巧“借助”，解“概念”

董玉華

數學概念是數學知識系統中的基本元素，是解決數學問題的前提，是數學研究對象的高度抽象和概括，它反映了數學對象的本質屬性，是最重要的數學知識之一。概念是數學基礎知識中最基礎的知識，是數學知識的基石，是學生進行數學思維的第一要素，對它的理解和掌握關系到學生計算能力和邏輯思維能力的培養，關系到學生解決實際問題的能力和對學習數學的興趣。

一、借助生活經歷，感悟概念

小學生理解和掌握概念都是建立在已有知識經驗基礎上的。聯系生活實例，利用已有知識和活動經驗，采用直觀操作等活動形式，自然地引出概念，既可以激發學生的學習興趣，激活學生的思維，又能幫助學生依靠對經驗的概括和新舊概念的本質，通過同化概念的方式獲得新概念。在《認識負數》一課，借學生的生活經驗，把溫度作為引入負數的基本素材，讓學生通過讀溫度計上的溫度，用手勢表示溫度計中的零上溫度和零下溫度，理解像零下幾度的數就是生活中存在的負數。

師：觀察一下，溫度計上有兩個2度，如何區分？

生：上面的是2度，下面的是零下2度。

生：零上的是零上2度，零下面的是零下2度。

生：零上的兩格是2度，零下的格是負2度。

師：先找什么？再怎么找？

生：先找0，再往下找2格就是零下2度。

師：0有什么作用？

生：0是分界的作用。高于0度就是零上的溫度，低于0度就是零下的溫度。

師：非常棒，0是零上溫度和零下溫度的分界點。零下2度，表示-2度，零上2度表示2度。

師：現在知道為什么要用-2度來表示零下2度了嗎？

生：因為有兩個2度，是零下還是零上要區分開來。

師：是啊，以前學過的數只能表示零度或零上的溫度，現在用負數來表示零下的溫度。

師：像-2這樣的數，你在生活中見過嗎？

生：見過。電梯上的按鈕有-1、-2，表示地下一層、地下二層。

師：那知道這里的-1層是以什么為分界點的嗎？

生：以地面為分界點，地面就像是0，地面以下第一層就是-1層，地面以上第一層是1層。

師：你用自己的方式在紙上表示出你所看到的-1、-2的意義。

生各自用畫圖、寫話等方式表示-1、-2的意義。

對于負數的理解，僅僅是看到它外顯的樣子，即一個數的前面添一個負號，是遠遠不夠的。0作為正數與負數的分水嶺，0既不是正數也不是負數。對于0的認識，則是數感的一次突破。在數的領域，0通常表示沒有。而在生活中，溫度計上的溫度學生已經會讀，借助“在溫度計先找什么，再怎么找”感知到0作為一個分界點，或者說是一個標準的作用。為了讓學生更深入地理解0作為標準的狀態，“像這樣的負數，你在生活中還看到過嗎？”借助學生的生活經驗，從生活中的例子提取出有關正數與負數的信息，并進一步揭示正負數的本質特征，加深對負數這一概念的感悟。學生在生活中經常見到電梯里-1、-2，也知道-1就表示地下1層，但對于以地面為分界點也許還比較模糊。借助剛才溫度計上以0為分界點的認知和動手畫圖，更深入地感悟負數的意義。

二、借助操作體驗，深化概念

操作活動既是感知本源，也是思維的基礎，兒童思維發展的一般規律性是從具體的實驗操作開始的。讓學生在操作中思考，在操作中感悟，進而深化對概念的認識。比如，在《認識分數》一課中，為了讓學生感知一個整體的幾分之一，我設計了以下活動：

