同步壓縮小波與希爾伯特-黃變換性能對比*

熊 炘，占 銳，王小靜

(上海大學(xué)機電工程與自動化學(xué)院 上海，200072)

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同步壓縮小波與希爾伯特-黃變換性能對比*

熊 炘，占 銳，王小靜

(上海大學(xué)機電工程與自動化學(xué)院 上海，200072)

經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸?empirical mode decomposition 簡稱EMD)中包絡(luò)均值代替信號實際均值的算法誤差，使其在處理復(fù)雜多頻振動信號時易出現(xiàn)模式混疊，引起分析誤差。針對這一問題，采用同步壓縮小波變換(synchrosqueezed wavelet transform ，簡稱SWT)根據(jù)時間-尺度平面中各元素模的大小，對平面內(nèi)的能量進行重新分配，通過映射關(guān)系將時間-尺度平面轉(zhuǎn)化為時間-頻率平面，獲得頻率曲線更加集中的時頻表達。這一方法的正交性與算法自身良好的數(shù)據(jù)驅(qū)動性降低了模式混疊引起的時頻分析誤差，多組分仿真信號時頻特征提取證明了SWT的優(yōu)異時頻特性，利用旋轉(zhuǎn)機械不對中振動位移信號進行了實測數(shù)據(jù)分析。結(jié)果表明，SWT能夠精確描述諧波信號的頻率構(gòu)成，且所獲時頻能量分布集中，時、頻域定位精度高，為機械設(shè)備的狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷提供了一種新的時頻分析手段。

時頻分析； 同步壓縮小波變換； 希爾伯特-黃變換； 特征提取； 旋轉(zhuǎn)機械

引 言

時頻分析可洞察信號各組分的結(jié)構(gòu)，直觀反映出信號中頻率構(gòu)成隨時間的變化規(guī)律，在設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷領(lǐng)域越來越受到重視[1]。近年來，一系列新的時頻分析工具的出現(xiàn)為快速精確提取時頻特征提供了新的途徑。第2代小波分析、多小波分析[2]以及基于經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸獾南柌?黃變換(Hilbert-Huang transform, 簡稱HHT)被廣泛應(yīng)用于工程實際中的各個領(lǐng)域[3]。

與傳統(tǒng)的基于內(nèi)積運算與波形匹配的方法不同，HHT是一種創(chuàng)新性的時頻分析工具[4]，包括兩個基本步驟：經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸?EMD)和希爾伯特變換(Hilbert transform，簡稱HT)。EMD是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動的自適應(yīng)的篩選算法，將時間序列信號分解為一組基本模式分量(intrinsic mode function, 簡稱IMF)。IMF理論上為窄帶分量，但在實際應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)EMD所分解的IMF并非全為窄帶信號，各組分之間并不嚴格正交。這種單一IMF中含有截然不同的信號成分或者同一頻率成分被分解到不同的IMF中的現(xiàn)象，稱之為模式混疊[5],其與信號的間歇現(xiàn)象以及不能準確提取極值點有關(guān)[6]。

針對EMD模式混疊問題，一些學(xué)者提出了改進方法。文獻[7-8]對高斯白噪聲的統(tǒng)計特性進行了研究，發(fā)現(xiàn)EMD是一種有效的數(shù)字濾波器，為總體經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸?ensemble empirical mode decomposition，簡稱EEMD)的提出奠定了基礎(chǔ)。實踐表明,EEMD在一定程度上抑制了模式混疊的產(chǎn)生[9]，但同時喪失了EMD的完備性以及完全數(shù)據(jù)驅(qū)動性的優(yōu)點，并且計算量大。在EEMD的基礎(chǔ)上,Torres等[10]提出了噪聲自適應(yīng)的完備性總體平均經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸?complete ensemble empirical mode decomposition with adaptive noise，簡稱CEEMDAN)，它保留了EMD的完備性以及自適應(yīng)性，并且計算量為EEMD的一半，在實際應(yīng)用中極大改善了非平穩(wěn)信號的分解效果。EEMD 和CEEMDAN是兩種典型的EMD新算法，被廣泛應(yīng)用于機械故障診斷。李昌林等[11]提出了一種EEMD和Laplace小波結(jié)合的滾動軸承診斷方法。王幫峰等[12]利用EEMD實現(xiàn)飛行數(shù)據(jù)小突變信號檢測。陳雋等[13]利用EEMD實現(xiàn)疲勞應(yīng)變信號降噪。然而采用包絡(luò)均值代替數(shù)據(jù)的實際均值，使得現(xiàn)有EMD改進算法都不可能完全解決模式混疊問題，而且EMD本質(zhì)上是一種數(shù)值算法，很難用嚴格的數(shù)學(xué)解析式來解釋。

