關于《空間解析幾何》課堂教學設計探究

王雪麗

DOI：10.16661/j.cnki.1672-3791.2015.36.235

摘 要：該文以《高等數學》下冊的《空間解析幾何》§1和§2內容為例，談談我的課堂教學設計，目的使學生更好地理解和接受空間解析幾何的思想方法，系統完整的認識和掌握點線面知識，為高等數學后面多元函數的微積分學習打下堅實的基礎。

關鍵詞：空間解析幾何 向量 直線 平面

中圖分類號：G40-057 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2015）12（c）-0235-02

Instructional Design and Teaching Art Research of Space Analytic Geometry

Wang Xueli

（The Pilot College Of？Beijing University？of Technology，Beijing，101101，China）

Abstract：Space analytic geometry，which was in the part II of higher mathematics，is adopted for an example to discuss about？？instructional design and teaching art，which objective is to make the students understand and accept the relevant knowledge better，and get complete and system understanding about the knowledge of point，line and surface，furthermore to lay a solid foundationfor studying calculus of poly-function.

Key Word：Space analytic geometry；Vector；line；Surface

《空間解析幾何》§1空間向量及其運算、§2空間平面和直線方程內容是學生學過的簡單內容，并且是為學生推廣學習及后面多元函數的積分做準備。為此，考慮對這兩節內容的課堂教學處理：拋開書本內容的次序，考慮從點的集合論角度出發，從簡單入手，由一點擴到多點，從一維空間到多維空間不同的表現形式，引出點、線、面的表示及其幾何意義，目的使學生系統完整的認識和掌握點線面的知識。具體做法如下。

1 點

點在不同的空間有不同的表示，從一點開始：

在一維空間，它與數軸上的點對應，表示是取值取自于實數域上的點。

在二維空間，可以通過其位置（坐標或向徑）對應表示，為了表示這一點，建立平面直角坐標系，或極坐標系，使用有序實數（x，y），（ρ，θ）或向量（xi+yi）表示。這里，為了表示同一點的兩個坐標之間的關系，從其幾何關系不難得出：x=ρcosθ，y=ρsinθ關系式；同時，重點強調學生不太熟悉的內容：向量的概念和性質、幾何意義；

在三維空間，與二維空間同樣的考慮，建立坐標系—— 空間直角坐標系，或柱面坐標系，或球面坐標系，坐標表示點為（x，y，z），（ρ，θ，z），（ρ，θ，φ）或向量表示（xi+yi+Zk），幾何得出同一點不同的坐標之間的關系等等。

以此類推，可推廣研究任意維數的空間中的點的表示。

2 線

線由點構成。幾何描點即可得到線。如何表示線呢？眾所周知，曲線上任一點的坐標都滿足方程，不滿足方程的點不在曲線上。利用線的這一特性，我們可推導出它的坐標表示。

由簡單入手，最簡單的是直線：

在二維空間中，（1）對于空間中的一條直線，在直線上任取兩點（x1，Y1）（x2，y2），通過兩點的向量運算可得到直線的方向向量（x2-x1，y2-y1），通過直線過的點（x1，y1）及得到的直線的方向向量（x2-x1，y2-y1），都可使用兩點式確定給出表示直線的直線方程=（y-y1）/（y2-y1）=（x-x1）/（x2-x1）（即直線上任一點與兩點中的一點確定的直線與兩點確定的直線方向相同）；或者通過幾何計算直線的斜率tanθ=（y2-y1）/（x2-x1），使用點斜式給出直線方程y-y1=（y2-y1）/（x2-x1）（x-x1）。注意，兩點式和點斜式方程是恒等變形而已；除此表示之外，由兩點式方程不難給出直線的參數方程表示，即取比值作為參變量t得到{x=x（t），y=y（t）}，即{x=x1tt（x2-x1），y=y1+t（y2-y1）}。（2）對于空間中的兩條直線，他們的位置關系無外乎平行，相交或者垂直。若兩條直線平行，特點：兩條直線方向相同，因此，對應直線方向向量對應成比例；若兩條直線垂直，從代數的層面考慮，即對應直線方向向量點乘積為零，從而引出§1向量的運算及其性質。這里要詳細講解。

在三維空間中，與二維空間同樣的考慮，（1）對于空間中的一條直線，在直線上任取兩點（x1，y1，z1），（x2，y2，z2）確定給出兩點式直線方程（z-z1）/（z2-z1）=（y2-y1）=（x-x1）/（x2-x1），及相應的直線參數方程{x=x（t），y=y（t），z=z（t）}。沒有本質的變化。

以此類推，可推廣任意維數的空間的直線研究。

3 面

面也是由點構成的。幾何描點即可得到面。如何表示面呢？仍然遵循曲面上任一點的坐標都滿足方程，不滿足方程的點不在曲面上。利用面的這一特性，我們可推導出它的坐標表示。

最簡單的面是平面，仍然從點出發，下面給出平面的方程表示：

從學生認知的角度，都知道，兩條平行直線、兩條相交直線、直線和直線外一點，以及不共線的三點確定一個面，但無論哪種情形，都可歸結為可取到不共線的三點確定一個平面，因此，下面著重解決不共線的三點確定表示平面問題：大家都知道，確定平面的關鍵要素是只要知道面上的一點和固定面不動的“杠桿”（即面的法向量），這個平面就完全確定了，由此，面上的一點不難從三點中任選一點即可，剩下的問題轉變為如何由三點確定平面的法向量問題，仍然從代數的層面考慮，由三點的向量運算可確定法向量，從而引出本章§2的知識點代數的差乘積運算（x3-x1，y3-y1，z3-z1）×（x3-x2，y3-y2，z3-z2=（1，m，n）。這里重點講授差乘積運算的定義、性質；并且使用點法式（平面的法線垂直于平面上的任一直線（1，m，n）·（x-x1，y-y1，z-z1）=0確定平面方程1（x3-x1+m（y-y1）+n（z-z1）=0也給出了。

4 推廣點的集合的考慮

在一維空間中，點的集合表示的是數軸上的區間。

在二維空間中，點的集合表示的是平面上的區域。

在三維空間中，點的集合表示的是空間上的區域。

對以上點的集合，我們從微觀研究，相應微小部分即為將來要介紹的面積元、體積元的知識，它是按照通常的做法，我們統稱為是格子法（即坐標變量取常量（例如在二維空間直角坐標系下使用平行于坐標軸的直線去分割得到的格子））得到。當然，此處是擴展學生的思維，略講，明白思想，在后面用到的地方細講。

總之，筆者通過這樣的教學思路進行教學實踐，并與傳統課堂按照課該次序進行講授比較發現：學生的聽課狀態明顯發生了改變，學生認真聽并且能夠堅持聽下去的人數明顯增多了，學生的求知欲增強了，聽課率提高了，并且從學生辨識方程在解析幾何中的表示反映出學生聽課效果明顯改善。由此啟示我們：從學生的認知角度出發，以教給學生完整的知識體系，過程體現課程的思想方法不失是我們課堂教學的一個有效教學設計思路。

參考文獻

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