柔性齒輪-柔性轉(zhuǎn)子-滑動(dòng)軸承系統(tǒng)動(dòng)特性分析

馮海生，王黎欽，鄭德志，趙小力，戴光昊

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001；2.中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司第703研究所，黑龍江哈爾濱150036）

柔性齒輪-柔性轉(zhuǎn)子-滑動(dòng)軸承系統(tǒng)動(dòng)特性分析

馮海生1，王黎欽1，鄭德志1，趙小力1，戴光昊2

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001；2.中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司第703研究所，黑龍江哈爾濱150036）

為分析柔性齒輪對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)特性的影響，建立考慮時(shí)變嚙合剛度、非線性摩擦力的柔性齒輪-柔性轉(zhuǎn)子-滑動(dòng)軸承的柔性多體動(dòng)力學(xué)模型。研究表明：相對(duì)于剛性體模型，考慮柔性齒輪和柔性轉(zhuǎn)子的齒輪系統(tǒng)模型更加適合大變形的輕薄化齒輪系統(tǒng)動(dòng)特性研究；柔性齒輪系統(tǒng)啟動(dòng)階段存在明顯的亞異步振動(dòng)及齒輪軸向振動(dòng)幅值的獲取；高速重載有利于齒輪系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)工況的平穩(wěn)運(yùn)轉(zhuǎn)及維持，但會(huì)引起齒輪軸向輻射噪聲的增加；相對(duì)加減速、停機(jī)工況，啟動(dòng)工況下的軸向輻射噪聲和動(dòng)態(tài)嚙合力波動(dòng)最大。研究結(jié)果對(duì)齒輪輕薄化設(shè)計(jì)和認(rèn)識(shí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的全工況動(dòng)特性等研究具有積極意義。關(guān)鍵詞：齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)；柔性多體動(dòng)力學(xué)模型；柔性齒輪；柔性轉(zhuǎn)子；動(dòng)態(tài)嚙合力

隨著齒輪朝著高速、輕薄化、高功率密度方向發(fā)展，而使得考慮柔性齒輪或柔性轉(zhuǎn)子的齒輪系統(tǒng)動(dòng)特性成為研究熱點(diǎn)。Eberhard等認(rèn)為相對(duì)剛性多體動(dòng)力學(xué)模型和有限元模型，柔性多體齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)模型能夠提供更為合理的仿真效率和計(jì)算精度，其中齒輪接觸力參數(shù)預(yù)估和柔性體模態(tài)縮減法的優(yōu)化還有待更深入的研究［1?2］。Machad等給出齒輪接觸剛度、阻尼、變形等參數(shù)預(yù)估公式，但并沒(méi)有考慮彈塑性變形恢復(fù)系數(shù)、不同齒輪沖擊速度對(duì)接觸力參數(shù)的影響［3?4］。Kahraman等建立考慮柔性輪緣的剛?cè)狁詈淆X輪副動(dòng)力學(xué)模型，并分析柔性輪緣對(duì)系統(tǒng)動(dòng)特性影響，但沒(méi)有考慮傳動(dòng)軸、軸承對(duì)系統(tǒng)的影響［1，5］。Baguet等建立包含柔性轉(zhuǎn)子的齒輪、軸承剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型［6?7］，其中文獻(xiàn)［6］忽略實(shí)際接觸過(guò)程的非線性變化以及柔性齒輪對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的影響。

針對(duì)柔性齒輪對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)影響的研究不足，本文建立考慮時(shí)變嚙合剛度、非線性摩擦力的柔性齒輪、柔性轉(zhuǎn)子和滑動(dòng)軸承的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。并采用一種考慮不同接觸速度和彈塑性變形的齒輪接觸參數(shù)預(yù)估算法求解相關(guān)參數(shù)。最后，分析柔性齒輪、柔性轉(zhuǎn)子和轉(zhuǎn)速、負(fù)載、變速工況等激勵(lì)因素對(duì)系統(tǒng)動(dòng)特性的影響規(guī)律，為齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)輕薄化設(shè)計(jì)和減振降噪提供理論參考。

