核密度估計法在板件概率損傷識別中的應用*

孫汝杰，陳國平，孫東陽，何 成，周蘭偉

(1.南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室 南京，210016)(2.重慶大學航空航天學院 重慶，400044)

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核密度估計法在板件概率損傷識別中的應用*

孫汝杰1，陳國平1，孫東陽2，何 成1，周蘭偉1

(1.南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室 南京，210016)(2.重慶大學航空航天學院 重慶，400044)

基于譜元法將核密度估計方法用于解決結構的損傷識別，從而得到了損傷位置的概率密度函數。通過建立壓電-結構耦合的三維譜元法模型，模擬Lamb波在鋁板完好及損傷結構中的傳播過程。利用連續小波變換計算響應信號在傳感器之間的飛行時間，得到Lamb波在結構中的傳播速度。通過對Rayleigh-Lamb方程的數值分析，得到Lamb波的理論傳播速度，并將其與譜元法得到的結果進行對比，證實了譜元法模型的準確性。在橢圓定位技術的基礎上，考慮環境不確定性對測量信號的影響，引入核密度估計方法將損傷位置識別轉化為一種概率性問題。討論了3種噪聲水平情況下的損傷位置的概率密度函數，并給出了最終識別的結果。結果表明，核密度估計方法能夠有效地識別出損傷位置，最大誤差在5%左右。

譜元法； Lamb波； 連續小波變換； 核密度估計； 概率損傷識別

1 問題的引出

為了滿足航空航天結構的高可靠性和低成本維護的要求，結構健康監測技術近年來得到了廣泛的研究與應用。基于Lamb波的損傷識別方法對小損傷敏感，靈敏度和精度較高，其中主動Lamb波技術可以對結構中的裂紋、表面腐蝕和焊接缺陷等多種損傷模式進行在線識別，是目前采用較多的一種識別方法[1]。在已有的主動Lamb波損傷識別方法中，比較常用的一般是以結構健康狀態下的響應為參考信號，通過對比損傷狀態下的響應從而可以得到由損傷產生的散射信號，利用幾何方法實現損傷定位。以損傷散射信號的飛行時間為損傷特征信息，通過橢圓定位技術實現損傷定位是一種較為直接的方法[2-4]。如圖1(a)所示，利用3個由Lamb波波速及損傷散射信號飛行時間所確定的橢圓軌跡的交點可以實現損傷定位。這一技術實現的前提在于準確獲取結構中Lamb波的傳播速度及各傳感器接收信號的到達時刻。然而，當結構在實際服役的過程中，由于溫度、振動和噪聲等環境因素的影響，給Lamb波信號的測量帶來了很大的不確定性。如圖1(b)所示，3個橢圓軌跡不再相交于一點，因此傳統的確定性方法已無法滿足實際的情況。有學者在傳統橢圓定位的基礎上提出了概率成像的方法，采用高斯分布函數來確定結構上任意位置出現損傷的概率密度函數，從而對復合材料分層[5]、水下結構腐蝕[6]以及鋼管焊接缺陷[7]等多種模式進行了研究。Niri等[8]考慮了Lamb波波速與飛行時間的不確定性，利用擴展卡爾曼濾波技術實現了損傷位置的定位。Yan[9]利用貝葉斯識別理論在考慮建模與測量不確定的條件下實現了損傷定位。以上的概率法一般是基于給定分布形式的假設前提下進行的，當外界因素影響較小時，假設近似成立，識別的結果也較為準確。但是，實際情況中，來自外界的影響因素多種多樣，影響程度也難以準確量化，這使得先前假設的分布形式難以滿足實際條件，會影響結果的可靠性。因此，有必要引入非參數估計法來消除對假設的依賴。核密度估計作為一種常用的非參數估計方法，可以在不需要任何分布形式假設的條件下得到關于現有樣本的準確估計，在工程領域內得到了廣泛應用[10-11]。近年來，研究較多的算法還有時間反轉法[12-13]、偏移法[14]、相控法[15]和空間濾波器[16]等。

在研究基于Lamb波損傷識別的同時，數值模擬技術對研究Lamb波在結構中的傳播規律具有重要意義。目前的方法主要有有限元法、有限差分法和邊界元法等。由于Lamb波最小波長的數量級有時達到毫米級，采用傳統的方法需要耗費大量的計算資源。譜元法具有譜單元的高效性，同時也兼備了有限元的靈活性，是模擬Lamb波傳播過程的一種非常有效的方法[17-19]。Ha等[20-21]利用譜元法模型分析了壓電片與結構之間粘接層的厚度對信號的影響。Zak等[22]基于譜元法對鋁板和復合材料結構進行了損傷識別。

筆者借助譜元法的數值模擬技術，利用核密度估計法實現損傷定位。首先，建立了壓電-結構耦合的三維譜元法模型，分析了鋁板結構中Lamb波的傳播特性，利用Morlet小波變換得到信號的到達時刻，從而得到Lamb波在結構中的傳播速度；其次，通過對Rayleigh-Lamb方程的數值分析，求解鋁板中Lamb波的頻散曲線，得到Lamb波的理論傳播速度；最后，利用核密度估計方法，在3種水平的高斯白噪聲下，對含有小孔損傷的鋁板進行了概率損傷識別，得到了損傷位置的概率密度函數。

