Engel定理的一個推廣

陳秀梅(濰坊學院 數學與信息科學學院,山東 濰坊 261061)

Engel定理的一個推廣

陳秀梅
(濰坊學院 數學與信息科學學院,山東 濰坊 261061)

摘 要：本文在更一般的條件下給出了判定李代數冪零的充分條件，從而推廣了李代數中的Engel定理。

關鍵詞：有限維李代數; 冪零; ad冪零

1 預備知識

Engel定理是李代數中一個重要的結論，本文對它進行了推廣，需要用到下面的結論。

引理1[1]設L是一般線性李代數gl（V）的子代數，V是有限維的，若L由冪零自同態組成，且V≠0，則存在非零的v∈V，使L·v=0。

Engel定理[1]若有限維李代數L的所有元素都是ad冪零的，則L是冪零的。

2 正文

下面我們給出Engel定理的推廣

定義1[1]設L是一個李代數，x∈L，K是L的理想，如果adx|K是K上的冪零自同態，則稱x在理想K上ad冪零。

為了敘述的方便，我們給出幾個符號: 若K是L的理想，令K0=K，K1=[K0,L]，Ki+1=[Ki,L]，i=1,2,…。

定理1設L是有限維李代數，dinL=n，K是L的理想，若Ki≠0(i=0,1…,n-1)，且L的所有元素都在K上ad冪零，則L也是冪零的。

證明: 對dinL=n進行歸納。

當n=1時，由于K≠0，從而L=K，因而由Engel定理知L是冪零的。

假設當dimL＜n時結論成立，則對dimL=n時，由條件，，且都為K上的冪零自同態，K≠0，故由引理知，存在非零的x∈K，使[L,x]=0，因而為L的中心)，且是L的理想。因此,且設

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作者簡介：陳秀梅(1980-),女，山東諸城人，講師，研究方向:代數半群，矩陣論。