傳遞矩陣法分析平面柔順機構的振動特性*

胡俊峰，郝亞洲，徐貴陽

(江西理工大學機電工程學院 贛州， 341000)

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傳遞矩陣法分析平面柔順機構的振動特性*

胡俊峰，郝亞洲，徐貴陽

(江西理工大學機電工程學院 贛州， 341000)

為了分析柔順機構的動態性能和力學傳遞關系，提出一種新型的基于傳遞矩陣法的振動力學模型。柔順機構由若干個柔性鉸鏈與桿件順序聯接而成，采用傳遞矩陣法描述其力學狀態量的傳遞關系。將柔性鉸鏈視為拉伸和彎曲變形的彈性梁，應用材料力學理論建立反映其自振性能的傳遞矩陣。將桿件視為剛體，采用動量矩定理建立其動力學模型，得到描述振動剛體的傳遞矩陣。按照柔順機構的聯接形式，將每個元件的傳遞矩陣進行拼裝，得到系統總傳遞矩陣。總傳遞方程以柔順機構的邊界點狀態矢量為未知變量，矩陣中的元素為機構結構參數和頻率的函數。應用邊界條件，可得柔順機構的特征方程，通過求解方程可得系統的固有頻率和振型。將外力納入傳遞矩陣，建立反映外力激勵與系統的關系的擴展傳遞矩陣以求解系統的頻率響應。通過2種常用平面柔順機構的動態性能分析，結果表明所建立模型的正確性，能精確描述柔順機構力學傳遞關系。

傳遞矩陣法； 力學模型； 動態性能； 平面柔順機構

引 言

目前，高精度、高分辨率的精密微操作平臺在近代尖端科學研究領域占有極其重要的地位。微操作平臺作為微技術和機器人技術交叉結合的產物，主要用于精確控制微細操作。它的操作對象和微動部分的運動范圍極小，可以完成其他機械無法實現的精細操作，如對細胞進行融合、存儲、切割等細胞自動作業。在用于處理微小物體進行微細定位和加工操作時，微操作平臺系統具有很大的優點，在微電子加工、裝配與操作等超精密制造與作業領域，微操作平臺也有廣闊的應用前景[1-4]。

柔順機構是一種利用構件的彈性變形傳遞或轉換運動、力或能量的新型機構[5-7]，具有運動分辨率高和運動精度高等特點，適宜于作為微操作平臺的執行機構。但是，精密微操作平臺易受外界環境擾動，為了消除外界環境的擾動，需要建立振動力學模型并對其動態性能進行分析。目前，建立柔順機構的力學模型的方法主要為偽剛體法和有限元法。偽剛體法是將柔性鉸鏈作為傳統運動副并采用傳統機構分析方法分析其力學性能，該方法適宜于描述柔順機構的靜態力學性能，同時該方法視鉸鏈為理想鉸鏈[7-9]，所以其計算精度低。有限元法是將柔順機構柔性鉸鏈和桿件劃分為按一定方式相互聯結的單元，具有多個自由度，所以采用有限元法描述柔順機構力學性能精度高，但計算量大，計算效率低，適宜于描述柔順機構的靜態和動態性能，但不便于分析機構參數與其性能之間的關系。

由于柔順機構是復雜多剛-柔體系統，涉及矩陣階次高、計算工作量大、計算出現“病態”的問題[10]，而傳遞矩陣法具有無需系統的總體動力學方程、涉及的矩陣階次低、建模靈活、程式化程度高等特點[11-12]。傳遞矩陣法通過拼裝各個元件的傳遞矩陣得到系統的總傳遞矩陣，再利用邊界條件得到系統的特征方程，對其求解得到系統的固有振動特性，所以傳遞矩陣法適宜于建立柔順機構的振動力學模型。傳遞矩陣法根據動態響應的解析解導出的傳遞矩陣可精確描述柔順機構的振動特性并得到其動態響應的精確解。與有限元法[13]和偽剛體法相比，傳遞矩陣法所建立的模型具有精確、簡明、計算量小、物理意義清晰等特點。