圖1 基于飛行時間的橢圓損傷定位

2 數值仿真模型

2.1 三維譜元法的建立

在譜元法中，通過N階Legendre多項式得到單元的N+1個Gauss-Lobatto-Legendre(GLL)節點坐標，表示為

(1)

單元節點的局部坐標如下：ξ1=-1；ξ2=-0.765 055；ξ3=-0.285 232；ξ4=0.285 232；ξ5=0.765 055；ξ6=1。

圖2 參考系中108節點的三維譜單元

圖2為筆者所采用的6×6×3節點的三維譜單元在局部坐標系中的示意圖。

根據Lagrange插值多項式構造形函數，則單元內的位移函數可表示為

(2)

(3)

其中：δmn為Kronecker符號；ωm為GLL權系數。

這樣就可以形成單元剛度矩陣、質量矩陣及載荷向量。

2.2 壓電-結構耦合分析

在損傷識別過程中，Lamb波的激發與接收一般由壓電片完成，因此有必要建立壓電片與結構耦合的數值模型來研究Lamb波在結構中的傳播過程。壓電材料的本構方程[23]可表示為

(4)

其中：σ為應力矢量；ε為應變矢量；E為電場強度矢量；D為電位移矢量；C為彈性常數矩陣；e為壓電耦合系數；g為介電常數矩陣。

通過哈密頓變分原理可得到壓電材料最終的運動方程[23]為

(5)

消去式(5)中的電勢矢量可得

(6)

其中：KI為機電耦合作用引起的與電壓邊界條件有關的耦合剛度矩陣；fa為壓電片形成的等效作用力。

當壓電片作為激勵器產生Lamb波時，壓電片上表面電壓為V，下表面電壓為零，則在結構上產生的等效作用力為

(7)

當壓電片作為傳感器接收Lamb波時，壓電片上產生的電勢分布為

(8)

3 Lamb波在鋁板結構中的傳播

3.1 數值模擬

利用已建立的壓電-結構耦合的三維譜元法模型，對鋁板結構中的Lamb波傳播過程進行數值模擬，本節分析的鋁板為完好無損傷結構。

圖3 激勵器、傳感器及損傷在鋁板上的示意圖(單位：m)

如圖3所示，鋁板尺寸為500 mm×500 mm× 2mm，邊界條件為4邊自由，鋁板的力學參數如表1所示。板上共有4塊壓電片，其中1塊為激勵器激發Lamb波，其他3塊為傳感器，壓電片的直徑為10 mm，厚度為1 mm，材料參數如表2所示。采用的激勵信號為中心頻率200 kHz的正弦調制信號，幅值為30 V。

表1 鋁板的力學參數

表2 壓電片的材料參數

圖4所示為5周期正弦調制的激勵信號與傳感器1及傳感器2接收到的Lamb波信號，傳感器3接收到的信號與傳感器2一致。

圖4 激勵信號與傳感器1,2的接收信號

3.2 連續小波變換分析

為了準確測得Lamb波到達各傳感器的時刻，本節采用小波變換技術計算Lamb波的群速度。其中，Lamb波模式可分為對稱模式Si和反對稱模式Ai,相應下標分別表示第i階對稱模式和反對稱模式。連續小波變換的高時頻分辨率可以有效地提取信號中的特定成分。

信號s(t)的連續小波變換(continuous wavelet transform,簡稱CWT)可表示為

(9)

其中：上標*表示復共軛；a,b分別表示尺度、時間因子。

本節采用的Morlet復數小波定義如下

(10)

其中：fb,fc分別為頻率帶寬及中心頻率。

圖5表示的是圖4中的信號所對應的小波變換結果，從圖5中可以直接得到Lamb波的飛行時間，從而可以計算出Lamb波的群速度。

圖5 激勵信號與接收信號在200 kHz下的小波變換

3.3 Rayleigh-Lamb頻率方程分析

平板中Lamb波可用Rayleigh-Lamb頻率方程表達如下。

對稱模式

(11)

反對稱模式

(12)

圖6 鋁板中Lamb波的頻散曲線

對式(11)、式(12)的頻散方程進行數值分析，可以得到Lamb波的相速度與群速度的頻散曲線，如圖6所示，從圖中可以得到頻厚積為200×0.002=0.4 MHz·mm時Lamb波的理論速度。同時，在Abaqus中建立相同的壓電-結構耦合的三維有限元模型。將3種方法得到的結果進行對比，結果如表3所示。由表3可以發現，A0與S0的速度誤差均在5%以內，從而證實了所建立的譜元法模型的準確性，而誤差可能由數值積分、網格等因素引起。

表3 不同方法得到Lamb波A0與S0速度對比

Tab.3 Comparison ofA0andS0speeds calculated by different methods

參數理論結果Abaqus譜元法結果誤差/%結果誤差/%S0/(m·s-1)53925218.53.225213.73.31A0/(m·s-1)27002748.71.802762.82.33

