一類帶吸附項雙重退化奇異擴散方程的解

歐陽苗

(廈門理工學院應用數學學院,福建廈門361024)

一類帶吸附項雙重退化奇異擴散方程的解

歐陽苗

(廈門理工學院應用數學學院,福建廈門361024)

雙重退化；擴散方程；存在性；唯一性

關于一般的雙重退化奇異擴散方程

文獻 ［1］詳細給出了解的存在唯一性.當α＝0,方程 (1)為發展P-Laplace方程

式(3)中：Ω是RN中邊界?Ω充分光滑的有界區域；d(x)＝dist(x,?Ω)；p＞1；q＞1；α＞0；φ∈C2,且存在δ＞0使得φ′(s)＞δ＞0.

1 弱解的定義及主要結論

根據文獻 ［2］,方程 (3)在邊界上退化,即使在有界區域上,邊值問題依賴于熱擴散系數消失比率α的大小.若0＜α＜p－1,給齊次Dirichlet邊值條件：

若α≥p－1,方程 (3)的熱傳導問題不受邊界條件的限制.初值條件總是必需的：

對于方程 (1),文獻 ［1］得到了命題1和命題2.

命題2設α≥p－1,無需邊值條件,方程 (1)(5)最多只有一個解.

本文證明帶吸附項的雙重退化奇異擴散方程 (3)有以下結論：

定理2設α≥p－1,無需邊值條件,方程 (3)(5)最多只有一個解.

2 證明

為研究方程 (3),考慮它的正則化問題：

其中dε＝d＋ε,ε＞0.解的性質與發展P－Laplace方程類似,即：

且 (8)在跡的意義下成立.

故引理得證.

2.1 定理1的證明

由于α/(p－1)＜1,p－α＞1,存在常數β∈(α/(p－1),1)使得p－α/β＞1.由β＜1,p－α/β＞1,不難得知存在常數γ∈(1,p－α/β)使得βγ＜1.故

C是與ε無關的正常數.即?uε在Lγ(QT)中一致有界,得證u滿足邊界條件 (4).

唯一性：設u和v均是初邊值問題 (3)(4)(5)的弱解,u(x,0)＝v(x,0).由弱解定義,任何φ∈(QT)應滿足：

將任意固定的s∈［0,T］,通過光滑化,選取X［0,s］(u－v)作為以上等式的檢驗函數,其中X［0,s］是［0,s］上是特征函數.于是

注意到φ∈C2,由微分中值定理,?ξ∈Qs,使得φ(u)－φ(v)＝φ′(ξ)(u－v).又φ′＞0,由積分第一中值定理知,?ξ0∈Qs,使得

s)＝v(x,s)對(x,s)∈QT幾乎處處成立.

定理1得證.

2.2 定理2的證明

存在性已由引理1給出,以下證明唯一性.

成立.對任意固……