利用組合廣義Harmonic小波設計梳狀濾波器

樊新海， 張傳清， 江鵬程， 梁瑞剛

(裝甲兵工程學院機械工程系，北京 100072)

利用組合廣義Harmonic小波設計梳狀濾波器

樊新海， 張傳清， 江鵬程， 梁瑞剛

(裝甲兵工程學院機械工程系，北京 100072)

在機械振動信號處理中常出現多倍頻諧波譜特征或多邊帶調制譜特征，為更好地提取或去除這些特征頻率，需要設計性能優良的梳狀濾波器。根據Harmonic小波的特點，給出了利用組合廣義Harmonic小波設計梳狀濾波器的詳細步驟和應用實例。研究結果表明：增大濾波器的階數和使用旁瓣小的窗函數可以提高梳狀濾波器的性能。

故障診斷；信號處理；廣義諧波小波；梳狀濾波器

在機械故障診斷和技術狀況評估中，實測振動信號中常會出現以某頻率為基頻的多倍頻諧波譜特征，或以載頻為中心、以故障特征頻率為間隔的多邊帶調制譜特征。通過設計性能優良的梳狀濾波器，可以較好地提取或去除這些特征頻率[1]。

Harmonic小波常用于諧波小波變換，在信號處理中取得了良好的應用效果[2-3]。為了擴展Harmonic小波在其他方面的應用，本文研究了基于組合廣義Harmonic小波的梳狀濾波器設計方法，并給出了具體實現步驟，通過對某型坦克傳動箱振動速度信號進行處理驗證了該濾波器性能。

1 理論基礎

1.1 Harmonic小波

1993年，英國劍橋大學Newland教授[4]成功構造出了在頻域緊支、具有“盒形”頻譜特征的諧波小波(Harmonic Wavelet)，如圖1所示。

設頻域實偶函數Ψe(Ω)為

(1)

頻域虛奇函數Ψo(Ω)為

(2)

利用Ψe(Ω)和Ψo(Ω)構造出諧波小波的頻譜Ψ(Ω)為

Ψ(Ω)=Ψe(Ω)+jΨo(Ω)=

(3)

圖1 Ψe(Ω)、Ψo(Ω)和Ψ(Ω)的波形

將傅里葉變換對中的1/(2π)因子放在正變換中，對式(1)、(2)進行傅里葉逆變換，得到諧波小波時域表達式為

(4)

實部ψe(t)和虛部ψo(t)的波形分別如圖2、3所示，其表達式分別為

(5)

(6)

圖2 諧波小波的實部波形

圖3 諧波小波的虛部波形

從圖1-3不難發現Harmonic小波的特點：

1) 從頻域上看，Harmonic小波具有“盒形”特征，Ψe(Ω)為實偶函數，Ψo(Ω)為虛奇函數，且Ψo(Ω)=-jsgn(Ω)Ψe(Ω)，Ψ(Ω)只有正頻率成分;

2) 從時域上看，ψe(t)是實偶函數，ψo(t)是實奇函數，以1/t衰減速率從中心向兩邊衰減，不是緊支撐的;

3) 實部ψe(t)的Hilbert變換是虛部ψo(t)，ψ(t)滿足解析小波的定義，因此Harmonic小波是復解析小波。

事實上，由Heisenberg測不準原理可知：時域和頻域都具有嚴格緊支性的小波函數是不存在的。因此，在實際應用中，由于時域截斷，諧波小波會在頻域產生嚴重的Gibbs現象。

1.2 廣義Harmonic小波

1994年，Newland將諧波小波推廣到廣義諧波小波[5]。設正實數m，n∈R+，且m

(7)

其時域表達式為

(8)

與諧波小波相比，廣義諧波小波使得通帶的選擇更加靈活，通過改變m和n的取值，就可以改變頻帶的中心頻率和帶寬，從而增加了該小波的適用性[6]。

1.3 組合廣義Harmonic小波

由于廣義諧波小波具有分析頻帶的中心頻率和帶寬選取靈活的優點，通過給定一系列合適的mi，ni(i=1，2，…，k)值，就可以方便地構建出組合廣義諧波小波，使其幅頻曲線具有梳狀譜特征，從而實現梳狀濾波器的功能。組合廣義Harmonic小波的頻域和時域表達式分別為

(9)

(10)

為了減小Gibbs現象，可在時域加旁瓣較小的窗函數，如Hamming窗,也可鑒于在Morlet小波中，高斯函數因子決定了時域曲線的衰減特性，在組合廣義Harmonic小波中引入高斯函數因子，從而提高時域衰減速率，消除頻域過渡帶附近的振蕩。

2 設計步驟

3) 計算組合廣義諧波小波的實部和虛部：當n=1，2，…，N時，有

當n=0時，利用洛必達法則求得

當n=-N，-N+1，…，-1時，由xR(n)=xR(-n)，xI(n)=-xI(-n)得到。

4) 加窗：選定旁瓣較小的窗函數d(n)，令xR(n)=xR(n)d(n)，xI(n)=xI(n)d(n)。

5) 移位：xR(n)和xI(n)為非因果序列，向右平移N，記hR(n)=xR(n-N)，hI(n)=xI(n-N)，n=0，1，…，2N，使得hR(n)和hI(n)為因果序列，最終得到所設計濾波器的系數。

