例談初中數學應用題解題策略

邱展靈

【關鍵詞】應用題 解題策略

初中數學

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2015）05A-

0074-02

初中數學應用題中常見的類型有：（1）行程與工程問題，初中階段主要是考查該部分的列方程解應用題，分為行程問題中的追及與相遇，工程問題中的工程定位、大小等;（2）生產問題，工農業生產中產值、計算率、調配等問題;（3）決策與營銷問題，銷售活動的盈利、定價、利潤率等問題，需要結合數據處理方法和有關信息，進行分析、計算與決策;（4）物理化學問題，與實驗數據緊密聯系;（5）圖像與信息處理問題，數形結合，借助圖像處理數據;（6）增長率問題;（7）幾何問題。初中數學應用題形式靈活，解題方法多樣，關鍵是需要通過發現知識與問題形成的規律，尋找解決問題的思路，循序漸進地構建知識網絡，掌握扎實的技術與方法，與實際生活問題相結合，仔細分析問題的提問方式，摸索細節，構建數學模型，進一步解決問題。

一、創設有效情境，深入學習理論

初中數學應用題是將相關理論知識與實際數字結合起來，考核與生活、生產實際相關的一些問題。基于應用題的考核方法與新課改理念下的教學目標，教師要創設有效的教學情境，引導學生在具體的情境中分析問題，厘清問題思路，分析出問題的已知條件、限制因素和求解問題，通過情境的激勵和輔助作用，有效促進學生找出解決問題的方法與策略。創設情境有如下方式：一是運用直觀的教學手段創設情境，如線段圖、實物等，借助這些東西創設直觀的教學場景，通過將抽象的問題具體化，簡化解題思路;二是多媒體情境，運用信息技術手段，將抽象化為具體，將靜態轉化為動態，化繁為簡、化難為易，提升學生的學習積極性和主動性，調動學生思維的靈活性;三是通過設疑創設情境，讓學生在問題的關鍵處設疑，引導學生摸索出線索，完善學生的認知結構，強化學生的綜合能力。

例如：“快車與慢車在平行軌道上相向而行，快車長100m，慢車長150m，快車駛過慢車某個窗口用時5s。問慢車駛過快車某個窗口所用時間？”對于此類問題，可以借助多媒體模擬實際運行過程，使得數學問題形象化，加深學生的印象，達到有效解題的目的。應用題的解答需要學生綜合分析社會生活實際，結合數學科學基礎理論，創設有效情境，將數學元素融入到現實元素中，綜合分析應用題的因果關系、限定條件等，找出思路，按圖索驥。

二、實施生活指導，解決實際問題

初中數學問題與生活、生產實際聯系緊密，為強化學生的應用能力，實現新課改教學目標，在初中數學應用題教學中，教師應重視實施生活指導，引導學生分析應用題中對周圍環境的數量關系以及實際問題的反映，結合數學知識，探究實際問題的解決過程，由此強化學生的科學素養與應用能力。將生活中常見的問題引入到數學應用題中，也可以有效激發學生的學習興趣，鼓勵學生互助合作、實際探究，強化學生的綜合能力。

例如，某地實行醫保制度，每位居民年初繳納醫保70元，醫療費用結算方式分3部分，不超過n元的部分全部由醫保基金承擔;超過n元不超過6000元的部分由個人承擔k%，其余由醫保基金承擔;超過6000元部分，個人承擔20%，其余由醫保基金承擔。設某居民一年看病醫療費用為x元，個人實際承擔醫療費用（年初社保繳納基金與醫療費用中個人承擔費用之和）為y元。（1）y與x的函數關系（含n、k、x的代數式）;（2）給出3對數據，個人看病所花費醫療費x（元）與個人實際承擔醫療費用y（元）分別為（400，70）、（800，190）、（1500，470），求n、k的值？對于該類問題，教師應該運用生活指導法，將此問題與實際生活緊密聯系，引導學生分析生活中出租車、水電費計費方式，結合分段函數、定義域、數形結合相關知識展開分析。根據實際問題需要，劃分x為（0，n）、（n，6000）、（6000，+∞）三個區間段，再通過數形結合畫出折線圖，運用問題2中的3組對應數據列出方程組，就可以得出正確的解答。通過實際生活問題指導，能有效解決初中數學應用題中的營銷與決策問題、行程問題等，以此強化學生的應用能力與數學素養。

