有限元技術在基于能量平衡的機床動態設計中的應用

□ 徐廣晨 □ 翁澤宇 □ 張南南

1.營口理工學院 機電工程系 遼寧營口 115014

2.浙江工業大學 機電工程學院 杭州 310014

1 概述

隨著機械制造向著高速和精密加工方向的發展，對機床動態性能的要求也越來越高。在已知工作條件下，為滿足機床期望的動態性能，尋找機床最優結構的過程就是機床的動態設計。美國UCA大學的G Bianchi等［1］將機床的動態設計與控制相結合，進行動態優化設計；衣阿華州立大學的J M Vance與ISU研究中心的T P Yeh等［2］應用虛擬現實技術來進行機床結構的形狀優化設計；天津大學的張學玲等［3］運用結構動態設計原理和有限元法的變量化分析技術，提出一種數控機床床身結構的動態設計方法和流程；昆明理工大學的尹志宏等［4］討論了利用優化準則法優化磨床主軸系統機械性能的基本過程，并探討了優化準則法對機械結構進行優化設計的優越性。

在機床的動力分析和動態設計時，常見的模型有分布質量模型、集中參數模型和有限元模型三種。M Yoshimura和T Hoshi建立了單柱刨銑床分布質量動力學模型；1964年，Malitback和Toylor Tobias提出了用兩種簡單的單元連接集中質量建立動力學模型方法；1970～1971年間，國際生產工程研究協會CIRP對基于集中質量法建立機床動力學模型方法進行了聯合研究。為提高分析和設計精度，用更接近實際結構的模型來進行機床動態研究，一些學者把有限元法引入機床動態特性研究中。1968年，Stephan把有限單元模型應用于機床結構建模中［5］；到了20世紀90年代，隨著計算機科學的發展，許多商業的有限元軟件不斷成熟，在對復雜機械結構動力分析和動態設計方面，有限元法已成為一種應用廣泛的建模方法。

基于能量平衡的結構優化方法研究同樣也取得了一定的成果，得到了廣泛的應用。M Yoshimura、T Hoshi等［6-8］對以發生再生顫振危險最小為目標，對模態柔度和能量平衡為基礎的動態優化設計原理和方法進行了詳細的介紹；星鐵太郎［9］對基于能量平衡法的結構修改方法進行了系統研究，其核心是把結構的振動強度或動柔度限制在一定的范圍內；哈爾濱工業大學機床教研室的張宗蘭［10］應用能量平衡原理，建立了光學曲線磨床的集中質量模型，對其進行了動態特性的研究,利用數學模型對機床進行了理論分析與計算,指出機床結構中的危險模態及薄弱環節,并對薄弱部件提出優化意見；湖南大學的熊萬里等［11］建立了高速精密電主軸單元的集中質量模型，采用模態柔度和能量平衡相結合的原理，找出電主軸單元的薄弱環節，然后在一定條件下，修改這些薄弱環節的結構設計參數，降低模態柔度，提高了優化效率；上海交通大學機電分校的鄭偉中［12］利用能量平衡原理，采用集中質量模型對M1432A萬能外圓磨床砂輪架進行了能量分布計算，找出整機的薄弱部件，為后面的砂輪架部件的抗振優化設計提供了理論基礎。

本文以有限元技術為基礎，應用基于能量平衡的結構優化方法，通過能量的分析，進行結構動態特性的評價、修改及優化。

2 能量計算及結構動態特性評價

整個系統在振動過程中的總能量是各子結構能量的總和。設整個結構A的第s個子結構以第r階模態振動時的最大慣性能為Tsr、最大彈性能為Vsr。由于能量是標量，整個結構A以第r階模態振動時的最大慣性能T、最大彈性能V，它們分別是所有子結構相應各類能量的總和，即：

子結構各類能量可以分別表示為：

式中：ωr為結構的第 r階固有頻率；｛A（r）｝s為系統以第r模態振動時，第s個子結構的所有節點在各運動坐標方向的振幅列陣；｛A（r）為｛A（r）｝s的轉置矩陣；［m］s為 s的慣性矩陣；［k］s為 s的剛度矩陣。

將子結構的各類能量與整個結構的相應能量之比稱為子結構s第r階模態的慣性能分布率和彈性能分布率。能量分布率高的子結構，說明它與其它子結構相比質量過大或剛度過低，是需要進行結構優化的子結構。慣性能分布率高的子結構應著重減小其質量，彈性能分布率高的子結構應著重提高其剛度，使結構的能量分布均勻化，這就是基于能量平衡的機床結構優化理論［13］。

對于機床能量分布均勻程度的估計，可以借助于振動系統各階次模態的動能和勢能分布的均方差來定量描述機床結構各階次模態的能量分布的均勻性，并判定其偏離最優設計的程度。

機床振動系統各階次模態的動能和勢能的均方差可以表示為：

▲圖1 磨床前六階動能分布圖

式中：σrT為機床第r階動能的均方差；Ti為第i個單元的動能值；T為第r階的動能平均值；σrV為機床第r階勢能的均方差；Vi為第i個單元的勢能值；V為第r階的勢能平均值；i為第 i個單元；n 為單元數［14］。