按上述方法，取fs=2 kHz，半階數N=100，通帶個數k=4，各通帶的下截止頻率fL=100, 300, 500, 700 Hz，上截止頻率fH=200, 400, 600, 800 Hz，在不加窗和加Hamming窗2種情況下，梳狀濾波器的幅頻特性曲線對比如圖4所示，其實部hR(n)的波形分別如圖5、6所示。

對比圖4-6可見：不加窗時，梳狀濾波器的Gibbs現象較為嚴重；加Hamming窗后，梳狀濾波器系數的衰減速率加速，時域緊支性提高，而頻域振蕩基本消除。因此，通過增大濾波器的階數和加旁瓣較小的窗函數，可以提高梳狀濾波器的性能。

圖4 加窗前后梳狀濾波器的幅頻特性曲線對比

圖5 不加窗梳狀濾波器的實部波形

圖6 加Hamming窗梳狀濾波器的實部波形

3 實例應用

坦克作為一種高機動性陸戰裝備，實現其不解體檢測診斷和技術狀況評估難度較大。為了消除行駛過程中坦克動力傳動系統振動特性受油門、負載、路面起伏等的影響，提高測試信號的平穩性，測試工況選在原位停止、斷開兩側履帶條件下進行。圖7為某型坦克傳動箱在發動機轉速為1 800 r/min、變速箱掛1擋時振動速度信號的時域波形，相應的幅值譜如圖8所示。

圖7 傳動箱振動速度信號的時域波形

圖8 傳動箱振動速度信號的幅值譜

該傳動箱為二級增速裝置，輸入軸通過彈性聯軸器與柴油機曲軸相聯，輸入軸齒輪齒數為30。當柴油機轉速為1 800 r/min時，曲軸和傳動箱輸入軸的轉頻為30 Hz，傳動箱內齒輪嚙合頻率為900 Hz，即圖8中譜線b對應的頻率。

坦克動力傳動裝置安裝在車體動力艙內，組成一個整體。柴油機工作時各缸爆發產生的振動對傳動箱、變速箱也會產生較大影響。根據12缸柴油機的工作特點，當其轉速為1 800 r/min時，汽缸的爆發頻率為180 Hz，圖8中譜線a1、a2、a3對應的頻率為180、360、540 Hz，分別為柴油機爆發頻率的基頻、2倍頻和3倍頻。

如果通過直接計算圖8所示信號的振動烈度對傳動箱技術狀況進行評估，振值就會偏大，因此應該將柴油機汽缸爆發振動的影響去除。利用前文給出的方法設計一梳狀陷波濾波器，其幅頻特性曲線如圖9所示。利用該濾波器對圖7所示信號進行濾波，濾波后振動速度信號的時域波形如圖10所示，相應的幅值譜如圖11所示。

圖9 梳狀陷波濾波器的幅頻特性曲線

圖10 濾波后振動速度信號的時域波形

圖11 濾波后振動速度信號的幅值譜

對比圖8、11可見：濾波后柴油機汽缸爆發頻率及其2、3倍頻得到有效去除，振動烈度值由原來的7.59 mm/s減小到6.42 mm/s。

4 結論

Harmonic小波從頻域特征入手構造小波函數，易于理解，但在實際應用中需要在頻域特征的理想性與時域衰減的快速性之間進行折中。利用組合廣義Harmonic小波設計的梳狀濾波器是一種解析濾波器，既能夠實現線性相位，又有利于濾波后通頻帶信號的包絡提取，將濾波過程與Hilbert變換一并實現。通過增大濾波器的階數和對濾波器系數加旁瓣較小的窗函數，有助于減小過渡帶的寬度、消除頻域振蕩，從而提高濾波器的性能。

[1] 趙俊龍,郭正剛,張志新,等.梳狀濾波器在滾動軸承早期故障診斷中應用[J].振動與沖擊,2008,27(12):171-174.

[2] 張文斌,周曉軍,林勇,等.基于諧波小波包方法的旋轉機械故障信號處理[J].振動與沖擊,2009,28(3):87-89.

[3] 王志剛,李友榮,呂勇.基于諧波小波變換的共振解調法[J].振動與沖擊,2006,25(4):159-161.

[4] Newland D E. Harmonic Wavelet Analysis [J]. Proceedings of the Royal Society of London, 1993, 443(10): 203-225.

[5] Newland D E. Wavelet Analysis of Vibration-part2: Wavelet Maps [J].Journal of Vibration and Acoustics, 1994, 116(4):417-425.

[6] 陳果.一種改進的諧波小波及其在轉子故障診斷中的應用[J].機械工程學報,2011,47(1):8-16.

(責任編輯:尚彩娟)

Design of Comb Filter by Using Combined Generalized Harmonic Wavelet

FAN Xin-hai, ZHANG Chuan-qing, JIANG Peng-cheng, LIANG Rui-gang

(Department of Mechanical Engineering, Academy of Armored Force Engineering, Beijing 100072, China)

Because multi-harmonic spectrum feature or multi-sideband modulated spectrum feature is often appeared in mechanical vibration signal processing, comb filer with excellent performance is needed to extract or remove these characteristic frequencies. According to the characteristics of harmonic wavelet, the detailed steps and the applied example of comb filter design are brought forward using combined generalized harmonic wavelet. The result shows that the performance of comb filer can be improved by increasing the order of filter and using window function with small side lobe.

fault diagnosis; signal processing; generalized harmonic wavelet; comb filter

1672-1497(2015)01-0071-04

2014- 08- 25

樊新海(1973-)，男，副教授，博士。

TN713+.7

A

10.3969/j.issn.1672-1497.2015.01.014