界面點源和半圓柱在直角域中的反平面散射

高 春，齊 輝，潘向南，蔡立明，趙元博（.哈爾濱工程大學航天與建筑工程學院，5000哈爾濱；2.哈爾濱學院土木工程系，50086哈爾濱）

界面點源和半圓柱在直角域中的反平面散射

高 春1，2，齊 輝1，潘向南1，蔡立明1，趙元博1
（1.哈爾濱工程大學航天與建筑工程學院，150001哈爾濱；2.哈爾濱學院土木工程系，150086哈爾濱）

為得到直角域中垂直邊界上的半圓柱對點源載荷的反平面彈性動力學解析解，按照鏡像方法和波函數展開法，研究了點源對半圓柱的穩態散射以及其與邊界的相互作用，得到直角域中的位移場和應力場.首先，延拓直角域為半空間，延拓半圓柱為圓柱，得到等價問題；其次，構造位移波的波函數級數表達式；最后，對圓柱邊界做Fourier展開，定解波函數系數.數值計算了圓柱邊沿的動應力，結果表明，半圓柱的散射總是明顯地分為投射側和隱蔽側，相對低頻總是能引起更大的動應力，介質參數對徑向動應力和周向動應力的分布，有著截然不同的影響.理論分析得到的穩態解豐富了SH波散射的理論，為雙相介質界面圓柱的SH波散射的Green函數方法奠定了基礎，數值算例為相應的工程問題提供了參考.

SH波散射；點源函數；界面圓柱；直角域；動應力分布

反平面運動作為彈性動力學最簡單與最基本的研究對象，具有十分重要的理論意義.作為反平面彈性動力學問題的SH波傳播與散射在地震工程、巖土工程、地下工程等中有著廣泛的應用價值.早在上世紀七、八十年代，文獻［1－2］就已經系統地研究了SH波對柱體的散射問題.本世紀以來，文獻［3－10］陸續研究了全空間中界面圓孔、圓柱、襯砌對平面SH波和反平面線源荷載的散射，文獻［10－11］研究了SH波入射下，凸起結構與不同基礎地形的相互作用.近年來，文獻［12－19］分別研究了彈性直角域和雙相介質中圓柱孔洞、夾雜對SH波和點源荷載的散射，并且取得了一定成果.但雙相介質半空間中界面圓柱的反平面散射問題的相關研究還很匱乏，鑒于界面動力學問題的復雜性和重要性，本文研究界面反平面點源荷載對彈性直角域中的界面圓柱的穩態作用.這是解決雙相介質界面圓柱對SH波散射的Green函數方法的基礎，利用本文構造的界面點源荷載的穩態解，通過疊加原理就可以求得任意分布的界面荷載對含界面半圓柱的彈性直角域的穩態響應.同時，通過對數值算例進行的分析，本文得到的結論可以為理論研究和工程實踐提供一定的參考和指導.

1 描述與分析

1.1 控制方程

本文研究一類彈性動力學反平面問題.如圖1所示，有一個彈性直角域，其水平邊界為BH平面，垂直邊界為BV平面.在垂直邊界上嵌入一個半圓柱，它的圓心O點位于BV平面上，距離水平邊界BH平面的直線長度為h.直角域的剪切彈性模量為μ1，質量密度為ρ1，半圓柱的剪切彈性模量為μ2，質量密度為ρ2.以半圓柱的圓心O點為原點，垂直邊界BV平面內法線方向為x軸正方向，水平邊界BH平面外法線方向為y軸正方向，建立平面直角坐標系（O，x，y）.以原點O為極點，x軸為極軸，按逆時針方向，建立平面極坐標系（O，r，θ）.以出平面方向（圖中標為“☉”）為反平面位移的正方向，入平面方向為反平面位移的負反向.

圖1 彈性直角域中的界面點源和半圓柱

這樣，彈性直角域和半圓柱中的質點分別滿足波動方程

式中：Δ為二維Laplace算子，w為反平面位移，f為反平面外力.

