快速自開合屏蔽罩系統建模與結構參數優化*

王學偉，張文生，劉 衍

(中國科學院自動化研究所精密感知與控制研究中心 北京， 100190)

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快速自開合屏蔽罩系統建模與結構參數優化*

王學偉，張文生，劉 衍

(中國科學院自動化研究所精密感知與控制研究中心 北京， 100190)

針對屏蔽罩快速開合過程中其支撐臂易產生扭轉彈性形變這一問題，基于分布參數法建立了能夠描述屏蔽罩支撐臂扭轉彈性形變特性的支撐臂動力學模型，并結合驅動與傳動機構的集中參數描述方法，建立了屏蔽罩系統集中-分布參數模型。在此集中-分布參數模型基礎上，采用多目標非線性約束優化算法對屏蔽罩系統結構參數進行優化。實驗結果表明，屏蔽罩支撐臂扭轉共振頻率提高了60%，抑制了屏蔽罩系統的機械共振，減小了屏蔽罩基體振動，使目標執行器位置偏移量減小至8 μm。

屏蔽罩； 支撐臂； 集中-分布模型； 結構參數； 優化

引 言

快速自開合屏蔽罩作為目標執行器的自動化保護裝置，應用于航空、航天等領域[1]。當目標執行器定位后，屏蔽罩快速打開，以實現目標執行器與屏蔽罩外部儀器高精密(誤差≤10 μm)對接[2]。在屏蔽罩快速開合過程中，其支撐臂將產生彈性振動，該振動不僅影響目標執行器的定位時間與精度，而且限制了屏蔽罩伺服系統的帶寬[3-4]。因此，對屏蔽罩支撐臂產生的彈性振動特性進行研究，對實現目標執行器的快速和高精度定位具有十分重要的工程意義。精準的屏蔽罩系統動力學模型對振動特性分析起決定性作用[5]，成為振動控制研究的熱點之一。

目前，建立系統動力學模型的有效方法為集中參數法、分布參數法和集中-分布參數法[6-8]。Kim等[9]采用集中參數法建立了絲杠傳動系統動力學模型。該建模方法采用常微分方程描述系統動力學特性，因為變量與空間位置無關，所以此法不能對絲杠所引起的彈性扭轉振動特性進行分析。Erkorkmaz等[10]利用分布參數法建立了描述桿件扭轉彈性振動特性的模型，并通過桿件兩端安裝的角編碼器獲取其扭轉共振頻率和振型。該方法采用偏微分方程描述，很難獲取其解析解。Liu等[11]通過將集中參數建模法和分布參數建模法相融合，得到了能夠準確描述電機驅動橫梁結構的系統動力學模型(簡稱集中-分布參數模型)。其中，對于驅動系統采用集中參數方法建模，針對橫梁結構的彈性形變特性，采用分布參數法描述，集中和分布模型通過力傳遞關系及橫梁邊界條件進行統一，并獲得該模型動力學方程的解析解。此建模方法中兩模型之間的力平衡關系描述值得借鑒，但并未對橫梁彈性共振特性展開研究。

筆者基于以上研究成果，綜合考慮屏蔽罩快速(角度為100～120°，時間為100～200 ms)開合過程中，支撐臂的扭轉彈性形變特性，利用集中-分布參數建模法建立屏蔽罩系統動力學模型，分析屏蔽罩支撐臂結構參數對其扭轉共振頻率的影響，獲得提高共振頻率、減小目標執行器位置偏移的最優結構參數，并通過實驗對優化結果進行驗證。

1 屏蔽罩系統模型

屏蔽罩系統由伺服電機、蝸輪蝸桿、屏蔽罩、屏蔽罩支撐臂、屏蔽罩基體及其聯結軸構成，如圖1所示。蝸輪蝸桿將伺服電機輸出軸的轉動轉換為屏蔽罩支撐臂的開合運動，因此，屏蔽罩支撐臂承受著扭轉力矩的作用，而其反作用力通過屏蔽罩聯結軸傳遞到屏蔽罩基體。

圖1 屏蔽罩系統模型示意圖

1.1 屏蔽罩支撐臂分布參數模型

將蝸輪蝸桿、屏蔽罩及其基體簡化為剛體，忽略屏蔽罩聯結軸質量而將其簡化為扭轉彈簧。屏蔽罩支撐臂承受的蝸輪扭轉力是引起其彈性形變的唯一外部激勵。

屏蔽罩支撐臂采用偏微分方程描述，其扭轉彈性動力學模型如圖2所示。其中：Kp，Gp和Pp分別為屏蔽罩支撐臂第2段扭轉剛度、剪切模量和扭轉極慣性矩；Kr為支撐臂末端聯結軸扭轉剛度。屏蔽罩支撐臂第1段沿x軸方向任意位置的扭轉內力矩為T(x,t)，扭轉彈性變形為γ1(x,t)，末端形變記為γ1(L1,t)。