1 齒輪接觸碰撞力參數(shù)預(yù)估算法

齒輪接觸碰撞力可由法向接觸力（Fn）和切向摩擦力（Ff）合成得到。

1.1 法向接觸力

可用等效彈簧阻尼模型來(lái)表示齒輪法向接觸力：

式中：K為等效接觸剛度系數(shù)，δ為齒輪嚙合點(diǎn)法向變形量，n為碰撞指數(shù)，C（δ）為接觸阻尼多項(xiàng)式，為齒輪法向變形速度。

1）接觸阻尼多項(xiàng)式C（δ）：采用文獻(xiàn)［8］的非線性滯后阻尼模型：

式中：v為齒輪嚙合碰撞速度，e為碰撞恢復(fù)系數(shù)，a為非線性阻尼力指數(shù)。

2）碰撞恢復(fù)系數(shù)e采用文獻(xiàn)［9］提出的考慮彈塑性變形的碰撞恢復(fù)系數(shù)計(jì)算方法：

式中：n＝v／vy，其他具體參數(shù)詳見(jiàn)文獻(xiàn)［9］。

1.2 切向摩擦力

齒輪間的切向摩擦力可用庫(kù)侖摩擦模型來(lái)表示：

式中：μ為滑動(dòng)摩擦系數(shù)，vt為嚙合點(diǎn)的相對(duì)滑動(dòng)速度。一般工況下，齒輪的實(shí)際潤(rùn)滑狀態(tài)為混合彈流潤(rùn)滑，其滑動(dòng)摩擦因數(shù)范圍為0.04～0.1［10］。

2 柔性齒輪-柔性轉(zhuǎn)子-滑動(dòng)軸承耦合的柔性多體動(dòng)力學(xué)模型

在ADAMS中采用Hertz接觸理論模擬接觸碰撞力，并利用幾何搜索法判斷接觸碰撞情況，以罰函數(shù)法求解法向接觸力和切向摩擦力并作為約束添加到DAE方程右側(cè)，重新解算微分方程。由于軟件所推薦參數(shù)并沒(méi)有考慮到大變形、變速工況沖擊等對(duì)齒輪系統(tǒng)接觸力參數(shù)預(yù)估的影響，因而本文選擇文獻(xiàn)［9］的接觸力參數(shù)預(yù)估算法求解齒輪系統(tǒng)動(dòng)特性所需接觸參數(shù)。

綜上所述，基于模態(tài)縮減法和ADAMS的柔性齒輪-柔性轉(zhuǎn)子-滑動(dòng)軸承的多體動(dòng)力學(xué)模型建立包括：建立三維實(shí)體及其柔性化；施加約束、負(fù)載；設(shè)置接觸力參數(shù)；選擇求解方法等。當(dāng)不考慮支撐扭轉(zhuǎn)特性時(shí)，通過(guò)定義Bushing襯套力來(lái)模擬滑動(dòng)軸承［11］。

3 柔性多體動(dòng)力學(xué)模型仿真分析

3.1 仿真分析模型

以某直齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，其幾何參數(shù)如表1所示。

表1 齒輪幾何尺寸參數(shù)Table1 Structural parameters of gear

根據(jù)以上內(nèi)容建立柔性齒輪-柔性轉(zhuǎn)子-滑動(dòng)軸承動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示。動(dòng)力學(xué)方程求解算法為變系數(shù)、變步長(zhǎng)的預(yù)估校正算法。

圖1 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)柔性多體動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 Flexible multi?body dynamic model of geartransmission

3.2 柔性轉(zhuǎn)子、柔性齒輪對(duì)系統(tǒng)動(dòng)特性的影響

當(dāng)輸入轉(zhuǎn)速為2 881 r／min；負(fù)載為2 kN·m；滑動(dòng)摩擦系數(shù)為0.05；其理論靜態(tài)Y向嚙合力Fsy為 8 714 N，嚙合周期Tg為6.7×10-4s。滑動(dòng)軸承剛度和阻尼為kx＝1.96×107N／m、ky＝6.54×107N／m、cx＝1.12× 105N·s／m2、cy＝3.16×105N·s／m2。齒輪Y、Z向動(dòng)態(tài)嚙合力Fdy、Fdz等的時(shí)頻域圖2～6所示。

由圖2（a）可知柔性轉(zhuǎn)子柔度增加使得剛性齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)Y向動(dòng)態(tài)嚙合力幅值有14.1%的增加。圖2（b）可知柔性齒輪使得齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)嚙合力出現(xiàn)顯著的周期性波動(dòng)即單、雙齒嚙合齒數(shù)對(duì)的周期性變化，符合齒輪嚙合力的理論變化過(guò)程。