考慮穩態問題，分離時間變量t和空間變量（x，y），（r，θ），得到位移空間變量非齊次Helmholtz方程為

式中：k1、k2分別為直角域和半圓柱中剪切波的波數；c1、c2分別為直角域和半圓柱中剪切波的相速度為略去時間諧和函數exp（－iωt）的反平面外力；ω為穩態運動的角頻率.

按照復變函數描述，引入復變量z和共軛復變量－z ，建立復平面（z，，其中，i＝－1是虛數單位.

在垂直邊界BV平面上的i y0點，有反平面穩態點源荷載δ（z－i y0）exp（－iωt），代入非齊次的Helmholtz方程式（1），即fω＝δ（z－i y0），它們的解分別為

它們是點源函數在全空間中的基本解，其中，δ（·）為Dirac函數·）為0階第1種Hankel函數.

1.2 等價問題

本文討論的反平面彈性動力學對應的數學物理方程定解問題的泛定方程就是控制方程式（1），定解條件是BH平面和BV平面上齊次的Neumann條件以及BC柱面上齊次的Dirichlet條件和Neumann條件.

這里，應力分量和位移的上標I和II分別代表在直角域Medium I和半圓柱Medium II中.

按照鏡像的方法構造定解問題的等價問題.如圖2所示，以垂直邊界BV平面為對稱面，將直角域延拓為半空間，將半圓柱延拓為圓柱，在延拓的區域中加上對稱的反平面穩態點源荷載δ（z－i y0）exp（－iωt）.按這樣延拓處理，前后的定解問題完全等價，并且自然滿足BV平面上的Neumann條件式（3）.

圖2 等價問題的鏡像方法

這是含圓柱夾雜的彈性半空間在對稱面上的反平面點源荷載作用下的穩態響應問題.作為穩態問題，在以下討論中，統一略去時間諧和函數exp（－iωt）.

2 位移波的表達式

2.1 點源荷載

等價問題的反平面外力是點源荷載2δ（z－i y0）.

當它的作用點在延拓的圓柱內，即y0＜R時，它的位移場GII以及徑向應力分量τrz（記作GIrIz）為

當它的作用點在由直角域延拓得到的半空間內，即y0≤h且y0≥R時，需要考慮水平邊界BH平面的影響.如圖2所示，在原點O關于BH平面對稱的鏡像點O′上，建立平面直角坐標系（O′，x′，y′），其對應的復變量z′和共軛復變量－z ′滿足

2.2 圓柱的位移波

按照Fourier?Hankel波函數展開法，延拓的圓柱在延拓的半空間中將會產生散射波.它的位移場記作SI，表示為級數形式為

式中An為待定的波函數系數.

散射波的徑向應力分量τrz記作SIrz，表示為級數形式為

式中Ｈ－ｎ（ｚ）、Ｈ+ｎ（ｚ）分別為求導得到的中間變量.

按照鏡像的方法，構造延拓的圓柱關于水平邊界ＢＨ 平面對稱的鏡像散射波.它的位移場記作ＳＩ′，它的徑向應力分量τｒｚ 記作ＳＩｒ ｚ ′，它們的級數形式表示為

式中：Bn為待定的波函數系數，Jn（·）為n階Bessel函數.駐波的徑向應力分量τrz記作表示為級數形式為

于是，本文得到等價問題的彈性半空間和圓柱中的位移場w和徑向應力分量場τrz的表達式.

3 定解方程組

式中z ＝R，它們都是角變量θ的函數.對式（9）兩端分別按角變量θ做Fourier級數展開，按照簡諧函數系的正交性，得到待定系數An和Bn的線性代數方程組，截斷方程組，按常規的Gauss消去法，即可求得An和Bn的具體數值.

