對“0是自然數”的幾點教學思考

張偉東

一、計數的歷史

數量是對生活中具體事物的抽象，而數是對數量的抽象，或者說，“數”就是用來描述具體事物的多少這個抽象概念，當客觀的需要要求人們弄清楚所有物的多少時，“數”的產生就有了它的合理性，只是，在這種合理性之中還有缺陷，就是對“零”的忽視。由于人們最初只是記錄有具體數量的物體的“數”，而對于一無所有的現象并不感興趣，所以，在古代中國、埃及以及后來的古羅馬等地使用的數字符號中，都沒有表示“零”的符號，如今通用表示“零”的符號為“0”，是直到約公元5世紀才由印度人首先提出的。或許就是因為這種慣性思維，近代以來，人們也大都是把“1”看作自然數的開始，依然沒有對“0”加以多少的關注。

二、為什么自然數可以包括“0”

如果只是為了尊重國家標準的嚴肅性，而將“0”硬性地劃入到自然數系當中，說服性是不高的，所以，必須從理論與實際兩方面認識“0”作為自然數的合理性與價值，才能使我們更清楚地了解自然數的性質，這也才是正確的學術態度。

首先，從自然數的公理系統（皮亞諾公理系統）來看，定義自然數，需要規定自然數的起源、后繼性并在此基礎上衍生、推廣出整個自然數集。這里需要注意的是，該公理最初規定自然數是從“1”開始的，并在“1”的后面通過直接后繼的方法生成所有的自然數，而后來皮亞諾又把自然數改成了從“0”開始，這是為了說明“0”不是任何數的后繼，它有其特有的性質。

在教學中，我們可以給學生說明一個道理：數數不一定非得從眼見為實的“1”開始，空無一物的東西也需要加以重視，“0”可以省略，但絕不能忽略。普通的自然數可以當成是實實在在的“存在”，“0”則是潛在的“存在”，兩者可以互相轉化，忽視任何一方面內容都是不正確的。當然，小學數學課堂里沒必要上升到哲學的層面，但培養學生思考事物本質的思維卻是大有裨益的，這也符合培養學生數學意識的新課標精神。

其次，“0”成為自然數之后，對數的擴充起到了很大的作用。從定義來看，正整數表示的是大于“0”的整數，自然數按照原定義則是從“1”開始的用以計量事物的件數或表示事物次序的數。且不說兩者在數集上是重合的，浪費了資源，當遇到數集擴充到整數集的問題時，他們所能提供的幫助也很有限的。一句話，還是忽略了“0”的存在！

具體來看，想從正整數集（或是原來的自然數集）直接擴展到整數集，在書寫與教學時還需加上一個“0”，因為正整數可以有相反數，而0不是任何數的相反數，顯然，這樣的描述是不符合簡約化要求的。而新自然數集的產生彌補了這一缺陷，使數系的擴充更簡便，更有說服力。另外，小學課堂在講解十進位制的時候，如果出現“逢十進一”的情況，這里的“10”是自然數，而“0”卻不是自然數，這將給學生的理解帶來一些困難，也是不利于教學的。

三、自然數里加入“0”之后，引起的一些現實教學問題

問題一：“最小的一位數是0還是1？”想弄清楚這個問題，首先要知道關于“幾位數”的準確定義，《現代漢語字典》上明確說明：“用幾個數字寫出來的自然數（最左端的數字不能是0），就叫幾位數。”也就是說，字典上是默認0不能單獨作為一位數存在的，自然也就不是最小的一位數了。再進一步考慮“0”在實際生活中的用途，即：表示什么也沒有、表示起點或界限、起到占數位的作用等等，尤其是最后一點作用——占數位：一般我們在記數時，如果數的某一數位上一個單位也沒有，就用0來占位。比如，10的個位，100的十位、個位上一個單位也沒有，就用0來占位。而如果出現“00”“000”這樣的數，不論是占數位還是單獨出現，都是非常不符合常理的。所以，在通常的位數教學中還是應該避免涉及“0是幾位數”的問題，我們只能說0是最小的自然數，并默認“1”是最小的一位數。

問題二：“曾經自然數可分為質數、合數和1，那么，0成為自然數之后，到底是質數還是合數，或是單獨成為一類？”這是一個新數集內的分類問題，由于數學學科的科學性，人們的慣性思維是把每一個概念都分析清楚，并安排好它們的“歸宿”，似乎不分門別類地排好順序，就拿不出手。

問題三：“如何處理約數、倍數問題中的0？”在這個問題上，現行教材對于約數、倍數等概念中都選擇了不包括0的策略，算不上逃避，但至少是暫緩解決。

總而言之，“0”這個數字是有其特殊性的，它雖然同其他的阿拉伯數字一樣也來自神秘的古印度，但受佛教影響，表示一種超脫于現實事物的絕對存在，類似于中國道家里的“道”。簡單地說，數“0”自成一家，數“1”到無窮是另一類。而作為人們數數的工具，自然數在后來將其源起從“1”擴展至“0”，也是為了更一般的描述數與數量，描述這個世界。因此，在實際教學中，不論遇到什么樣的問題，都需記住自然數的計數本質，那么問題就一定能夠解決。

參考文獻：

張奠宙.小學數學研究[M].北京：高等教育出版社，2009.