由圖2（c）可以看到柔性齒輪和轉(zhuǎn)子的耦合作用使得動(dòng)態(tài)嚙合力的均方根值有6%的增長(zhǎng)，而其單、雙齒波動(dòng)情況更為明顯。同時(shí)，相對(duì)于剛體模型，柔性齒輪和柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的嚙合力波峰波形分叉表明有切向摩擦力存在；圖3可知柔性齒輪和轉(zhuǎn)子導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)低于嚙合頻率fg的較多fm的分頻（fm＝fgεα），同時(shí)也出現(xiàn)更加明顯的低頻成分“拍”現(xiàn)象；結(jié)合圖4可知柔性齒輪和轉(zhuǎn)子導(dǎo)致軸心軌跡出現(xiàn)有別于剛性轉(zhuǎn)子穩(wěn)定渦動(dòng)的大圈套小圈的情況，這表明當(dāng)考慮齒輪和轉(zhuǎn)子柔性化時(shí)，齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)在啟動(dòng)階段發(fā)生顯著的亞異步振動(dòng)，而產(chǎn)生的原因是摩擦力和驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)速突變引起的。

圖2 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)Y向嚙合力時(shí)域圖Fig.2 Time?domain diagram of the Y meshing force

圖3 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)Y向嚙合力幅頻特性曲線Fig.3 Frequency domain diagram of Y meshing force

圖4 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)軸心軌跡圖Fig.4 Orbit of shaft in the gear transmission

圖5 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)Z向嚙合力時(shí)域圖Fig.5 Time?domain diagram of the Z meshing force

圖6 主動(dòng)齒輪Z向幅值時(shí)域圖Fig.6 Time?domain diagram of the Z pinion displacement

由圖5、6可知，由于齒輪和轉(zhuǎn)子的柔性化導(dǎo)致齒輪Z向動(dòng)態(tài)嚙合力明顯增大，進(jìn)而導(dǎo)致齒輪軸向振動(dòng)幅值的增加。但是剛性齒輪系統(tǒng)的剛性體假設(shè)認(rèn)為其軸向振動(dòng)為零，而在實(shí)際齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中齒輪不可避免的存在軸向振動(dòng)，并因此產(chǎn)生軸向輻射的噪聲。

通過(guò)以上分析表明，含有柔性齒輪、柔性轉(zhuǎn)子的齒輪系統(tǒng)模型更加適合分析高速、高功率密度的大柔度齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)特性和振動(dòng)特性。

3.3 轉(zhuǎn)速對(duì)系統(tǒng)動(dòng)特性的影響

圖7給出了轉(zhuǎn)速對(duì)齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響（負(fù)載為2 kN·m）。

圖7 轉(zhuǎn)速對(duì)齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響（負(fù)載為2 kN·m）Fig.7 Effects of velocity on dynamic characteristics of gear transmission（2 kN·m）

由圖7（a）可知輸入轉(zhuǎn)速越高，瞬態(tài)嚙合力越大，而穩(wěn)態(tài)過(guò)程的嚙合力變化較小。由圖7（b）可知高轉(zhuǎn)速下軸承端的振動(dòng)幅值相對(duì)較小，轉(zhuǎn)動(dòng)更加平穩(wěn)。由圖7（c）可知隨著轉(zhuǎn)速增加，主動(dòng)齒輪的軸向振動(dòng)幅值快速的增長(zhǎng)，軸向振動(dòng)幅值越大表明齒輪所輻射軸向振動(dòng)噪聲就越大。由此可見(jiàn)高轉(zhuǎn)速對(duì)于穩(wěn)態(tài)工況運(yùn)轉(zhuǎn)是有益的，但是對(duì)瞬態(tài)區(qū)域則會(huì)導(dǎo)致大沖擊碰撞發(fā)生；而且會(huì)引起齒輪更大的軸向輻射噪聲。