筆者根據柔順機構的結構特點，將柔順機構分為2種元件，一種元件是直梁式柔性鉸鏈，另一種元件為平面振動剛體，分別建立它們的傳遞矩陣，并得到系統的動力學方程。

1 柔順機構振動力學模型

采用傳遞矩陣法建立柔順機構的振動力學模型的主要思想是：將機構分解成易于用矩陣形式表達的簡單力學特征元件。將每個元件按照它們相互之間的聯接關系拼裝得到整個系統的動力學方程。根據柔順機構的結構特點，柔順機構是由柔性鉸鏈與桿件相互聯接而成，分別建立柔性鉸鏈與桿件的力學模型。假設柔順機構是由直梁式柔性鉸鏈和視為剛體的桿件構成，下面分別分析2種元件的傳遞矩陣。

1.1 直梁型柔性鉸鏈傳遞矩陣

考慮直梁型柔性鉸鏈尺寸較小，忽略其質量，同時在平面柔順機構中，柔性鉸鏈主要是縱向和橫向振動，所以將其作為具有拉伸和彎曲變形的彈性梁。如圖1所示，柔性鉸鏈在縱向(x方向)和橫向(y方向)振動，柔性鉸鏈中任一點的狀態矢量元素包括該點狀態變量的位移與內力。設柔性鉸鏈輸入端與輸出端的狀態矢量分別為

(1)

其中：xh,I,yh,I,θh,I分別為鉸鏈輸入端的位移和轉角；xh,O,yh,O,θh,O分別為鉸鏈輸出端的位移和轉角；Mh,zI,Fh,xI,Fh,yI分別為鉸鏈在輸入端所受力和力矩；Mh,zO,Fh,xO,Fh,yO分別為鉸鏈在輸出端所受力和力矩。

定義柔性鉸鏈的傳遞矩陣為其兩端截面上的內力與位移的關系

Zh,O=UhZh,I

(2)

由柔性鉸鏈平衡條件可知，力與力矩矢量和為零

(3)

其中：lh為鉸鏈長度。

由材料力學可知，柔性鉸鏈軸向變形[14]為

Δl=xh,O-xh,I=Fh,xIlh/EA

(4)

在柔性鉸鏈x處的轉角和變形為

(5)

其中：M(x)為在x處截面彎矩；C和D為積分常數，它們可由邊界條件求得。

邊界條件可表示為

(6)

由圖1所示，采用截面法的截面彎矩可表示為

M(x)=Mh,zI+Fh,yIx

(7)

聯合式(5)～式(7)可得柔性鉸鏈輸出端與輸入端轉角與位移的關系為

(8)

其中：E為彈性模量；A和I分別為柔性鉸鏈的截面面積和慣性矩。

聯合式(1)～式(4)和式(8)可得直梁型柔性鉸鏈傳遞矩陣

(9)

由式(9)可知，柔性鉸鏈的傳遞矩陣與其長度、截面慣性矩和彈性模量有關，反映了柔性鉸鏈的自振性能。

圖1 直梁型柔性鉸鏈模型

1.2 平面振動剛體傳遞矩陣

由于構成柔順機構的桿件相對于柔性鉸鏈尺寸較大，變形小，可視為平面振動剛體。定義桿件的輸入點與輸出點的狀態矢量分別為

(10)

表示剛體輸入與輸出關系的運動微分方程，可得在頻域中的平面振動剛體的傳遞矩陣

Zr,O=UrZr,I

(11)

如圖2所示，一端輸入一端輸出平面振動剛體，質量為m，建立以輸入點I為坐標原點的局部坐標系Ixy，剛體相對于點I的轉動慣量為JI，輸出點O的坐標為(bx,by)，質心C點的坐標為(cx,cy)。根據輸出點O與輸入點I的幾何關系，輸出點O的轉角與輸入點I的轉角相同，輸出點O位移為

(12)

因轉動的角度θr,I很小(θr,I?1)，則sinθr,I≈θr,I，cosθr,I≈1。所以，式(12)可寫為

(13)

同理，可得質心C點的位移

(14)

根據質心運動定理和活動矩心絕對動量矩定理，可得平面振動剛體的動力學方程

(15)

聯合式(12)和式(15)可得平面振動剛體的傳遞矩陣為

(16)

