線陣列，文獻［7］使用PSO算法優化倒L天線陣列，文獻［8］采用多目標粒子群算法優化平面螺旋天線等等.但是，由于電磁仿真計算耗時長，計算強度大，使用粒子群算法等智能優化算法優化電磁問題所需要的計算時間難以忍受.對于電磁快速優化計算，Bandler于1994年一種空間映射算法［9］，使用計算速度快、精度差的粗糙模型輔助優化計算，從而大幅減少計算時間.之后，該研究組又分別于1995年和2000年提出漸進空間映射［10］和隱式空間映射［11］.近期，文獻［12－13］使用了全波分析以及臨近域估計的方法建立粗糙模型，這種建立粗糙模型的方法十分富有借鑒意義；文獻［14］提出了一種反向線性輸入、神經模糊輸出的2D－3D空間映射算法；文獻［15］提出了一種三水平輸出空間映射算法；文獻［16］使用傅里葉變換后的散射場作為空間映射算法的輸入和輸出；文獻［17］基于統計模型提出了一種可移植的空間映射算法.上述空間映射算法及其后續改進算法的文獻都不可否定地證明了，空間映射思想在電磁問題快速計算中的高效性和魯棒性［18－19］.

在粒子群算法的粒子迭代計算過程中使用了空間映射思路.估計粒子是否對算法尋優有效，這使得算法的每次迭代只需對算法尋優可能有效的粒子進行精確仿真計算，將一部分需要精確仿真計算的計算量替換為粗略計算和數學估計，粒子群算法便可在很大程度上減少計算量、提高計算效率.

1 空間映射粒子群算法

1.1粒子群算法中的空間映射關系

考慮到粒子群算法優化的電磁模型是任意的，需要一個對于任意電磁模型都存在的粗糙模型，該模型應該具有相比精確仿真計算耗時少的特點.對此，借鑒文獻［20］，使用粗糙網格剖分的計算結果作為粗糙模型，用來輔助粒子群算法優化計算.

首先建立一個線性系統模型［21］，將粗糙模型計算結果視為系統觀測值，精確模型計算結果視為系統狀態值，采用卡爾曼濾波［21－22］便可從已知的系統觀測值（粗糙模型計算結果）估計出系統狀態值（精確計算結果），建立映射關系.這里系統的狀態方程為

式中：x（t）為粒子群第t次精確模型計算結果矢量；y（t）為t次粗糙模型計算結果矢量；u（t）為t次計算誤差矢量，認為其為隨機矢量.注意到空間映射算法中u（t）的均值不一定為零矢量，即不滿足：

對此，將矢量u（t）分解為

式中：w（t）為非隨機矢量，v（t）為均值為零矢量的隨機變量，滿足：

令z（t）＝y（t）－w（t），式（1）變換為

則卡爾曼濾波估計的迭代公式如下：

在已知粗糙模型計算結果的基礎上，可以通過式（6）和式（7）估計出精確計算結果.由于卡爾曼濾波具有估計問題魯棒性很高的優點，故由粗糙模型估計出的精確計算結果在一定程度上可以代表精確計算結果.

1.2空間映射粒子群算法

對于粒子群算法的每次迭代過程，由于卡爾曼濾波有著很高的魯棒性，可以假設在相鄰迭代次數下，精確模型計算結果與粗糙模型計算結果之差基本滿足同一分布概率，且均值、方差相同，這種假設可能在開始搜索時誤差較大，但是隨著粒子群算法的收斂，粒子將漸漸地在很小的范圍內運動，這時上述假設會大幅提高估計精度，即在預測估計隨著粒子群算法的收斂而變得越來越精確.實際上，在粒子群算法的搜索初期，粒子與粒子之間的適應度差距較大，因而精度稍差的預測估計并不會導致算法的前期預測估計有著較大的誤差，而在粒子群算法搜索趨近于收斂的過程中，預測估計的精度隨之提高，剛好可以滿足精確搜索的要求.這樣，可以使用上一次迭代過程中樣本所含信息（均值、方差等），并基于卡爾曼濾波估計理論，估計出本次精確模型與粗糙模型計算結果之差.又注意到，當認為相鄰的迭代次數中精確模型與粗糙模型的計算結果誤差的均值與方差基本相同時，可以將第t－1次迭代中計算過的精確模型與相應的粗糙模型作對比，求出誤差的均值與方差，并保留此次迭代完成后預測的精確模型值（t｜t）以及參量P（t｜t），將其作為第t次粒子群迭代時預測估計誤差所需要的初始條件，得到了式（4）中w（t）、G（t）以及式（7）中（0｜0）、P（0｜0）.

