基于MATLAB的離心泵特性曲線擬合

□ 張 戎 □ 余淑榮 □ 吳明亮

蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院 蘭州 730050

水泵的特性曲線包括流量揚(yáng)程曲線Q-H、流量功率曲線Q-N、流量效率曲線Q-η，這些曲線可以直觀、全面、準(zhǔn)確地反映出水泵的工作性能，對于水泵的設(shè)計(jì)制造、產(chǎn)品測試、質(zhì)量改進(jìn)，以及用戶的選型和使用都有重要的意義。由于泵內(nèi)的實(shí)際流動(dòng)規(guī)律十分復(fù)雜，相關(guān)參數(shù)無法從理論上準(zhǔn)確計(jì)算，因此在實(shí)際中需要通過測試來獲得相關(guān)性能參數(shù)，再根據(jù)這些參數(shù)擬合繪制出水泵的特性曲線［1］。筆者利用MATLAB對離心泵特性曲線進(jìn)行擬合，并分析其擬合結(jié)果。

1 曲線擬合基本原理

曲線擬合就是找出一條光滑曲線，這條曲線要能夠反映出一組離散數(shù)據(jù)的變化趨勢，使數(shù)據(jù)誤差的平方和最小，但不要求擬合的曲線經(jīng)過每個(gè)點(diǎn)，這就是最小二乘法曲線擬合。 已知一組測定的數(shù)據(jù)（xi，yi），i=1、2、...、n，求出自變量 x 與因變量 y 的關(guān)系 f（x，A），A=（a0、a1、...、an；b0、b1、...、bn；c0、c1、...、cn）， 若記誤差 δi=yif（xi，A），使誤差的平方和最小，求出參數(shù) A 的最佳值，即可得到擬合結(jié)果 f（x，A）。

2 離心泵特性曲線的數(shù)學(xué)模型

離心泵性能測試的參數(shù)包括流量Q、進(jìn)口壓力p1、出口壓力p2、電機(jī)輸入功率Nm、泵轉(zhuǎn)速ω。測試時(shí)通過自動(dòng)調(diào)節(jié)出口節(jié)流閥，使流量從最大向零變化，直至出口閥關(guān)閉［2］。揚(yáng)程H、軸功率N、泵效率η的計(jì)算公式為：式中：Z為壓力傳感器的垂直位差，m；ρ為介質(zhì)密度，kg/m3；d1為進(jìn)口直徑，m；d2為出口直徑，m；ηm為電機(jī)效率；g為重力加速度。

離心泵的特性曲線是非線性的，根據(jù)離心泵特性曲線的特征，筆者選用m次多項(xiàng)式作為其擬合模型。設(shè)擬合多項(xiàng)式如下：

式中：m=1，2，...，n。

3 離心泵特性曲線的MATLAB擬合方法

MATLAB是集數(shù)值計(jì)算、符號(hào)計(jì)算和圖形可視化于一體的功能強(qiáng)大和操作簡單的應(yīng)用軟件，不需要編寫大量的算法程序，只需要調(diào)用本身的函數(shù)就可以完成復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算功能［3］。利用MATLAB中的Polyfit函數(shù)進(jìn)行多項(xiàng)式曲線擬合，其調(diào)用格式為：

式中：x，y為測得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)；n為擬合多項(xiàng)式的次數(shù)，p為擬合多項(xiàng)式的系數(shù)（按降冪排列）。n=1時(shí)為線性擬合。由于高次多項(xiàng)式會(huì)產(chǎn)生Runge現(xiàn)象，因此除非已知數(shù)據(jù)來自高次多項(xiàng)式，否則多項(xiàng)式擬合的次數(shù)一般不超過 6 次［4］。

離心泵性能測試參數(shù)見表1。

在MATLAB中輸入以下程序，并運(yùn)行：

表1 離心泵性能測試參數(shù)

p2=polyfit（q，p，2）

p3=polyfit（q，v，2）

可得到離心泵特性曲線二次多項(xiàng)式擬合系數(shù)如下：

p1=－0.017 6 0.025 4 18.473 3

p2=0.001 3 0.010 9 1.247 0

p3= －0.144 6 4.562 9 －0.293 1

擬合后離心泵特性曲線為：

流量揚(yáng)程曲線Q-H：

H=－0.017 6Q2+0.025 4Q+18.473 3

流量功率曲線Q-N：

N=0.001 3Q2+0.010 9Q+1.247 0

流量效率曲線Q-η：

η=－0.144 6Q2+4.562 9Q－0.293 1

在MATLAB中輸入以下程序，并運(yùn)行：

＞＞ y1=polyval（p1，q）;

