模糊數學在機加工質量控制中的應用*

□ 許文祥 □ 郭順生 □ 唐紅濤

武漢理工大學機電工程學院 武漢 430070

隨著機械行業的發展，對機械加工的質量提出了更高的要求，因此需要在實際生產中及早地找出造成產品質量缺陷的故障，從而保證產品質量，減少損失。傳統的經驗判斷方式已無法適應越來越復雜的產品結構，利用計算機輔助故障診斷將越來越成為一種趨勢。

目前應用比較廣泛的質量控制方法有SPC技術，即統計過程控制，其基礎是概率統計，但是該方法只能監測到質量問題，無法給出故障所在。由于故障種類繁多，情況非常復雜，比如同一故障可能引起多方面的質量問題，而同一問題可能又是由幾種不同的故障引起，這就造成了故障與質量之間存在較大的模糊性，傳統的方法已很難適應這樣的復雜性。因此，除了對故障進行定性分析以外，還需要對其作定量分析，這樣才能以最快的速度找出故障，節省時間，提高生產效率。

為了解決故障診斷的復雜性和模糊性問題，本文引進模糊數學理論，建立模糊診斷的數學模型，將經驗數據和專家評價結合起來，建立故障征兆與故障原因之間的隸屬度關系，同時，提出一種統計學習的方法，使該數學模型能夠根據實際情況的變化調整隸屬度關系，使故障診斷結果更加準確和科學。

1 機加工故障模糊診斷的數學模型

1.1 基本概念

在傳統的數學理論中，對事物的判斷總是非此即彼，即屬于0和1的二值邏輯，但在實際中并不僅僅是這樣的情況。比如對于一個身高180 cm的中國男性，他是高還是矮，并沒有明確的概念，在普通人群中，有人會認為他比較高，但是如果他在籃球隊中，那么他會被認為很矮，所以對于這樣不確定的情況，只能認為他在某種程度上屬于高個子，即一種可取（0,1）中任意值的連續邏輯，此時的特征函數稱為隸屬函數u（x）,它滿足 0≤u（x）≤1。

1.2 故障診斷原理

機床加工工件時，某類故障會導致工件的m種缺陷，描述第i種缺陷的狀態變量為xi（i=1,2,…,m）。而某n種故障也可能會引起工件的同一缺陷，描述第j種故障的狀態變量為yj(j=1,2,…,n）。

用歐式向量 X=｛x1，x2，…，xm｝來表示工件各種可能出現的缺陷，m為缺陷種類數。同樣，用歐式向量Y=｛y1，y2，…，yn｝來表示機床各種可能的故障，n 為故障種類數。根據模糊數學理論可知，故障的模糊子集合與工件缺陷的模糊子集合之間有如下邏輯關系：

式中：?是模糊算子。

1.3 確定隸屬度、構造模糊診斷矩陣

根據模糊數學理論，記 μyj（xi）=rij,其中 i=1,2,…,m，j=1,2,…,n，表示第i種工件缺陷xi對第j種故障yj的模糊隸屬度，稱 R=（rij）m×n為模糊關系矩陣，即：

對于隸屬度的確定，考慮到機加工的特點，筆者采用經驗數據與德爾菲法相結合的方法。

（1）由經驗數據確定的隸屬度為：

即根據已經存在的經驗數據來計算出隸屬度。

（2）德爾菲法（專家評分法）。該方法應該會有兩種情況：第一種情況是全體專家具有平等的學術地位，那么隸屬度就可以直接考慮各位專家評分的平均值；第二種情況是各專家水平各不相同，那么就需要在各專家評分上加上不同的權重。

在機加工方面，機床不同、操作人員不同以及運行環境不同，那么最終的故障情況也不會相同，因此，在專家評價方面各專家應有相應的權重。設各專家的權重為 ak（k=1,2,…,s）,其中 s 為專家個數，且 ak≥0,a1+a2+…+as=1,各專家的評分為zk，那么根據專家評分法得到的模糊隸屬度為：

（3）因要考慮專家評分和經驗數據兩個方面，故在計算隸屬度時應該分別給予權重，設經驗數據權重為 b1, 專家評分權重為 b2，b1、b2≥0,且 b1+b2=1，則根據專家評分和經驗數據所確定的綜合模糊隸屬度為：

