關于Lyapunov穩定性這一概念的教學設計

楊艷 宋國杰

【摘要】從Malthus模型出發，說明由初值產生的誤差可能會對方程的解產生較大的影響，從而說明微分方程解的穩定性的意義，然后得到穩定性的概念。

【關鍵詞】Lyapunov穩定性 ?初值條件 ?問題性教學

【基金項目】西南石油大學校級青年教師教改項目資助（2014JXYJ-39）。

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）05-0145-02

李雅普諾夫穩定性是常微分方程中的難點之一。由于數學概念的高度抽象性以及學生認知能力的局限性， 學生對概念的學習往往只停留在表面的抽象的數學符號上， 其更深層次的含義理解不到位， 導致對后續知識的學習也會一知半解。該定義刻劃的是微分方程由初值產生的擾動對方程的解的影響。

先看一個具體實例——Malthus模型： 假設人口的凈增長率（單位時間內人口的凈增長數與人口總數之比）是一個常數r（r>0），若用x（t）表示t時刻某區域的人口，那么該模型為：

■=rx， ? ? ?＼？鄢MERGEFORMAT （1）

若已統計出t0時刻的人口數量為x0，即x（t0）=x0，那么結合可求得：

x（t）=x0ert ? ? ＼？鄢MERGEFORMAT ?（2）

據此表達式可預測出未來的人口發展趨勢. 但是這里的初值條件x（t0）=x0通常是由統計數據得到的， 誤差時難免的， 那么自然會問： 該誤差對我們的求解影響大嗎？

假設真實的數據是x（t0）=？準0， 那么在此初值條件下的解為？準（t）=？準0ert.當時間t→+∞時， 在這兩種初值條件下的誤差：

？準（t）-x（t）=？準0-x0ert→+∞ ＼？鄢MERGEFORMAT ?（3）

上式說明： 若初始值即使有很小的誤差， 這個誤差會隨著時間t的增加而被無限放大， 最終會導致“差之毫厘， 謬之千里”的結果. 實際上， Malthus模型將問題簡單地線性化， 假設人口凈增長率為一常數， 而忽略了人口的制約因素， 與實際規律不符. 那么， 對一個實際模型， 如何從這個角度來驗證該模型的合理性呢？ 這就是穩定性要討論的問題。

考慮一般的一階微分方程

■=f（t，x） ? ? ? ? ? ? ＼？鄢MERGEFORMAT ?（4）

這里假設f（t，x）在開區域G？哿R×R內連續， 關于變量x滿足局部Lipschitz條件.

假設真實初值為

x（t0）=？準0 ? ? ? ? ? ＼？鄢MERGEFORMAT ?（5）

那么， 根據前面假設， 問題在條件下有唯一解

x=？準（t） ? ? ? ? ?＼？鄢MERGEFORMAT ?（6）

若有另一組初始值

x（t0）=x0 ? ? ? ? ?＼？鄢MERGEFORMAT ?（7）

問題在條件下的解與初始值x0相關，不妨將該解記為

x=x（t，t0，x0） ? ? ? ? ? ＼？鄢MERGEFORMAT ?（8）

既然初值條件都不可避免地存在誤差， 我們自然希望當初始誤差不大時， 在這兩組初始值下得到的方程的解的誤差也不大。即解的誤差能由初始誤差控制. 這樣， 用極限的語言描述， 即：

當x0→？椎0時，對任意t≥t0，有x（t，x0）→？準（t）

根據上式， 得到如下李雅普諾夫穩定性。

定義 ?假設f（t，x）在開區域G？哿R×R內連續， 關于變量x滿足局部Lipschitz條件. 如果對于任意的？著>0， 存在一個？啄=？啄（？著）>0，使得對于滿足的解？椎（t）以及滿足和的解x=x（t，t0，x0），只要？椎0-x0<？啄時，就有

？準（t）-x（t，t0，x0）<？啄 ? ? ?＼？鄢MERGEFORMAT ?（9）

對于所有的t≥t0成立， 則方程■=f（t，x）的解x=？椎（t）是Lyapunov意義下穩定的.

穩定性這一概念是100多年前由Lyapunov提出來的， 穩定性是一個永恒的課題。凡涉及到運動的變化或者狀態的變化等， 穩定性都是首要的研究性能。不穩定的模型， 通常是不科學的，剛才的Multhus模型在短期內模擬人口問題沒太大的問題， 但是在長時間， 比如100年來看就是不合理的。再如“蝴蝶效應”， 在亞馬遜熱帶雨林的一只蝴蝶翅膀偶爾振動， 兩周后可能會引起美國德克薩斯州的一場龍卷風。這也說明了不穩定可能會導致不可預測的結果。現在隨著科學技術的發展，很多新的學科， 如非線性控制， 生物數學， 基因網絡， 混沌控制與同步以及基因調控網絡的理論等都是穩定性理論的具體應用。

注1上式是針對一階微分方程給出的穩定性的概念。若對一般的微分方程組， 只需將上述定義中的絕對值換成向量范數 （廣義的距離） 即可。

注2 關于穩定性的概念， 學生容易和解的存在唯一性理論中的解對初值的連續依賴性這一知識點混淆。這兩個概念討論的都是因初值產生的誤差對方程的解的影響。穩定性是在長時間內討論的， 也就是自變量t是可以趨于正無窮的， 而后者對自變量只要求在有限的區間內即可。

小結 在數學課程一些概念的講解中， 可以先結合實際問題說明這一概念產生的背景， 然后引出概念。這也是“問題性教學”所倡導的。本文通過Malthus模型說明， 在微分方程的初值問題中， 若初始值有小小的誤差， 隨著時間的增加， 這一誤差被無限放大， 此時該解不穩定， 根據此意義即得到穩定性的嚴格數學定義。

參考文獻：

[1]張祥云. 由“非問題性教學”走向“問題性教學”[J].高等教育研究.1995，5.

[2]王高雄等. 常微分方程（第三版）[M]. 高等教育出版社： 北京. 2010.

作者簡介：

楊艷（1984.11-），女， 漢族， 河南省內鄉縣人， 碩士， 講師， 研究方向：微分方程數值解。