三、應用閱讀指導，按圖索驥解題

閱讀指導是解決應用題的關鍵，如果忽略了某部分的要點，可能找不到解決問題的切入口，或者解出來的答案又不符合實際問題的需要，導致增解、誤解等。應用閱讀指導學習方案，引導學生按圖索驥、循序漸進地找到出口、厘清思路、制訂方案、完善過程。數學語言具有簡潔、無歧義等特點，但同時其又具有內涵豐富、抽象性，尤其是需要將數學符號語言、圖表語言等在閱讀過程中進行轉換。所以，指導學生科學閱讀，能取得事半功倍的效果。需要注意如下幾點：一是略讀識大意，快速瀏覽，分清是哪類問題（不等式、數列、函數、概率），厘清已知條件和求解問題，以及涉及的數學知識，畫出示意圖;二是細讀抓關鍵，將關鍵句子與語句找準，辨析其延伸出的綜合知識與數學問題，逐句研讀，找準關鍵;三是精讀勤轉換，將抽象問題具體化，數學問題形象化，運用符號、圖表等表述形式，靈活轉換思維，厘清解題思路。

例如，裝運方案設計中，某鄉組織20輛汽車裝運A、B、C類蘋果共42噸到外地銷售，每輛車裝同一種蘋果且裝滿，每種蘋果不少于2車。（如下表）

對于A、B、C三類蘋果品種，其每輛汽車運載量（噸）與每噸蘋果獲利（百元）對應的數據分別為（2？郾2，6）、（2？郾1，8）、（2，5）。問（1）若分別用x、y輛車裝運A種蘋果，問x與y的函數關系式，并求出x的取值范圍？（2）若要利潤最大，如何分配車輛？對于該類型的題目，可以建立函數模型，結合實際問題以及題目要求，仔細閱讀，找到“每種蘋果不少于2車”“最大利潤”等關鍵語句，建立函數關系式，得出答案，即x=2。

四、展開數學建模，強化科學思維

數學建模是解決初中數學應用題的關鍵思想，在閱讀材料、厘清題意的基礎上，將應用題中實際闡述的問題抽象成數學語言，通過深入加工、去粗存精、抽象概括、數形結合，有效運用數形結合建立出相應的數學模型。從實際問題到純數學問題，經過了數學語言的轉換和信息加工，以及對原有知識、信息和生活經驗的提取和加工，是復制信息處理的過程。數學建模需要注意：一是扎實掌握數學理論知識、數學思想、數學方法;二是歸類分析、準確建模，將應用題中闡述的問題進行分類，如生產問題、形成問題、決策問題、幾何問題、濃度問題等，通過信息篩選、轉換，將應用題中的實際問題轉換為數學符號、圖形語言、數量關系等，構建數學模型。

例如，一條直線上依次有A、B、C、D、E五個點，問圖中共有幾條線段？又如往返于甲乙兩地的客車，中途有3個站，問需要準備多少種車票？這類型的問題可以建立幾何圖形模型，結合線段圖展開分析。再如計算機程序為二進制數，轉換方式為（1011）2=1×23+0×22+1×21+1×20=11，那么（1001）2換算成十進制數的結果是■？此類型可以建立閱讀理解模型。車輛調配、水電費交費、出租車計費等可以建立方程組模型，臺風影響相關問題可以建立三角函數模型，幾何問題可以建立幾何模型，與幾何圖形相關的知識結合起來，運用數形結合思想解決問題。通過開展數學建模教學，強化學生的數學科學思維，有效引導學生掌握數學思想、數學方法，提升數學科學素養。

按圖索驥妙解題，循序漸進促提升。新課改理念下的初中數學教學，需要堅持以學生為本、因材施教的教學策略，認真分析學生的認知基礎、實際能力與學習特點，探究學生的知識與能力成長方式，從扎實理論、引導方法、培養思維、強化能力等出發，提升學生的綜合素養，實現快速解決初中數學應用題的目標。

（責編 林 劍）