基于上述思路，空間映射粒子群算法步驟如下：

1）對電磁問題進行建模，確定優化問題的求解空間，根據粗糙網格剖分建立粗糙模型，確定粗糙模型網格細化次數以及滿足問題要求精度的精確模型網格細化次數.

2）初始化粒子群算法參數，設定迭代次數、粒子群大小、求解空間、初始化粒子位置，計算粒子的精確模型適應度以及粗糙模型適應度，根據計算結果，求解精確模型與粗糙模型適應度之間誤差的均值、方差，設定卡爾曼濾波初始狀態參量.

3）依照粒子群的迭代更新公式（8），更新粒子位置，并求解粗糙模型適應度，使用卡爾曼濾波估計的映射關系公式（6），估計精確模型適應度.

式中：變量ω取為1－0.6（i／NP），i為迭代次數，NP為粒子群最大迭代次數；c1，c2，c3為常數；lbest為每個粒子搜索過的個體最優位置矢量；gbest為所有粒子搜索過的全局最優位置矢量；v（i），p（i）分別為粒子第i次迭代時的速度矢量和位置矢量.

4）根據估計的精確模型適應度，判斷哪些粒子可能更新全局最優解與個體最優解，對于可能更新算法最優解的那些粒子，求解其精確模型適應度，更新估計誤差參數.

5）使用步驟4）中求解的精確模型適應度，判斷是否可以更新全局最優和個體最優，若是則更新全局最優和個體最優.

6）判斷粒子群算法是否滿足迭代次數，若是則輸出結果，算法結束；否則返回步驟3）.

算法流程圖如圖1所示.

圖1 空間映射粒子群算法的流程圖

客觀上，基于上述思路提出的空間映射粒子群算法，會在相對較小地犧牲了智能算法所不敏感的計算精度前提下，極大降低優化計算量.又注意到，上述算法的核心在于卡爾曼濾波估計建立起的映射關系，而卡爾曼濾波估計是信號處理理論的一種數據估計方法，其表征在樣本的概率統計上，故此種方法所建立起的映射關系可以認為與獲取粗糙模型的方法無關，在電磁問題中，其表現為可適用于各種不同的電磁數值計算方法所獲取的粗糙模型.

2 優化計算實例

為了證明上述提出的空間映射粒子群算法的有效性，本文對兩個電磁模型分別做了仿真計算.因為基于卡爾曼濾波估計的映射關系與電磁模型的計算方法無關，故這里采用商業電磁軟件HFSS做有限元電磁計算，將其第三次、第六次網格剖分結果分別作為粗糙模型計算結果和精確模型計算結果，通過HFSS的vbs接口實現優化仿真計算.

2.1E型貼片天線的優化仿真

圖2給出的E型貼片天線為本文所要優化的第一個電磁模型，圖中x1，x2，x3，x4是優化變量；W為2.55mm，由端口阻抗50Ω確定；介質板厚度為0.8mm，采用材料Rogers RT／duroid 5880，其相對介電常數為2.2；粒子搜索空間為｛x｜［8，1.5，1.5，1.5］＜x＜［15，5，5，5］｝，粒子群算法迭代次數設為100，種群個數設為15.

圖2 E型貼片天線模型

在10GHz處優化計算天線S11參數，適應度取為

對于上述E型貼片天線的優化問題，圖3為計算結果，其中圖3（a）為總精確計算次數與有效精確計算次數曲線，圖3（b）為適應度收斂曲線.從圖3（a）中可以看出，隨著算法的迭代，所估計出需要精確計算的粒子數量在200～250之間，且總的精確計算次數與有效的精確計算次數相差不大，這證明了基于卡爾曼估計的映射關系有著不錯的效果.從圖3（b）可以看出算法已經趨于收斂.在本次仿真計算中，總共精確計算227次，其中125次對粒子群算法更新全局最優和個體最優有效，計算粗糙模型1 500次，且最后適應度函數為17.7，若不使用空間映射思路則需要運算精確模型1 500次.可以得出結論，基于卡爾曼濾波估計所建立的空間映射關系有著較好的效果，且空間映射粒子群算法相比粒子群算法優化效率得到了大幅提高.

圖3 E型天線10 GHz優化結果

同樣，本文對上述E型貼片天線在11GHz處再次進行了優化計算，計算結果如圖4（a）和圖4（b）所示.在本次仿真計算中，總共計算精確模型125次，其中66次計算對粒子群算法更新全局最優和個體最優有效，計算粗糙模型1 500次，最后適應度為19.9，若不使用空間映射思路則需要運算精確模型1 500次.同樣可以得出結論，基于卡爾曼濾波估計所建立的空間映射關系有著較好的效果，空間映射粒子群算法相比粒子群算法優化效率得到了大幅提高.

