連續相位調制信號的載波相位軟同步算法

周相超，薛 睿，趙旦峰，付 芳

(哈爾濱工程大學 信息與通信工程學院，哈爾濱150001)

0 引 言

連續相位調制(CPM)是一類先進的調制技術，具有相位連續、頻譜特性優良的特點，與PSK調制相比，具有更高效的頻帶利用率和功率利用率，而且調制之后的信號包絡恒定，對功率放大器的非線性特性不敏感，非常適合于信道傳輸。目前，CPM 的兩種特例MSK 和GMSK 已廣泛應用于衛星通信、深空通信和以GSM 為代表的數字蜂窩移動通信等領域，但因接收機復雜度較高、信號同步存在較大困難，通用的CPM 尚未獲得廣泛的應用［1］。

目前，CPM 信號的載波同步方法主要分為數據輔助同步和非數據輔助同步［2］。數據輔助同步方法的同步性能較好，但需占用額外的傳輸帶寬和功率;非數據輔助同步方法不需額外的帶寬和功率，但同步精度較差，且僅適用于信噪比較高的情況，很難實現有效同步。

近年來，隨著具有接近香農限的高性能的Turbo 碼和LDPC 碼的廣泛應用，逐漸興起了一類新的“碼輔助同步”算法。碼輔助同步算法基于最大似然準則，將譯碼器與同步器進行聯合迭代，從而獲得接近理想的載波同步性能。文獻［3］將Turbo 碼譯碼結構與最大似然準則結合，基于期望最大算法與和積算法進行迭代載波同步，可以獲得較精確的同步;文獻［4］提出了基于譯碼軟信息的改進的極性判決相位檢測算法，在低信噪比條件下可獲得較傳統方法更理想的同步性能;文獻［5］通過將鎖相環與LDPC 譯碼器結合，使用迭代譯碼過程中的外信息來獲得接近理想的相位估計;文獻［6］提出一種基于譯碼軟信息反饋的載波同步算法，不需導頻序列即可獲得載波相位的最佳估計值;文獻［7］基于最大似然準則，提出簡化的導頻聯合編碼輔助載波同步算法，該算法能大幅提高同步參數的估計精度和范圍，在一定的導頻長度下可逼近理想同步;文獻［8］中針對SCCPM 串行級聯系統，提出一種Turbo 同步結構，通過CPM 信號的正交指數分解和卡爾曼濾波來估計載波相位;文獻［9］針對LDPC－CPM 迭代系統，提出一種最大化后驗概率均值的載波同步算法。

由Rimoldi 分解可知:CPM 信號可以分解為連續相位編碼器CPE 和無記憶調制器MM 的組合［10］，因此CPM 信號具有類似于卷積碼的網格記憶結構。本文在Rimoldi 分解的基礎上，借鑒Turbo 碼和LDPC 碼的“碼輔助同步”思想，提出一種通用的CPM 信號載波相位同步算法。該算法基于最大似然準則，分別使用MAP 算法和EM算法對CPM 信號進行解調和相位估計，將解調器和同步器聯合設計，利用解調器輸出的軟信息輔助載波相位的同步。

1 CPM 調制與系統模型

1.1 CPM 調制原理

CPM 信號具有相位連續、包絡恒定的特點，其復指數形式的表達式為［11］:

式中:Es是符號能量;T 是符號周期;wc是載波頻率;θ0是初始相位;α 是傳輸的符號信息，取值范圍為{±1，±3，…，±(M－1)}，M 為CPM 的進制數;ψ(t，α)是攜帶信息的相位超量，同時也決定信號的帶寬，定義式為:

式中:h 為CPM 信號的調制指數;L 為CPM 的記憶長度;η(t，Ck，αk)和Φk分別為相位分支和相位狀態，定義式分別為:

式中:向量Ck=(αk－L+1，…，αk－2，αk－1)是符號信息序列，稱為相關狀態。

CPM 信號的相位響應函數q(t)的表達式為:

具有以下特性:

g(t)稱為CPM 的頻率響應函數，主要有矩形波成型函數、余弦波成型函數和高斯脈沖成型函數，對應不同的CPM 類型。

1.2 CPM 軟解調算法

傳統的CPM 信號使用Viterbi 算法實現相干解調，不便于軟信息的提取，為此，采用MAP 算法對CPM 信號進行軟解調，以獲取載波相位同步所需的軟解調信息。

由Rimoldi 分解可知，CPM 信號隱含一個具有記憶性的網格編碼器，類比卷積碼的網格圖，可定義k 時刻CPM 信號的狀態為:σk=(Φk，Ck)，對應的k+1 時刻的狀態即為:σk+1=(Φk+1，Ck+1)，相鄰時刻兩個相位狀態之間的關系為:

CPM 信號的網格圖如圖1 所示，其中sS(e)和sE(e)分別表示起始狀態和結束狀態，u(e)和c(e)分別表示輸入信息符號和輸出碼字符號，S={s1，…，sn}表示狀態集合，U={u1，…，um}表示輸入符號集合，ξ=S×U={e1，…，emn}表示任意兩個網格狀態之間的所有可能狀態轉移。

圖1 CPM 網格狀態圖Fig.1 CPM trellis

根據MAP 算法的原理:若網格狀態圖已知，則輸出碼字概率、輸入比特概率、狀態轉移概率等多種概率分布均是可計算的，根據碼輔助同步思想，在推導CPM 信號的載波相位同步算法的過程中，可由MAP 算法計算所需的解調軟信息類型。

1.3 系統模型

本文給出的算法和仿真都是基于圖2 的系統模型的。系統采用Rimoldi 分解的方式產生CPM信號，解調為基于MAP 算法的軟解調方式，傳輸信道為高斯白噪聲信道(AWGN)，其雙邊功率譜密度為N0/2。假定系統具有理想信號增益和符號定時同步，碼間干擾可忽略。

圖2 CPM 系統模型Fig.2 CPM system model

CPM 信號s(t)經AWGN 信道傳輸，到達接收機的信號r(t)表達式為:

式中:n(t)是經過AWGN 信道引入的零均值復高斯白噪聲，其同相分量與正交分量相互獨立，方差為N0/2;θ 是未知且恒定或慢變的載波相位，需要對其進行估計和補償。

2 載波相位軟同步算法

2.1 載波相位的最大似然估計

在CPM 信號的最大似然檢測中，匹配濾波器用于產生軟解調的先驗信息，輸出度量定義為:

式中:h(l)(t)為匹配濾波器單位沖擊響應，表達式為:

表示網格圖中一條可能的傳輸路徑。在CPM 信號的網格圖中，從一個節點sS(e)出發，共有M 個分支，每一條分支對應當前的輸入符號αk，定義分支度量為:

因此，載波相位θ 的似然函數可表示為:

由最大似然準則，為估計載波相位，需要對式(14)求導，令導數為零，得到載波相位的最大似然估計值，但方程沒有閉環解，數學求解困難，因此需要使用其他方法來近似，傳統方法有數據輔助和非數據輔助的近似方法［13］，本文使用EM 算法，采用迭代方式逐步接近載波相位的最大似然估計。

2.2 EM 算法

EM 算法是一種廣泛應用于參數估計領域的迭代求解算法，適用于存在隱含變量的優化問題，算法的目標是找出包含隱性變量的概率模型的最大可能的解［14］。EM 算法包括E 步驟和M 步驟，經過E 步驟和M 步驟的多次迭代，可獲得未知參數的近似最大似然估計值。

在E 步驟中構造Q 函數:

M 步驟用于獲取新的估計值:

2.3 基于解調軟信息的載波相位估計

接收信號的表達式如式(8)所示，載波相位θ為待估計參數，由EM 算法，構造Q 函數:

由式(17)可將后驗概率p z|( θ) 作如下化簡:

將式(17)和式(19)帶入式(18)可得:

式中:最后一個等號右邊第二項與相位θ 無關，可直接忽略，因此，載波相位θ 的Q 函數可簡化為:

因傳輸信道為AWGN 信道，似然函數p(r|α，θ)可表示為:

因此Q 函數中的對數似然函數為:

綜合式(23)的對數似然函數和式(24)的后驗概率表達式，CPM 信號載波相位θ 的Q 函數最終可表示為:

因此，基于EM 算法對CPM 信號的載波相位進行估計時需要2 種信息，Zk(Ck，αk)和p(Δk|，Zk(Ck，αk)來自匹配濾波器的輸出度量，狀態轉移概率可由CPM 信號自身的MAP 軟解調算法獲得。

由EM 算法原理，在獲得Q 函數之后，通過M步驟中的取最大值操作，即可獲取載波相位θ 的迭代估計值，由式(25)可得:

至此，推導出了基于EM 算法和CPM 軟解調的載波相位軟同步算法，該算法利用解調器輸出的狀態轉移信息來輔助載波相位估計，以迭代的方式獲得接近最大似然的載波相位同步，既避免了最大似然估計求解困難的問題，又可獲得較高的估計質量。

3 系統仿真與性能分析

基于圖2 所示的系統模型對本文提出的CPM 信號的載波相位軟同步算法進行性能仿真，仿真參數設置如下。采用的CPM 信號類型為:進制數M=8，記憶長度L=2，調制指數h=1/2，成型函數使用升余弦型;幀長為N=512，進行10 000 幀仿真;載波相位同步器與軟解調器之間的最大迭代次數設為10 次;載波相位偏移量的范圍設定為－180°≤θ ≤+180°;歸一化信噪比的范圍設為0≤Eb/N0≤10 dB。為驗證本文所提軟同步算法的有效性，分別對CPM 信號的載波相位估計精度和誤碼率性能進行數值仿真。

圖3 給出了載波相位估計的均方誤差曲線，作為對比，同時給出修正克拉美羅限(MCRB)、傳統的數據輔助估計(DA)的均方誤差曲線，其中，載波相位的修正克拉美羅限為［15］:

由圖3 可以看出，當Eb/N0≥5 dB 時，載波相位軟同步算法的均方誤差估計性能逐漸接近MCRB，與傳統的DA 方法性能相近。

圖4 給出了在多種相偏、不同信噪比條件下CPM 信號的誤碼率性能，由圖4 可見，當Eb/N0≥5 dB 時，載波同步逐漸趨于收斂，系統性能損失低于0.1 dB，相位偏差對系統性能的影響得到抵消，系統的誤碼率接近理想同步系統的性能。

圖3 載波相位估計的均方誤差曲線Fig.3 RMSEE curves of phase estimation

圖4 不同相位偏移時CPM 信號的誤碼率性能曲線Fig.4 BER curves of CPM for different phases

圖5 給出了CPM 信號在歸一化信噪比為6 dB 和8 dB 條件下相位估計的范圍。可以看到:相位未補償時，誤碼率受相位偏移影響較大，使用本文算法對載波相位偏移補償之后，誤碼率性能得到改善;該算法能有效估計的相位偏移范圍是|θ|＜90°，在該范圍內，估計誤差足夠小，誤碼率性能接近理想同步情況。

圖5 CPM 信號的相位補償曲線Fig.5 Phase compensation curves for CPM

4 結束語

因同步困難，CPM 信號的應用受到較大局限，本文借鑒最新的碼輔助同步思想，基于最大似然準則，將CPM 信號的解調器與同步器聯合，利用解調器輸出的軟信息去輔助載波相位的估計，從而達到載波相位同步的目的。當Eb/N0≥5 dB時，相位估計誤差接近MCRB，系統的誤碼率性能損失低于0.1 dB，可估計的相位偏移范圍為| θ|＜90°，經相位補償，系統的誤碼率接近理想同步條件下的性能。本文算法適用于載波相位恒定或慢變的系統，以少量的系統復雜度為代價，達到近似理想載波相位同步的目的，具有良好的工程實用價值。

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