Daubechies等[14]在尋求解釋EMD算法原理數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的過程中，提出了一種與EMD算法原理近似的新方法——同步壓縮小波變換。SWT是一種時頻域再分配方法，與第2代小波變換及多小波變換不同，SWT在小波變換的基礎(chǔ)上，利用同步壓縮方法，根據(jù)時間-尺度平面中各元素模的大小，對時間-尺度平面的能量進行重新分配，最后通過特殊的映射將時間-尺度平面轉(zhuǎn)化為時間-頻率平面，獲得頻率曲線更加集中的時頻表達。SWT的提出為時頻分析提供了新思路，文獻[15-16]證明了SWT在有限擾動或白噪聲污染情況下有界穩(wěn)定，并詳細論述了SWT的Matlab實現(xiàn)方法。

筆者將SWT理論引入旋轉(zhuǎn)機械振動信號特征提取當(dāng)中。首先，介紹了SWT的基礎(chǔ)算法和步驟；然后，將SWT應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)機械仿真信號的時頻特征提取，與HHT時頻特征提取結(jié)果進行對比分析；最后，利用SWT對實際機組信號進行特征分析，證明其對于旋轉(zhuǎn)機械諧波響應(yīng)信號特征提取的有效性。

1 同步壓縮小波變換

SWT以小波變換為基礎(chǔ)，采用同步壓縮的方法提取小波脊線，使諧波信號的時頻表達效果更加清晰，主要包括以下幾個步驟。

(1)

2) 相變換。連續(xù)小波變換的相變換為

(2)

(3)

離散小波相變換為

(4)

Wf的偏導(dǎo)數(shù)通過下式計算

(5)

3) 同步壓縮得到Tf(w,b)。定義f的離散同步壓縮小波變換為

(6)

forl=0 tona-1；

end for

其中

{將規(guī)范化后的變量代入積分中：ΔZ=1}

end for

(7)

2 仿真信號分析

旋轉(zhuǎn)機械因其振動機制所產(chǎn)生的振動響應(yīng)通常為一組諧波信號的疊加，對于此類信號的特征提取，在時頻面上準確描述頻率和能量隨時間的變化至關(guān)重要。下面利用一組模擬的調(diào)頻調(diào)幅信號，對CEEMDAN和SWT時頻分析方法進行比較分析。

采用的模擬信號具有5個組分，S1～S5主頻分別為40，120，250，500和700 Hz，除主頻以外S2包含20 Hz的調(diào)頻成分，S3包含15 Hz的調(diào)幅成分。

對各組分信號直接進行HHT，得到0～1 s內(nèi)的時頻圖如圖1所示，由于各組分滿足IMF的條件，并且有效地避免了模式混疊，得到理想的時頻圖，作為參照。

圖1 各組分分別進行HHT所得時頻圖

采用CEEMDAN對仿真信號進行分解，文獻[10]選擇迭代次數(shù)Ι為100，ε為0.2，所得的時頻圖如圖2(a)所示。采用SWT仿真信號進行分解，選擇Morlet小波作為基本小波，nv取32，所得時頻圖如圖2(b)所示。

圖2 模擬信號時頻分布

圖2(a)與圖1對比結(jié)果表明，HHT時頻圖相比于理想時頻圖，其頻率分布廣泛，高頻部分出現(xiàn)明顯的頻率發(fā)散現(xiàn)象，低頻部分出現(xiàn)虛假的調(diào)頻波動，從中只能分辨出3個頻率成分。

圖2(b)與圖1對比結(jié)果表明，SWT時頻圖與理想時頻圖具有相同的頻率分布，各頻率成分相互獨立，無虛假成分產(chǎn)生，從圖中可清晰讀出40，120，250，500和700 Hz。120 Hz處有20個振蕩波形，表明其調(diào)頻頻率約為20 Hz；250 Hz處明暗變化15次，表明其調(diào)幅頻率約為15 Hz，這些特征都與仿真信號相吻合。為了提高計算速度，小波尺度采用指數(shù)尺度序列，因此同步壓縮時頻圖的縱坐標為指數(shù)坐標。

為分析兩種方法分解的正交性，給出分解后的前6階IMF的時域波形及其頻譜，如圖3所示。由FFT頻譜圖可看出，CEEMDAN并沒有完全消除模式混疊，前2階IMF頻率混淆嚴重。IMF1具有250，500和700 Hz的頻率成分，其頻帶分布較寬，不具備窄帶特征，故對其進行希爾伯特變換求瞬時頻率不具物理意義，導(dǎo)致時頻圖上出現(xiàn)虛假頻率。