圖2 屏蔽罩彈性動力學模型

(1)

由于振型與振動方式無關，則該段扭轉方向各處彈性形變可表示為

(2)

其中：H1n(t)和Y1n(x)分別表示該段振動方式和振型函數。

振型函數僅為位置x的函數，其正弦波為

(3)

其中：A1n，P1n和φ1n分別為該段扭轉共振的幅值、頻率和相位角。

通過三角函數正交性分離振動和振型函數，并根據零初始條件下的杜哈梅積分得該段扭轉彈性形變γ1(x,t)的時域解表達式為

(4)

在x=L1處扭轉彈性形變γ(L1,t)與外部激勵F0(t)的動力學方程的拉氏變換ΓL1n(s)為

(5)

(6)

靠近蝸輪端，伺服電機的扭轉力矩通過蝸輪傳遞到屏蔽罩支撐臂第1段的輸入端，此處內應力為零；遠離蝸輪軸端，其內應力與扭轉彈性力保持平衡，則扭轉變形與彈簧形變的協調關系為

(7)

由式(7)得共振頻率p1n的表達式為

(8)

(9)

該段共振頻率p2n的表達式為

(10)

(11)

該段共振頻率p3n的表達式為

(12)

其中：各段共振頻率p1n，p2n和p3n均通過數值解析法求得其值后，即可得到φ1n,φ2n和φ3n的值。

(13)

1.2 屏蔽罩系統集中-分布參數模型

伺服電機、蝸輪蝸桿采用集中參數模型方法進行描述，其表達式為

Tm-Tb=J0s2θw(s)+B0sθw(s)

(14)

其中：Tm為電機的力矩；Tb為屏蔽罩聯結器的扭轉力矩；J0為電機與蝸輪蝸桿的等效轉動慣量；B0為電機和蝸輪蝸桿等效轉動黏性阻尼系數。

屏蔽罩支撐臂末端扭轉角位移為蝸輪剛體自由旋轉角位移與屏蔽罩支撐臂扭轉彈性形變所產生的扭轉角位移的疊加，其表達式為

(15)

依據式(14)和式(12)得屏蔽罩系統動力學傳遞函數方框圖，如圖3所示。從伺服電機扭轉力矩到屏蔽罩聯結軸扭轉角位移的傳遞函數表達式為

圖3 屏蔽罩系統動力學傳遞函數方框圖

(16)

其中

2 屏蔽罩系統結構參數優化

為削弱機械共振對屏蔽罩系統動態性能的影響，改善系統動力學特性，在保證系統指標的基礎上對屏蔽罩支撐臂結構參數進行優化，以滿足屏蔽罩支撐臂快速開合過程中伺服系統帶寬要求。

圖4所示為屏蔽罩支撐臂質量、第2段扭轉剛度Kp與1階扭轉共振頻率的關系。由圖可知，增大扭轉剛度可提高扭轉共振頻率，但存在極值；增大屏蔽罩支撐臂質量對扭轉共振頻率的影響作用相反。因此，需尋找屏蔽罩支撐臂質量和第2段扭轉剛度Kp的最優值。

圖4 支撐臂質量-第2段扭轉剛度-共振頻率關系曲線

圖5所示為屏蔽罩支撐臂質量、末端聯結軸剛度Kr與1階扭轉共振頻率的關系。1階扭轉共振頻率的當前值為85Hz，從圖中得出其極值為150Hz，則末端聯結軸剛度Kr影響扭轉共振頻率的提高，需優化Kr。

圖5 支撐臂質量-末端聯結軸扭轉剛度-共振頻率關系曲線

屏蔽罩支撐臂第2段和第3段扭轉共振頻率的目標函數F1(x)和F2(x)的表達式如下

(17)

(18)

表1 屏蔽罩參數的約束條件

通過Matlab優化設計工具箱，采用多目標非線性約束優化方法，得支撐臂結構參數和目標向量的最優值，將各最優值取整后得表2所示結果。

表2 結構參數優化結果

3 模型與優化結果驗證

搭建如圖6(a)所示的屏蔽罩系統實驗平臺，蝸輪軸和屏蔽罩聯結軸上各安裝一個編碼器(角分辨率為2 048)，用于測量蝸輪輸入的角度值和聯軸器扭轉角度。將目標執行器固定于屏蔽罩基體底座上，激光位移傳感器測量目標執行器垂直于屏蔽罩基體方向的位置偏移。圖6(b)所示為該屏蔽罩系統運動控制示意圖，實驗平臺的控制采用編碼器反饋的半閉環控制方式。由多軸運動控制器(programmable multi-axes controller,簡稱PMAC)控制伺服電機的轉動，電機輸出軸通過聯軸器與蝸輪蝸桿相連接，由蝸輪輸出軸的轉動完成屏蔽罩的開合運動。