從而構造出模糊診斷矩陣：

1.4 故障的診斷過程

設工件缺陷為 X=（x1，x2， …，xm）, 故障類型為 Y=（y1，y2，…，yn）,根據邏輯關系 Y=X?R，得到：

采用的診斷故障模型為M（·,+）,即：

此模型考慮到了主次因素的影響。當求出故障向量 Y=（y1，y2，…，yn）后，根據最大隸屬度原則來推斷出故障原因 Yg=max｛yj|j=1，2，…，n｝。

1.5 模糊診斷系統的統計學習

在機械加工中，機床的性能會隨著時間發生變化，而機加工的環境也會發生變化，如軸承的磨合或磨損、齒輪的磨損、操作人員的操作方式、加工環境的濕度和隔振性變化等，這些變化可能會導致某類故障與某種缺陷的關聯度發生改變。因此，在引入模糊故障診斷方法時，需要根據已有數據建立一個初始的模糊診斷矩陣。而隨著經驗數據的積累，如果依然按照初始模糊診斷矩陣，將無法適應機床運行狀況的變化。

基于這樣的原因，在機床的使用過程中，模糊診斷矩陣需要不斷調整。本文引入統計學習的方法，它包括兩個方面。

（1）隨著經驗數據的積累，在建立模糊診斷矩陣的時候，經驗數據所占的權重應該有所增加，而專家評分所占的權重應該下降，即：b1上升，b2下降。

（2）不同時間段積累的經驗數據會有所不同，所以根據經驗數據所建立的模糊診斷矩陣會發生改變。

因此，在機床的故障診斷過程中，需要對經驗數據不斷更新，舊的經驗數據需要丟棄，所以，計算機除了應該做上述兩個方面的改變之外，還應該對其改變趨勢作出預測，從而使所確定的后一階段的模糊診斷矩陣與實際情況更加吻合。

根據邏輯關系Y=X?R，實際上該統計學習的方法就是在已知前一階段的Y和X,來調整和預測后一階段的模糊診斷矩陣R。

2 故障診斷實例

下面以滾齒加工為例，討論零件缺陷與機床可能故障位置的診斷。

2.1 故障征兆

列出6種滾齒加工過程中常見的缺陷：x1（齒數不正確），x2（齒形不正常），x3（齒圈徑向跳動超差），x4（齒向誤差超差），x5（齒距累積誤差超差），x6（齒面啃齒缺陷）。

2.2 故障位置

列出6種在上述故障征兆發生的情況下，故障可能發生的位置：y1（分齒交換齒輪），y2（滾刀），y3（工作臺），y4（夾具），y5（分度蝸輪副），y6（立柱三角導軌）。

給出引入模擬故障診斷方法時已有的數據，見表1。

2.3 構造初始模糊診斷矩陣

根據式（2）可得經驗數據初始模糊診斷矩陣為：

表1 故障數據表

設根據專家評分所得初始模糊診斷矩陣為：

考慮到此時經驗數據較少，所以專家評分的權重應該高一些，設經驗數據的權重為b1=0.35，專家權重為b2=0.65，由R=0.35W+0.65V，得到初始模糊診斷矩陣為：

2.4 故障診斷分析

根據齒輪所表現出來的缺陷，得到輸入缺陷向量X，由邏輯關系Y=X?R可求得故障位置向量Y。如設缺陷向量 X=（001110），即出現 x3、x4、x5缺陷時，得：Y=（0.300.001.050.530.860.25）。

根據模糊數學理論中的最大隸屬度原則，可知Y3=max｛yj|j=1，2，…，6｝,即故障發生位置應為工作臺。

2.5 統計學習的應用

在以上給出的模糊故障診斷分析實例中，由于初始數據較少，專家評價的誤差所占的比重較高，隨著經驗根據有了較多的積累，專家評分權重將下降，最終的模糊矩陣需要根據實際情況加以改變，從而使診斷更加準確。

基于這種原因，前面所提到的統計學習的方法可以達到此目的，其過程如下。

（1）選取最近的一段足夠多的經驗數據為樣本；

（2）比較該樣本與專家評分的診斷結果的差距，由此決定經驗數據所應占的權重；

（3）根據經驗數據不斷調整模糊診斷矩陣，使其與前面的診斷結果相適應。

該過程的基本工作模型如圖1所示。

▲圖1 診斷模型

3 總結

本文將模糊數學理論應用到機加工故障診斷中，而且與其它采用模糊數學理論診斷故障的不同之處在于依據的是產品的外在缺陷，而非機器設備，這樣檢測設備的成本就會降低，但仍能較好地解決一些不定因素的影響，找到故障所在。提出了將統計學習與模糊診斷相結合來提高診斷準確性的方法。

但是，這還需要大量實踐檢驗，雖然提出了將統計學習應用到模糊診斷中去，但是只是提出了該方法，至于該系統的實現還需要進一步的研究。

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