圖4 E型天線11GHz優化結果

2.2諧振腔縫隙天線的優化設計

為了進一步證明算法的有效性，再次優化計算一種諧振腔縫隙天線.根據天線輻射原理，在諧振腔上開一縫隙，使其輻射電磁波，即為諧振腔縫隙天線，如圖5所示.試圖優化此模型，使其達到最優效果，優化參數是x1、x2、x3、x4、x5，其搜索空間為｛x｜［16，15，2，5，5，0.2］＜x＜［19，19，6，15，15，2］｝.同樣，W為2.55mm，由端口阻抗50Ω確定；介質板參數與2.1中E型貼片天線相同.

圖5 諧振腔縫隙天線模型

對于此算例，首先優化設計出諧振頻率為9 GHz的諧振腔縫隙天線.此為5維優化問題，設置種群個數為15，算法迭代70次.仿真計算結果如圖6所示.從圖6（a）可以看出，隨著算法的迭代，所估計出需要計算精確模型的粒子數量在140～160之間.從圖6（b）可以看出，算法已經趨于收斂.在本次仿真計算中，總共計算精確模型152次，其中134次計算對更新全局最優和個體最優有效，計算粗糙模型1 050次，且最后適應度函數達到84.0，若不使用空間映射思路則需要運算精確模型1 050次.可以得出結論，基于卡爾曼濾波估計所建立的空間映射關系有著較好的效果，且空間映射粒子群算法相比粒子群算法優化效率得到了大幅提高.

圖6 縫隙天線9 GHz優化結果

同樣，對上述諧振腔縫隙天線在11GHz進行了優化計算.設置迭代次數為100次，種群大小為15，搜索空間與上次相同，仿真計算結果如圖7所示.在本次仿真計算中，總共計算精確模型64次，其中49次計算對粒子群算法更新全局最優和個體最優有效，計算粗糙模型1 500次，最后適應度函數達到29.1，若不使用空間映射思路則需要運算精確模型1 500次.同樣可以得出結論，基于卡爾曼濾波估計所建立的空間映射關系有著較好的效果，且空間映射粒子群算法相比粒子群算法優化效率得到了大幅提高.

圖7 縫隙天線11 GHz優化結果

3 結 論

本文提出了一種空間映射粒子群算法，通過使用粗糙的網格剖分和卡爾曼濾波空間映射關系輔助精確計算，極大地提高了電磁優化問題中的計算效率，其相對較小地犧牲了智能計算中不敏感的計算精度，極大地降低了計算量.文中分別對一般的E型貼片天線及自設計的諧振腔縫隙天線兩個電磁模型做了四組優化計算，從仿真結果可以看出，本文提出的空間映射粒子群算法有著較好的優化效果，且可以極大地減小優化計算時間.

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Space－mapping particle swarm optimization on electromagnetic optimization

LOU Qun1，2TIAN Yubo1QIU Dawei1LIU Dong1WANG Zhaoyin1
（1.School of Electronics and Information，Jiangsu University of Science and Technology，Zhenjiang Jiangsu 212003，China；2.School of Electronic Science and Engineering，Nanjing University，Nanjing Jiangsu 210046，China）

This paper proposes a kind of space－mapping particle swarm optimization by combining space－mapping with particle swarm optimization（PSO）.In this algorithm，accurate－mesh simulation is regarded as accurate model，and coarse－mesh simulation is regarded as coarse model.Estimation of accurate result is gotten by Kalman filter mapping relation and coarse model，which can determine whether the particle is efficient for updating PSO or not，before calculating the fitness of each particle in PSO.This，in turn，can avoid the simulation of inefficient particle at some level，directly leading to reducing the computation of PSO.Simulations of E－kind patch antenna and cavity slot antenna proof the efficiency of the algorithm.

particle swarm optimization；space－mapping；electromagnetic optimization

TN802

A

1005－0388（2015）02－0217－07

樓 群（1989－），男，江蘇人，南京大學博士研究生，目前主要研究方向為計算智能和天線優化設計.

田雨波（1971－），男（滿族），遼寧人，江蘇科技大學教授，博士，2009年到美國UCLA做訪問學者，目前主要研究方向為計算智能應用于電子學與電磁學問題.

邱大為（1989－），男，江蘇人，江蘇科技大學碩士，目前主要研究方向為微帶天線優化設計.

樓 群，田雨波，邱大為，等.空間映射粒子群算法用于電磁優化計算［J］.電波科學學報，2015，30（2）：217－223.

10.13443／j.cjors.2014042801

LOU Qun，TIAN Yubo，QIU Dawei，et al.Space－mapping particle swarm optimization on electromagnetic optimization［J］.Chinese Journal of Radio Science，2015，30（2）：217－223.（in Chinese）.doi：10.13443／j.cjors.2014042801

2014－04－28

聯系人：樓群E－mail：lancelou＠qq.com