4 延拓圓柱邊沿的動應力

4.1 應力按照波函數展開法，將計算求得的An和Bn的具體數值代入Fourier?Hankel波函數和Fourier?Bessel波函數的級數式（6）～（8），加上已知的反平面外力點源荷載2δ（z－i y0），這樣就得到了等價問題中的全部波場.當y0＜R時，延拓的半空間和圓柱

在等價問題中，延拓的半空間Medium I的徑向應力分量場和周向應力分量場均滿足：

延拓的圓柱Medium II的徑向應力分量場τIIrz（z）和周向應力分量場τIIθz（z）圴滿足：

式中?／?z、?／?－z 分別為復變量z和共軛復變量－z的形式導數.這些應力都是由點源荷載2δ（z－i y0）激勵產生，當y0＜R時，它們依賴于延拓的圓柱Medium II中剪切波的波數k2，當y0≤h且y0≥R時，它們依賴于延拓的半空間Medium I中剪切波的波數k1.同時，延拓的半空間和圓柱中的應力場分別是剪切模量μ1和μ2的一次函數.由此，定義量綱一的應力分量τ以及定義剪切模量比和分別為

4.2 算例分析

計算延拓的半空間中的點源荷載在延拓圓柱邊沿BC柱面上量綱一的徑向應力分量和周向應力分量

圖3 延拓圓柱邊沿的動應力（h＝2R，y0＝1.5 R）

5 結 論

1）點源荷載對界面半圓柱的散射，明顯地分為投射側和影蔽側.徑向應力的投射側和影蔽側有明顯的界限，并且在圓心與點源作用點連線上取得投射側和影蔽側的最大值，隨著半圓柱剪切模量的增大，徑向應力的最大值在投射側幾乎是影蔽側的數倍.

2）周向應力同樣在投射側取得最大值，但并不是在正對點源荷載的方法，而是有一個偏角.

3）總體而言，隨著半圓柱的剪切彈性模量的增大，徑向應力也將增大，而周向應力將減小；隨著半圓柱的剪切彈性模量的減小，徑向應力也將減小，而周向應力將增大.

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（編輯 張 紅）

Anti?plane scattering of interfacial point source load and semi?circular cylinder in an elastic quarter space

GAO Chun1，2，QI Hui1，PAN Xiangnan1，CAI Liming1，ZHAO Yuanbo1
（1.College of Aerospace and Civil Engineering，Harbin Engineering University，150001 Harbin，China；2.Dept of Civil Engineering，Harbin University，150086 Harbin，China）

To obtain anti?plane elastodynamic analytic solution of a semi?circular cylinder，subject to anti?plane point source loading in a vertical bound of an elastic quarter space，image method and wave function expansion method are employed to study steady state scattering of the semi?circular cylinder and interaction of bounds，then displacement and stress are determined in this quarter space.More specifically，firstly，the quarter space is extended as a half space，and the semi?circular cylinder is also extended as a circular cylinder.Then，displacement wave is constructed as series form of wave function and circular cylindrical bound is expanded as Fourier series to determine coefficients of wave function finally.Dynamic stress distributed around circular cylinder is calculated to show that scattering of the semi?circular cylinder is apparently to distinguish front and back，and relative low frequency of loading usually causes more dynamic stress around the semi?circular cylinder，and material parameters also have two widely divergent influences on the radial and circumferential dynamic stress distribution.This steady state solution is presented to enrich SH wave scattering theory and to formulate Green function method for SH wave scattering of bi?material interfacial circular cylinder with theoretical analysis.Numerical calculating examples demonstrate the related engineering problem for underground engineers，earthquake engineers，geotechnical engineers and civil engineers as well.

SH wave scattering；point source；interfacial circular cylinder；quarter space；dynamic stress distribution

O343.1；O326

A

0367－6234（2015）10－0094－06

10.11918／j.issn.0367?6234.2015.10.018

2014－01－02.

國家自然科學基金（51379048）.

高 春，（1975—），女，副教授，博士研究生；齊 輝，（1963—），男，教授，博士生導師.

潘向南，panxiangnan＠hrbeu.edu.cn.