由式(16)可知，平面振動剛體的傳遞矩陣與桿件輸出端和質心位置、質量、繞輸入端的轉動慣量及振動頻率有關，反映了桿件的振動性能。

圖2 平面振動剛體模型

1.3 坐標變換矩陣

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(17)

其中：Ri為元件i的坐標變換矩陣。

研究平面柔順機構振動時，若元件i狀態矢量的形式表示為

(18)

(19)

將式(17)代入式(19)可得元件i在全局坐標系下的傳遞矩陣

(20)

圖3 坐標變換

1.4 系統傳遞方程

如圖4所示，設柔順機構由n個元件(鉸鏈和剛體)和n+1個聯接點和邊界點組成，Z1,I，Zn,O為邊界點的狀態矢量。

n個元件在全局坐標系下的傳遞方程分別為

(21)

由于元件1的輸出是元件2的輸入，依次類推，第i-1個元件的輸出是元件i的輸入，所以，系統的傳遞方程可以表示為

Zn,O=UZ1,I

(22)

其中

U=UnUn-1…Ui…U2U1

(23)

圖4 柔順機構總傳遞矩陣示意圖

2 柔順機構動態性能分析2.1 固有頻率分析

采用系統的傳遞矩陣求解柔順機構的固有頻率。系統的傳遞矩陣的元素均為系統固有頻率的函數。由式(22)表示的6個線性方程，應用邊界條件，其中3個齊次方程可寫為

(24)

Δ=det(U′)=0

(25)

則Δ是關于ω的多項式函數，計算其根即為系統的固有頻率。對每階固有頻率，可求解總傳遞方程得到系統邊界點的狀態矢量，利用每個元件傳遞矩陣得到系統每點的狀態矢量和系統振型。

2.2 頻率響應分析

采用傳遞矩陣法求解系統固有頻率和振型后，可求解任意激勵下柔順機構的動態響應。設柔順機構受頻率為ω的簡諧激勵力，柔順機構輸出將以同樣的頻率ω作簡諧振動，可得系統的頻率響應。當ω=0所得出的響應為其靜態響應。

為了將柔順機構所受的外力納入到傳遞矩陣，定義擴展狀態矢量為

(26)

設柔性鉸鏈處無外力作用，則對應于柔性鉸鏈的擴展狀態矢量的擴展傳遞矩陣為

(27)

圖5 平面振動剛體受力圖

如圖5所示，設在桿件某點(x,y)處受集中力和集中力矩，根據桿件的動力學方程可得

(28)

聯合式(28)和式(26)可得桿件的擴展傳遞矩陣為

(29)

同理，由元件的傳遞方程得到系統穩態振動的總傳遞方程為

(30)

(31)

其中

利用邊界條件，則可以得到柔順機構輸入端的狀態矢量與外力及頻率的關系，利用各個元件的傳遞矩陣就可得任何點的位移簡諧響應。

3 算 例

3.1 導向柔順機構

如圖6所示，導向柔順機構由導向梁和導向塊組成，導向梁相對于導向塊尺寸較小，視為直梁式柔性鉸鏈，導向塊為剛體。元件傳遞關系為1→2→3，可分別得出導向梁和導向塊的傳遞矩陣，并根據各個構件的聯接形式，則可得到整個系統總傳遞矩陣，可得元件1輸入端和3輸出端的狀態矢量分別為

(32)

材料彈性模量E=200 GPa，密度ρ=7 850 kg/m3。Lg，tg和bg分別為導向梁的長度、厚度和寬度，它們分別為10，0.5和2 mm。導向塊的長度、厚度和寬度分別為5，30和10 mm。

利用式(25)可求出導向機構的固有頻率，為了研究分析柔性鉸鏈參數對其固有頻率的影響，各參數范圍為Lg∈[5 20]mm，tg∈[0.1 2]mm和bg∈[1 10]mm，由于各個參數范圍不一樣，為了能比較分析，將它們進行歸一化處理。圖7表示導向機構固有頻率與鉸鏈參數之間的關系，由圖可以看出，Lg和tg對導向機構影響較大，但bg對其影響較小，而且隨Lg增大而減小，隨tg增大而增大。分析結果符合導向機構工作特點，表明模型的正確性。