師：盒里有4個桃，平均分給兩只小猴，每只小猴分得這盒桃的幾分之幾？你能畫一畫，分一分，再涂一涂嗎？

生：我把4個桃平均分成2份，每只小猴分得這盒桃的二分之一。

生：我把4個桃平均分成2份，每小猴分到2個桃，也就是這盒桃的二分之一。

師：為什么是二分之一？

生：因為把桃平均分成了2份，一只猴分了其中的一份，也就是二分之一。

師：如果這盒桃有6個，平均分給2只猴，每只猴分得這盒桃的幾分之幾？請你再來畫一畫，分一分，涂一涂。

生：每只猴還是分得這盒桃的二分之一。

生：把6個桃平均分成2份，每只猴分到3個桃，也就是分得這盒桃的二分之一。

師：為什么是二分之一？

生：因為把桃平均分成了2份，一只猴分了其中的一份，也就是二分之一。

師：如果這盒桃有8個呢？

生：每只猴還是分得這盒桃的二分之一。

師：剛才的分桃過程，有什么相同與不同的地方？

生：每只小猴都是分得這盒桃的二分之一。

生：都是平均分成兩份。

生：只是桃的總個數不同，每只小猴分到的個數也不同。

師：桃的總個數不同，每只猴分到的個數也不同，為什么卻都可以用二分之一來表示呢？

生：因為都是把桃平均分成2份，每只猴都是分得其中的一份，所以都用二分之一來表示。

師：是?。〔还芴业目倐€數有幾個，只要是把桃平均分為2份，表示其中的一份就是二分之一。

分數的本質，即把一個整體平均分成若干份，表示其中的一份就用幾分之一來表示，與整體的具體個數無關，只與平均分的份數和表示的份數有關。為了觸及分數的本質，通過“畫一畫、分一分、涂一涂”的動手操作，經歷分桃的異同之處，從而發現并揭示概念，真切地感受分數的本質，操作與本質對接，思考與感悟共融。借助操作體驗，豐富并深化對概念的理解，加深體驗與思考的結合。

三、借助解決問題，提升概念

引導學生運用概念去解決問題，培養學生思維、發展數學能力。讓學生在解決問題的過程中，鞏固所學概念，明晰易模糊的概念之間的區別。學生在學習了周長和面積之和，經常容易混淆周長與面積這兩個概念的本質特征?？梢酝ㄟ^解決問題幫助學生清晰周長與面積之間的本質區別。例如：

兩個完全一樣的正方形邊長是3厘米，拼成一個長方形，長方形的周長是多少？面積呢？

師：你打算怎樣解決這個問題？

生：我覺得先算出一個正方形的周長是3×4=12厘米，再用12×2=24厘米。長方形的周長就是24厘米。面積也一樣，先算一個正方形的面積是3×3=9平方厘米，再算9×2=18平方厘米。長方形的面積就是18平方厘米。

生：我覺得他算的面積是對的，但周長不對。兩個正方形合并起來變成長方形，中間有兩條邊就不在周長里了，長方形的周長就會比兩個正方形的周長和少掉兩條邊的長度。

師：為什么中間兩條邊不能算？

生：因為長方形的周長是長方形一周邊線的長，中間兩條邊不在長方形邊線上。

師：非常棒，你從長方形周長的概念上出發說明了你的觀點。還有誰想說嗎？

生：這兩條邊是正方形的，因此算正方形的周長時，要算上這個邊。但是這兩條邊不是長方形的，因此長方形的周長不能算上這兩條邊。

師：兩個完全一樣的正方形拼成一個長方形，長方形的周長比兩個正方形的周長之和少了兩條邊長。那面積呢？

生：長方形的面積等于兩個正方形的面積和。

師：咦？長方形的周長比兩個正方形的周長和少了兩條邊，而長方形的面積卻為什么等于兩個正方形的面積和呢？

生：面積跟周長不一樣，面積是里面的面的大小。拼的過程中面積沒有重疊或減少，而周長卻少掉了兩條邊線的長。

在數學概念的學習過程中，學生只有真正理解了知識的內涵，才能內化為自己的知識和經驗，并靈活運用到解決具體問題的情境中去。也只有在解決問題的過程中才能進一步鞏固概念、理解概念，提升對概念本質的理解。