y2=polyval（p2，q）;

y3=polyval（p3，q）;

plot（q，h，′+′，q，y1，′－′，q，p，′+′，q，y2，′－′，q，v，′+′，q，y3，′－′，′linewidth′，2），grid on

可得到擬合后的離心泵特性曲線，如圖1所示。

將以上程序p=polyfit（x,y,n）中的n由二階改為三階、四階、五階、六階，即可得到不同擬合階次的離心泵特性曲線。

▲圖1 二次多項(xiàng)式擬合曲線

4 擬合曲線的優(yōu)化度檢驗(yàn)

離心泵特性曲線對于泵的設(shè)計(jì)、制造、改進(jìn)等有著重要意義，為了得到擬合效果最優(yōu)的曲線，則需對擬合結(jié)果進(jìn)行分析。

在MATLAB中輸入以下程序，并運(yùn)行：

＞＞ c1=corrcoef（y1，h）

c2=corrcoef（y2，p）

c3=corrcoef（y3，v）

可分別得到揚(yáng)程H、軸功率N、泵效率η的測量值與擬合結(jié)果的相關(guān)系數(shù)：

c1=0.998 9

c2=0.999 3

c3=0.999 6

相關(guān)系數(shù)越接近1，表示實(shí)際數(shù)據(jù)與擬合結(jié)果吻合得越好。

在MATLAB中輸入以下程序，并運(yùn)行：

s1=sse（abs（y1－h(huán)））

s2=sse（abs（y2－p））

s3=sse（abs（y3－v））

可分別得到揚(yáng)程H、軸功率N、泵效率η的測量值與擬合結(jié)果的誤差平方和：

s1=0.077 0

s2=6.354 2e－004

s3=1.065 9

在MATLAB中輸入以下程序，并運(yùn)行：

m1=max（abs（y1－h(huán)））

m2=max（abs（y2－p））

m3=max（abs（y3－v））

可分別得到揚(yáng)程H、軸功率N、泵效率η的測量值與擬合結(jié)果的絕對誤差最大值：

m1=0.176 7

m2=0.015 1

m3=0.597 3

在MATLAB中輸入以下程序，并運(yùn)行：

z1=max（abs（y1－h(huán)）/h）

z2=max（abs（y2－p）/p）

z3=max（abs（y3－v）/v）

可分別得到揚(yáng)程H、軸功率N、泵效率η的測量值與擬合結(jié)果的相對誤差最大值：

z1=0.005 1

z2=0.004 9

z3=0.010 9

通過以上方法得到測量值與不同階次擬合結(jié)果的相關(guān)系數(shù)R2、誤差的平方和、絕對誤差最大值、相對誤差最大值，見表2。

表2 擬合結(jié)果分析表

根據(jù)表2數(shù)據(jù)，多項(xiàng)式擬合可以較好地反映出離心泵的揚(yáng)程H、軸功率N、泵效率η隨流量的變化情況，擬合精度較高。隨著擬合階數(shù)的增加，擬合誤差越小，測量值與擬合結(jié)果越吻合。

5 總結(jié)

MATLAB編程簡潔直觀，操作簡單，采用MATLAB中的Polyfit函數(shù)，并輔以Corrcoef、SSE等函數(shù)，可以得到精確的擬合曲線，并可以對擬合結(jié)果進(jìn)行分析，確定方法的可行性和精確度。這種方法可以提高工作效率和水泵運(yùn)行的經(jīng)濟(jì)效益，有廣泛的實(shí)用價(jià)值。

［1］ 李建光.礦用離心泵特性曲線擬合方法的比較［J］.河北工程大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2008，25（1）:45-48.

［2］ 張慧敏，龔德利，駱德發(fā).離心泵性能測試的自動(dòng)化控制系統(tǒng)［J］.流體機(jī)械，2003，31（7）:29-32.

［3］ 王宏偉，王蕊，商德勇，等.基于 VB和Matlab混合編程的離心泵測試數(shù)據(jù)分析［J］.煤礦機(jī)械，2008，29（5）：192-193.

［4］ 唐家德.基于MATLAB的非線性曲線擬合［J］.計(jì)算機(jī)與現(xiàn)代化，2008（6）:15-19.