為了研究分析導向機構的振型，將第1階固有頻率代入各個元件的傳遞矩陣，并利用邊界條件，可得各個點位移，將各個位移描繪可得如圖8所示第1階振型，實線表示機構靜止時的狀態，虛線表示系統的振型。由圖可知，第1階振型為沿y方向振動，與ANSYS模態分析的結果一致，說明所建立的模型的正確性。

為了分析導向柔順機構的頻率響應，設作用于如圖6所示的輸入力Fg=sinωt，頻率范圍為ω∈[102105]rad/s。根據系統的擴展總傳遞矩陣可得導向塊沿y方向的位移簡諧穩態響應，由此可得由輸入力到輸出位移的幅頻響應曲線如圖9所示。由圖可知，當系統的激勵頻率接近于其固有頻率，系統發生共振，說明所建立模型能精確反映導向機構的動態性能。

圖6 導向柔順機構

圖7 導向機構固有頻率與鉸鏈參數之間關系

圖8 導向柔順機構第1階振型

圖9 導向機構幅頻特性

3.2 橋式柔順機構

橋式柔順機構如圖10所示，其采用橋式結構對進行位移放大，是一種常用的放大機構，機構由柔性鉸鏈和桿件1,2及輸出平臺組成。設柔性鉸鏈長、寬和高分別為3，10，0.6 mm，桿件1長和高分別為8，2 mm，桿件2長和高分別為18，7 mm，輸出平臺的長和高分別為8，3 mm。圖11表示橋式柔順機構的聯接形式，元件傳遞關系為1→2→…→15。其中，元件1,3,…,13,15為直梁式柔性鉸鏈，元件2,4,…,12,14為振動剛體，可分別建立它們的傳遞矩陣，系統的邊界條件為

圖10 橋式柔順機構

圖11 橋式柔順機構聯接形式

(33)

橋式柔順機構的輸入與輸出之間關系為

(34)

由邊界條件，可求機構的固有頻率和頻率響應。通過求解橋式柔順機構的特征方程可得系統的第1和2階固有頻率分別為1 516.6，4 263.2 rad/s。為了分析橋式柔順機構的頻率響應，設作用于如圖11所示的輸入力F=sinωt，其頻率范圍為ω∈[101104]rad/s。根據系統的擴展總傳遞矩陣可得輸出平臺沿x和y方向的位移穩態響應，由此可得由輸入力到輸出位移的幅頻響應曲線，如圖12所示。由圖可知，當機構的激勵頻率接近于其固有頻率時位移最大，y方向位移比x方向位移大，說明所建立模型能精確反映該機構的動態性能。

圖12 橋式柔順機構幅頻特性Fig.12 The amplitude-frequency characteristic of bridge compliant mechanism

利用所推導出的擴展傳遞矩陣，可以對柔順機構進行靜態性能分析，即設ω=0，在單位力F=1作用下，利用傳遞矩陣的特點，可計算輸入端與輸出端的位移以及機構的放大倍數λ，結果為3.34，有限元ANSYS計算結果為3.67。兩者計算的結果接近，表明理論模型的正確性。

4 結 論

1) 建立直梁型柔性鉸鏈和桿件的傳遞矩陣，根據柔順機構的結構特點，建立平面柔順機構總傳遞矩陣，并利用邊界條件建立系統的特征方程求解系統固有頻率和振型。

2) 為了分析柔順機構的頻率響應，引入元件的擴展狀態和擴展傳遞矩陣，將外力納入傳遞矩陣，可求解系統的頻率響應。

3) 對2種常用的平面柔順機構進行動態性能分析，表明了所建立的動態模型的正確性。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.06.023

*國家自然科學基金資助項目(51265016)；江西省教育廳科技資助項目(GJJ12358)；江西省自然科學基金資助項目(20122BAB216029)

2013-11-10；

2014-04-22

TH703; TP274

胡俊峰,男， 1978年10月生，副教授。主要研究方向為柔順機構和結構動力學與控制。曾發表《3自由度精密定位平臺的運動特性和優化設計》(《光學精密工程》2012年第20卷第12期)等論文。 E-mail: hjfsuper@126.com