圖6 屏蔽罩系統整體結構

3.1 模型驗證

通過對式(8)、式(10)和式(12)進行分析，得屏蔽罩支撐臂各段扭轉共振頻率和振型與外部激勵無關，而由支撐臂自身物理特性、幾何特性和聯結軸扭轉剛度決定，為機械系統固有特性。搭建如圖7所示的屏蔽罩支撐臂靜力學實驗平臺，并通過該平臺對支撐臂進行模態分析，以驗證分布參數動力學模型的正確性。

圖7 支撐臂靜力學實驗平臺

圖8所示為屏蔽罩支撐臂扭轉正則化振型和共振頻率，表3為依據式(11)得到共振頻率和相位角的理論值，兩者的扭轉共振頻率誤差在5%以內，說明其分布參數動力學模型是正確的。

圖8 支撐臂1-3階扭轉正則化振型曲線和頻率值

表3 支撐臂末端共振頻率和相位角

Tab.3 Resonance frequency and phase angle at the end of the supporting arm

參數第1階第2階第3階扭轉共振頻率/Hz85224440相位角/(°)81522

對屏蔽罩伺服系統進行位置環掃頻，掃頻帶寬為10～1 000 Hz，得其伺服帶寬接近90 Hz。屏蔽罩支撐臂扭轉1階共振頻率在85 Hz左右，該共振頻率將影響伺服系統動態精度，而2階及以上扭轉共振均大于200 Hz，因此可不予以考慮，則其分布參數動力學模型可采用第1階級數項描述。

3.2 優化結果驗證

為驗證屏蔽罩系統集中-分布參數模型的正確性，獲取從電機輸入力矩到屏蔽罩支撐臂聯結軸輸出角位移的開環Bode圖，如圖9所示。由圖9得知：仿真與實驗所獲Bode圖的幅頻特性曲線在100 Hz左右存在共振頻率，且振動幅值變換規律一致；在相頻特性曲線中，與100Hz處均產生了180°的相位移。因此，所建屏蔽罩系統集中-分布參數模型對其系統描述是正確的。

圖10為屏蔽罩支撐臂結構參數優化后，從伺服電機輸入力矩到屏蔽罩聯結軸輸出角位移的開環Bode圖。與圖9對比得出，屏蔽罩支撐臂結構優化后，其1階扭轉共振頻率由101Hz提高到161Hz，遠離了伺服系統帶寬臨界值。

圖10 結構參數優化后的伺服系統頻響仿真與實驗bode圖

當屏蔽罩以200 ms打開角度120°時，在結構參數優化前兩編碼器角度差平均為8°；結構參數優化后，以相同時間打開相同角度時，兩編碼器角度差平均為3°。

由激光位移傳感器測得支撐臂結構參數優化前后，目標執行器沿垂直于屏蔽罩基體方向的位置偏移，如圖11所示。從圖中得出，目標執行器最大位置偏移量減小至8 μm，說明支撐臂結構參數的優化

降低了由于支撐臂扭轉形變引起的屏蔽罩基體振動，從而使目標執行器的位置偏移量減小。

圖11 目標執行器的位置偏移

4 結束語

首先，綜合分析了屏蔽罩快速開合過程中支撐臂的扭轉彈性形變特性，并結合伺服電機與蝸輪蝸桿的集中參數描述方法，建立了屏蔽罩系統的集中-分布參數模型；其次，為了提高伺服系統的動態性能，在屏蔽罩系統模型基礎上，研究了結構參數與支撐臂扭轉共振頻率的關系，采用多目標非線性約束優化算法完成了對屏蔽罩支撐臂結構、聯結軸剛度的優化，提高了支撐臂的扭轉共振頻率，抑制了伺服系統的機械共振，使目標執行器在垂直于屏蔽罩基體方向的最大位置偏移量減小至8 μm，達到系統設計指標要求。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.06.000

*國家自然科學基金資助項目(U1135005)；國防基礎研究“十二五”規劃資助項目(0101050302)

2013-10-22；

2013-12-27

TH6

王學偉，女，1983年3月生，博士研究生。主要研究方向為復雜系統運動控制與精密定位。曾發表《Position error compensation method of the cantilever’s end based on 2-order dynamic model》(《Journal of Information and Computational Science》2014, Vol.11, No.9)等論文。 E-mail:eve5958@163.com