對SWT分解的組分進行分析，選擇分解的層數(shù)為5，對其進行FFT變換。圖4所示SWT中C1～C5分別對應(yīng)原始信號中的S4，S3，S1，S2和S5，精確還原了原始信號的組成成分。分析結(jié)果表明，SWT相比于HHT正交性更好，SWT各組分頻率相對獨立，無虛假頻率產(chǎn)生，且具有良好自適應(yīng)性，對復(fù)雜多組分的諧波信號具有理想的分解效果。

3 轉(zhuǎn)子故障特征提取案例分析

為進一步驗證SWT的工程實用性，利用轉(zhuǎn)子不對中位移信號進行時頻特征提取，并與HHT特征提取性能進行對比。轉(zhuǎn)子不對中是旋轉(zhuǎn)機械常見的故障，常伴隨徑向振動中較大的2倍頻振動能量，頻譜以1，2倍頻成分為主。不對中越嚴重，2倍頻所占比例就越大，并且可能出現(xiàn)高次諧波。

圖3 仿真信號IMF及其頻譜

圖4 SWT分解成分與頻譜

實際振動信號來自某煉油廠煙機，結(jié)構(gòu)如圖5所示，額定轉(zhuǎn)速為12 kr/min，傳感器安裝于聯(lián)軸器兩側(cè)，升速到11 130 r/min時進行測量，采樣頻率為2 kHz，信號樣本長為0.5 s。信號時域波形如圖6(a)所示，F(xiàn)FT變換的幅值譜如圖6(b)所示。

圖5 煙機簡圖

從圖6(b)中可發(fā)現(xiàn)，故障信號的頻率呈連續(xù)分布，其中較為突出的頻率成分約為48,185,373,558,746和931 Hz，分別對應(yīng)1/4倍頻、1倍頻、2倍頻、3倍頻和4倍頻。

圖6 煙機不對中振動信號

圖7 不對中振動信號時頻圖

用SWT對不對中振動信號進行時頻特征提取，選擇Morlet小波作為基本小波，nv設(shè)為64，所得時頻圖如圖7(a)所示。用HHT進行時頻特征提取，選擇CEEMDAN分解信號，添加白噪聲為0.3，迭代次數(shù)設(shè)為500，最大篩選次數(shù)為5 000，所得時頻圖如圖7(b)所示。

對比圖7中的兩幅時頻圖可見，HHT與SWT在一定程度上都能反映出機器振動的頻率成分，圖7(a)中的SWT時頻圖能夠清晰描述1/4倍頻、1倍頻和2倍頻；3倍頻能量雖較小，但仍可分辨出；4倍頻位于時頻圖的最上方，譜線也清晰可見。圖7(b)的HHT時頻圖中，只能分辨出1倍頻和1/4倍頻，高頻部分譜線發(fā)散嚴重，發(fā)生了嚴重的模式混疊。對比結(jié)果表明，SWT的時頻圖更準確地還原了原始信號成分，除在實際頻率附近有細微模糊外，其他區(qū)域無虛假成分，其時頻提取精度更高，并且抗噪性能更好。

進一步研究對實際信號的分解效果，得出每個組分的時域波形及其頻譜。SWT分解組分及其頻譜如圖8(a)所示，CEEMDAN分解的組分及其頻譜如圖8(b)所示。從圖中可清楚看出，SWT對實際信號的分解效果明顯優(yōu)于HHT。圖8(a)中的C1～C6各頻帶相對獨立，頻率集中，表明其分解效果理想。圖8(b)中IMF1～IMF6相互之間有明顯的頻率重疊，相同頻率被分解到不同組分中，不滿足窄帶條件。

圖8 不對中振動信號分解組分

4 結(jié) 論

1) 通過對仿真信號分析表明，SWT所得時頻圖更加清晰地反映出頻率隨時間的變化規(guī)律，時頻圖上譜線相對集中并且無虛假頻率產(chǎn)生。對各分解組分的分析發(fā)現(xiàn)，SWT分解后的各組分均為窄帶信號，并且頻率分布相互獨立，具有良好的正交性，精確還原了原始多頻諧波信號的組成。HHT所得的時頻圖無法避免模式混疊，所得IMF并不全為窄帶信號，尤其是1階IMF包含多個頻率成分，與其他組分頻帶相互重疊，導(dǎo)致時頻圖上出現(xiàn)虛假頻率成分。

2) 在實測故障信號分析中，SWT所得的時頻圖能夠清晰反映出不對中故障的諧波頻率成分，通過時頻圖譜線顏色的變化規(guī)律，可準確表達信號的能量分布，且時頻定位準確，輔助確診了煙機不對中故障。

[1] 何正嘉, 陳進, 王太勇, 等. 機械故障診斷理論及其應(yīng)用[M].北京: 高等教育出版社, 2010:1-12.

