淺水波方程的暗孤子解

歐陽正勇，鄭 珊

(1.佛山科學技術學院理學院,廣東佛山528000; 2.廣州航海學院基礎部,廣東廣州520725)

淺水波方程的暗孤子解

歐陽正勇1，鄭 珊2

(1.佛山科學技術學院理學院,廣東佛山528000; 2.廣州航海學院基礎部,廣東廣州520725)

研究了一個非線性淺水波動方程的孤立子解，運用微分方程定性理論，證明了向左遷移的暗孤子解的存在性，并分析了暗孤子解的一些定性特征：該解具有對稱性，其振幅隨著波速的增大而增加，不同波速的暗孤子解必相交于對稱的兩點，在無窮遠處呈指數衰減到零.

淺水波方程；微分定性理論；暗孤子

考慮淺水波動方程［1－2］

1 暗孤子解的存在性

圖1 一維水波圖形Fig.1 One鄄dimensional water wave profile

文獻［2］研究了當波速c＞1時,方程(1)存在孤立子解,本文對方程(1)(見圖1)進行了進一步的研究,證明了當波速c＜－1時,方程(1)存在暗孤立子解,并給出了暗孤子解的一些定性特征.

作變換［2］

方程(1)可轉換成如下常微分方程

注波速c大于0時表示右行波,波速c小于0時表示左行波,本文研究的孤立子解滿足條件φ, φ(n)→0(ξ→∞),其中n∈N.

對方程(3)兩邊關于ξ積分,得

其中C為積分常數.因為本文中考慮的暗孤子解滿足φ,φ′→0(ξ→∞),故方程(4)中的積分常數C為0.

將方程(4)轉變成對應的平面系統如下：

系統(5)的首次積分為

其中h為積分常數.

定理1當波速c＜－1時,方程(1)存在整體暗孤子解.

證明當波速c＜－1時,系統(5)有兩個平衡點P1(0,0)和P2(φc,0),其中φc是多項式

唯一的負實根.事實上P(φ)關于φ是單調遞減的,且P(φ)→＋∞(φ→－∞),P(φ)→－∞(φ→＋∞),故P(φ)有唯一的零點.又因為當c＜－1時,

所以φc＜0.

下面計算系統(5)的線性化系統在平衡點P1(0,0)和P2(φc,0)處……