3.4 載荷對(duì)系統(tǒng)動(dòng)特性的影響

如圖8（a）、（b）所示，當(dāng)齒輪傳遞載荷增加時(shí)，瞬態(tài)嚙合力并沒(méi)有出現(xiàn)如同穩(wěn)態(tài)嚙合力的大幅度增長(zhǎng)；而且軸承端振動(dòng)幾乎沒(méi)有變化；由圖8（c）可知，載荷的增加引起齒輪軸向振動(dòng)幅值的小幅度增加；這表明高載荷有利于齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)穩(wěn)定性的保持，但也會(huì)引起齒輪軸向振動(dòng)噪聲小幅增加。

圖8 載荷對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響（轉(zhuǎn)速為5 kr／min）Fig.8 Effects of load on dynamic characteristics of gear transmission（5 kr／min）

3.5 變速工況沖擊對(duì)系統(tǒng)動(dòng)特性的影響

如圖9、10所示，相對(duì)于穩(wěn)態(tài)工況，不同變速工況下（如圖9所示）動(dòng)態(tài)嚙合力均出現(xiàn)大幅度的波動(dòng)，其中啟動(dòng)、停機(jī)工況下的嚙合力幅值波動(dòng)最大；齒輪軸向振動(dòng)幅值則在啟動(dòng)和加速工況下呈現(xiàn)出較大波動(dòng)；而軸承端振動(dòng)幅值則在啟動(dòng)和停機(jī)工況下出現(xiàn)較大的明顯波動(dòng)。當(dāng)載荷增加時(shí)，啟動(dòng)工況下動(dòng)態(tài)嚙合力和軸向振動(dòng)幅值波動(dòng)較大，其他工況變化不大。這是由于啟動(dòng)下齒輪系統(tǒng)負(fù)載突變所引起的。由此可見(jiàn)相對(duì)系統(tǒng)運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中的加減速工況和停機(jī)工況，啟動(dòng)工況則會(huì)引起系統(tǒng)更大的軸向振動(dòng)噪聲和過(guò)早的疲勞損傷。

圖9 變速工況的轉(zhuǎn)速變化示意圖Fig.9 The input velocity of variable condition

圖10 載荷對(duì)變速工況沖擊的齒輪系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響Fig.10 Effects of load on dynamic characteristics of gear transmission with variable condition

4 結(jié)論

針對(duì)大柔度齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)特性研究，建立柔性齒輪-柔性轉(zhuǎn)子-滑動(dòng)軸承支撐的柔性多體動(dòng)力學(xué)模型。研究柔性齒輪、柔性轉(zhuǎn)子、轉(zhuǎn)速、載荷和變速工況沖擊對(duì)系統(tǒng)動(dòng)特性的影響，得到以下結(jié)論：

1）當(dāng)考慮柔性齒輪和柔性轉(zhuǎn)子耦合作用時(shí)，齒輪動(dòng)態(tài)嚙合力呈現(xiàn)單雙齒對(duì)數(shù)的周期性變化；同時(shí)還伴隨切向摩擦力、系統(tǒng)初始階段亞異步振動(dòng)的存在，還能夠獲得判斷齒輪軸向輻射噪聲水平的齒輪軸向振動(dòng)幅值；以上結(jié)論是過(guò)去采用剛性齒輪假設(shè)的齒輪系統(tǒng)模型無(wú)法得到的。由此可見(jiàn)剛性齒輪系統(tǒng)模型已不能滿足大柔度齒輪系統(tǒng)動(dòng)特性分析和設(shè)計(jì)的需求。

2）高轉(zhuǎn)速會(huì)導(dǎo)致瞬態(tài)工況惡化，但卻有助于穩(wěn)態(tài)工況平穩(wěn)運(yùn)轉(zhuǎn)；大載荷有利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性保持；高速重載都將會(huì)引起齒輪軸向輻射噪聲的增加。

3）在變速工況沖擊中，相對(duì)于加減速和停機(jī)工況，啟動(dòng)工況則會(huì)引起系統(tǒng)更大的軸向振動(dòng)噪聲和過(guò)早的疲勞損傷。

［1］EBRAHIMI S，EBERHARD P.Rigid?elastic modeling of meshing gear wheels in multibody systems［J］.Multibody System Dynamics，2006，16（1）：55?71.

［2］TAMAROZZI T，ZIEGLER P，EBERHARD P，et al.Static modes switching in gear contact simulation［J］.Mechanism and Machine Theory，2013，63：89?106.