[2] Yan Ruqiang, Gao R X, Chen Xuefeng. Wavelets for fault diagnosis of rotary machines: a review with applications[J]. Signal Processing:Part A, 2014, 96: 1-15.

[3] Lei Yaguo, Lin Jing, He Zhengjia, et al. A review on empirical mode decomposition in fault diagnosis of rotating machinery[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2013, 35(2): 108-126.

[4] Huang N E, Shen Zheng, Long S R, et al. The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis[J]. Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 1998，454(1971): 903-995.

[5] 胡愛軍, 孫敬敬, 向玲.經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸庵械哪B(tài)混疊問題[J]. 振動、測試與診斷, 2011, 31(4): 429-434.

Hu Aijun, Sun Jingjing, Xiang Ling. Mode mixing in empirical mode decomposition[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2011, 31(4): 429-434. (in Chinese)

[6] Peng Zhike, Tse P W, Chu Fulei. A comparison study of improved Hilbert-Huang transform and wavelet transform: application to fault diagnosis for rolling bearing[J]. Mechanical System and Signal Processing, 2005, 19(5): 974-988.

[7] Flandrin P, Rilling G, Goncalves P. Empirical mode decomposition as a filter bank[J]. Signal Processing Letters, IEEE, 2004, 11(2): 112-114.

[8] Wu Zhaohua, Huang N E. A study of the characteristics of white noise using the empirical mode decomposition method[J]. Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 2004, 460(2046): 1597-1611.

[9] Wu Zhaohua, Huang N E. Ensemble empirical mode decomposition: a noise-assisted data analysis method[J]. Advances in Adaptive Data Analysis, 2009, 1(1): 1-41.

[10]Torres M E,Colominas M A, Schlotthauer G, et al. A complete ensemble empirical mode decomposition with adaptive noise[C]∥ IEEE International Conference on Acoustic Speech and Signal Processing. Prague：[s.n.]，2011：4144-4147.

[11]李昌林, 孔凡讓, 黃偉國.基于EEMD和Laplace小波

的滾動軸承故障診斷[J]. 振動與沖擊, 2014, 33(3): 63-69.

Li Changlin, Kong Fanrang, Huang Weiguo. Rolling bearing fault diagnosis based on EEMD and Laplace wavelet[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(3): 63-69. (in Chinese)

[12]王幫峰, 林劍祥, 蘆吉云. 基于EEMD-HT的飛行數(shù)據(jù)小突變信號檢測[J]. 振動、測試與診斷, 2013, 33(3):388-392.

Wang Bangfeng, Lin Jianxiang, Lu Jiyun. Small mutation signal detection for flight data based on empirical mode decomposition and Hilbert transform[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2013, 33(3): 388-392. (in Chinese)

[13]陳雋, 李想. 運用總體經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸獾钠谛盘柦翟敕椒╗J].振動、測試與診斷, 2011, 31(1): 15-19.

Chen Jun, Li Xiang. Application of ensemble empirical mode decomposition to noise reduction of fatigue signal[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2011, 31(1): 15-19. (in Chinese)

[14]Daubechies I, Lu Jianfeng, Wu H T. Synchrosqueezed wavelet transforms: an empirical mode decomposition-like tool[J]. Applied and Computational Harmonic Analysis, 2011, 30(2): 243-261.

[15]Thakur G, Brevdo E, Fukar N S, et al. The Synchrosqueezing algorithm for time-varying spectral analysis: robustness properties and new paleoclimate applications[J]. Signal Processing, 2013, 93(5): 1079-1094.

[16]Brevdo E. The synchrosqueezing toolbox[EB/OL]. [2014-08-20]. http://web. math.princeton.edu/～ebrevdo/synsq/

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.06.016

*國家自然科學(xué)基金資助項目(50876057);上海大學(xué)理工類創(chuàng)新基金資助項目(K.10-0109-13-007);上海市高校青年教師培養(yǎng)計劃資助項目(N.37-0109-14-203)

2014-09-15；

2014-10-24

TN911．7; TH165．3

熊炘，男，1983年11月生，工學(xué)博士、講師。主要研究方向為機電裝備故障診斷、機械動力學(xué)和智能檢測技術(shù)。曾發(fā)表《A new procedure for extracting fault feature of multi-frequency signal from rotating machinery》(《Mechanical Systems and Signal Processing》2012,Vol.32)等論文。

E-mail: xiongxinme@gmail.com