4 Lamb波在鋁板結構中的傳播概率損傷識別4.1 核密度估計方法

設有一組數據xi(i=1,2,…,n)，則可以得到任意一點x處的核密度估計為

(13)

帶寬h越大，估計的密度函數就越平滑，誤差也會越大；如果帶寬較小，估計的密度函數和樣本擬合較好，但是不夠光滑。帶寬優化的一般原則是使得漸進均方積分誤差(AMISE)最小。

筆者選用的核函數為高斯核函數

(14)

相應的最優帶寬為

h=1.06σn-1/5

(15)

其中：σ為數據的標準差。

4.2 損傷識別結果

通過數值模擬可以分別得到Lamb波在鋁板完好結構與小孔損傷下的傳播特性。通過小波變換得到3個傳感器接收到的損傷散射信號的飛行時間。

為了考慮環境因素的影響，這里討論3種水平下的高斯白噪聲。其中，健康信號的信噪比分別為15，25，35 dB；損傷信號的信噪比相應地為10，15，20 dB。以25 dB/15 dB為例，圖7給出了3組損傷散射信號的飛行時間的概率密度分布，由30個測試數據計算所得。

將損傷散射信號的飛行時間Ti代入式(16)的橢圓方程，可得到1組3個橢圓軌跡，兩兩組合求得3個滿足條件的交點，取三交點的平均值作為損傷位置的概率點。

(16)

同時，對信噪比35 dB/20 dB的情況進行了分析，計算了30個測試數據，圖10給出了識別結果。對比圖9和圖10可以發現，當提高信噪比時，可能出現損傷的位置將更趨于集中，這將有利于決策者對損傷的判斷。

圖7 損傷散射信號飛行時間的概率密度函數

圖8 識別的損傷位置的概率密度分布

圖9 25dB/15dB噪聲水平下識別的損傷位置的聯合概率密度函數

圖10 35dB/20dB噪聲水平下識別的損傷位置的聯合概率密度函數

為進一步論證該方法的有效性，將噪聲水平繼續降低，即健康信號與損傷信號的信噪比分別取15 dB與10 dB。圖11(a)為該噪聲水平下通過傳感器3得到的一組損傷散射信號的飛行時間的概率密度函數，由40個測試數據計算所得。從圖中可以發現，其中部分數據已完全失效，甚至出現了小于零的情況，此時的噪聲已經嚴重影響了部分信號的準確測量。因此，有必要對數據進行修正，即剔除失效數據，最終保留了29個有效數據，重新計算得到新的概率密度函數，如圖11(b)所示。同時，分別給出該噪聲水平下損傷位置的識別結果，如圖12所示。可以發現，隨著信噪比的降低，可能出現損傷的區域將進一步擴大。表4給出了3種噪聲水平下識別出的損傷概率峰值位置與真實位置的對比，其中誤差表示識別位置到真實位置的距離與傳感器間的最短距離d的比值，d=0.2 m。

圖11 傳感器3得到的損傷散射信號的概率密度函數

圖12 15 dB/10 dB噪聲水平下識別的損傷位置的聯合概率密度函數

表4 3種噪聲水平下損傷位置識別結果與真實值的對比

Tab.4 Comparison of identified damage locations with actual central location under three levels of noise

真實損傷位置/m噪聲水平15dB/10dB噪聲水平25dB/15dB噪聲水平35dB/20dB識別結果/m誤差/%識別結果/m誤差/%識別結果/m誤差/%(0.195,0.245)(0.1979,0.2344)5.49(0.2007,0.2396)3.93(0.1987,0.2440)1.92

5 結 論

1) 基于譜元法建立了壓電-結構耦合的三維譜元法模型，分析了Lamb波在鋁板中的傳播特性。

2) 利用Morlet小波變換準確提取了Lamb波在鋁板中的飛行時間，從而得到Lamb波的群速度。通過數值分析，對Rayleigh-Lamb方程進行求解，得到Lamb波的理論速度，并將其與譜元法和Abaqus得到的結果進行了對比，最大誤差均小于5%，從而證實了所建立的三維譜元法模型的準確性。

3) 引入核密度估計方法進行概率損傷識別，分別討論了3種噪聲水平下損傷識別效果。結果表明，即使在低信噪比的情況下，識別出的損傷位置的最大誤差也僅為5%左右，證實了核密度估計方法能夠有效地給出損傷位置概率密度函數，從而能夠幫助決策者對損傷的判斷。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.06.009

*航空科學基金資助項目(2012ZA52001)；江蘇高校優勢學科建設工程資助項目

2013-11-15；

2013-12-21

TB559； O212.7

孫汝杰，男，1990年5月生，博士研究生。主要研究方向為結構損傷識別和結構優化設計。曾發表《The impact force identification of composite stiffened panels under material uncertainty》(《Finite Elements in Analysis and Design》2014，Vol.81)等論文。

E-mail:sunrujie@nuaa.edu.cn