［3］畢鳳榮，崔新濤，劉寧.漸開(kāi)線齒輪動(dòng)態(tài)嚙合力計(jì)算機(jī)仿真［J］.天津大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，38（11）：991?995.BI Fengrong，CUI Xintao，LIU Ning.Computer simulation for dynamic meshing force of involute gears［J］.Journal of Tianjin University，2005，38（11）：991?995.

［4］MARGARIDA M，PEDRO M，PAULO F，et al.Compliant contact force models in multibody dynamics：evolution of the Hertz contact theory［J］.Mechanism and Machine Theory，2012，53：99?121.

［5］KAHRAMAN A，KHARAZI A A，UMRANI M.A deform?able body dynamic analysis of planetary gears with thin rims［J］.Journal of Sound and Vibration，2003，262（3）：752?768.

［6］符升平，項(xiàng)昌樂(lè)，姚壽文.彈性支承下的齒輪傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)仿真分析［J］.上海交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，44（4）：51?57.

FU Shengping，XIANG Changle，YAO Shouwen.Analysis for dynamics simulation of rigid?flexible coupling gear trans?mission in consideration of flexible bearing［J］.Journal of Shanghai Jiaotong University，2010，44（4）：51?57.

［7］BAGUET S，JACQUENOT G.Nonlinear couplings in a gear?shaft?bearing system［J］.Mechanism and Machine Theory，2010，45：1777?1796.

［8］秦志英，陸啟韶.基于恢復(fù)系數(shù)的碰撞過(guò)程模型分析［J］.動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2006，4（12）：294?298.QIN Zhiying，LU Qishao.Analysis of impact process model based on restitution coefficient［J］.Journal of Dynamics and Control，2006，4（12）：294?298.

［9］FENG H S，WANG L Q，ZHENG D Z，et al.Analysis on dynamic contact force in high power density gear transmis?sion based on flexible model［J］.Applied Mechanics and Materials，2013，328：547?551.

［10］HE S，GUNDA R，SINGH R.Effect of sliding friction on the dynamics of spur gear pair with realistic time?varying stiffness［J］.Journal of Sound and Vibration，2007，301（3）：927?949.

［11］史冬巖，張成，任龍龍，等.滑動(dòng)軸承壓力分布及動(dòng)特性系數(shù)［J］.哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，32（9）：1134?1139.SHI Dongyan，ZHANG Cheng，REN Longlong，et al.Re?search on the oil film pressure and dynamic coefficient of a sliding bearing［J］.Journal of Harbin Engineering Univer?sity，2011，32（9）：1134?1139.

Analysis of the dynamic characteristics of flexible gear?flexible rotor?journal bearing system

FENG Haisheng1，WANG Liqin1，ZHENG Dezhi1，ZHAO Xiaoli1，DAI Guanghao2
（1.School of Mechatronics Engineering，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China；2.No.703 Research Institute，China Shipbuilding Industry Corporation，Harbin 150036，China）

In order to analyze the influence of flexible gear on the dynamic characteristics of gear transmission sys?tem，the flexible gear?flexible rotor?journal bearing dynamic model was built，taking the varying meshing stiffness and nonlinear friction into account.The results showed that the flexible model，is more suitable than the rigid model when analyzing the dynamic characteristics of light gear system that has large deformation.The sub?asynchronous vi?bration and axial vibration amplitude apparently exist in the start?up period of flexible gear system，which are not found in rigid model.However，high speed and heavy duty are better for maintaining steady operation of gear sys?tem，but will cause more radiated noise.The dynamic meshing force fluctuation and axial radiation noise are the largest in the startup working condition than those in the acceleration，deceleration and stop working conditions.The result is of positive significance to the design of a light，thin gear and to the ascertainment of the gear transmission 's full operating dynamic characteristics.

gears transmission system；flexible multi?body dynamic model；flexible gear；flexible rotor；dynamic meshing force

10.3969／j.issn.1006?7043.201311101

http：／／www.cnki.net／kcms／detail／23.1390.U.20150109.1703.023.html

TH132.4

A

1006?7043（2015）03?0384?06

2013?11?28.網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2015?01?09.

國(guó)家973計(jì)劃資助項(xiàng)目（2013CB632305）；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51005050）.

王黎欽（1964?），男，教授，博士生導(dǎo)師.

王黎欽，E?mail：lqwanghit＠163.com.