在現有的文獻中，國內外學者進行基于能量平衡的結構優化均針對的是結構的集中參數模型。集中參數模型在建模過程中進行參數估算較繁瑣，而結構的有限元模型在進行結構動力學建模、結構修改和能量分布率計算的過程中將充分顯示其優勢［15］。

▲圖2 磨床前六階勢能分布圖

3 基于能量平衡的機床有限元模型動態分析

將有限元技術應用于基于能量平衡的結構動態特性分析是一種有效和便捷的方法，本文用這種方法來分析某超精密平面磨床的動態特性。

用有限元分析軟件ANSYS對床身進行模態分析，得出其前六階模態的固有頻率分別為：50.9 Hz、86.7 Hz、120.5 Hz、154.7 Hz、171.6 Hz 和 232.2 Hz。

磨床前六階模態的動能分布如圖1所示。

由動能分布圖可知，能量集中的地方主要有立柱的上下兩端、磨頭、拖板的兩端以及床身的前板面，分析知道，主要是以下幾個方面原因造成。

（1）由于立柱縱向剛度小、兩端質量大，使立柱兩端特別是立柱上端振幅大，出現立柱兩端動能集中的情況；

（2）由于磨頭本身質量大，或者磨頭與立柱的結合面剛度小，造成磨頭振幅大，增大了其動能；

（3）由于拖板與床身結合面上方的位置剛度低，拖板兩端質量大，使拖板兩端振幅變大，其動能也隨之變大。

磨床前六階模態的勢能分布如圖2所示。

由勢能分布圖可知，能量集中的地方主要有拖板-床身結合面上方的位置、磨頭-立柱結合面以及床身前板面，分析知道，主要是以下幾個方面原因造成。

（1）由于拖板兩端跨度比較長，引起剛度不足，容易產生較大的變形。

（2）磨頭-立柱結合面的結合面剛度偏低，容易造成結合處勢能集中；

前六階模態的動能均方差和勢能均方差見表1，由表1分析可知，該磨床能量分布較為分散，均勻度低，離結構的最優設計還有很大的距離。

上述仿真分析結果可以對機床結構優化設計起到指導作用，以減小在結構改進過程中的盲目性。

表1 前六階模態參數

4 結論

將有限元技術應用于機床結構動態特性分析，在進行結構動力學建模、結構修改的過程中，提高了建模的精度，充分顯示了其優勢。利用基于能量平衡的有限元技術進行動態設計，可以直接分析結構的能量分布情況和振型。對結構進行改進時采用能量平衡為主、振型分析為輔的薄弱環節分析方法，提高了動態設計的效率。

［1］ G Bianchi， F Paolucci， P Vanden Braembussche et al.Towards Virtual Engineering in Machine Tools Design ［J］.CIRP Annals-manufacturing Technology，1996,45（1）：381-384.

［2］ T P Yeh， J M Vance.Applying Virtiual Reality Techniques to Sensitivity-based Structural Shape Desigh ［J］.Journal of Mechanical Design，1998，120：620-627.

［3］ 張學玲，徐燕申，鐘偉泓.基于有限元分析的數控機床床身結構動態優化設計方法研究 ［J］. 機械強度，2005，27（3）：353-357.

［4］尹志宏，周新民，廖伯瑜.磨床主軸系統優化設計［C］.2001年西南三省一市自動化及儀器儀表學術會議，昆明，2001.

［5］ 梁祖峰.TH6350加工中心主軸系統試驗模態分析 ［D］.昆明：昆明理工大學，2003.

［6］ M Yoshimura，T Hoshi.Computer Approach to Dynamically Option Design of Machine Tool Structure［C］.Proceedings of the 12th International Machine Tool Design and Research Conference，Manchester，1971.

［7］ T Hoshi，M Yoshimura.InitialApplication ofDynamic Structural Analysis to Computer-aided Design of Machine Tool ［C］.Proceedings of the 14th International Machine Tool Design and Research Conference，Manchester，1973.

［8］ M Yoshimura.Analysisand Optimization ofStructural Dynamics of Machine Tool by a Synthesis of Dynamic Rigidity Program System ［C］.Proceedingsofthe 16th International Machine Tool Design and Research Conference，London，1976.

［9］ 星鐵太郎著，顧崇銜等譯.機械加工顫振的分析與對策［M］.上海:上海科技出版社，1984.

［10］張宗蘭.能量平衡法在機床結構動態參數優化中的應用［J］.哈爾濱工業大學學報，1987（4）：37-43.

［11］熊萬里，溫建立，黃紅武.高速精密電主軸單元的動態優化設計［J］.機械設計,2004（Z1）：121-122.

［12］鄭偉中.用能量平衡原理分析砂輪架的動態特性［J］.機床，1982（1）：34-37.

［13］ 楊肅，唐恒齡，廖伯瑜.機床動力學Ⅱ［M］.北京：機械工業出版社，1983.

［14］翁澤宇，張南南，蔡勇，等.有限元技術在基于能量平衡的機床動態設計中的應用［J］.機械強度，2011，33（3）：411-417.

［15］蔡勇.基于能量平衡原理的機床動態設計技術研究［D］.杭州：浙江工業大學，2007.