自適應混合粒子群約束優化算法及其在軟測量模型參數估計中的應用

徐文星，何騫，戴波，張慧平

（北京石油化工學院信息工程學院，北京102617）

引 言

工業過程中，存在一類難以或無法直接用傳感器測量的重要參數，因此軟測量技術應運而生[1]。目前，軟測量建模方法主要分為3類：純機理建模方法[2]、基于數據驅動的數學建模方法[3-10]及機理和數據驅動相結合的混合建模方法[11-13]。3種方法各有優劣，在各自的優勢領域也各有廣泛應用。 對于工業過程中某些質量指標的建模，由于經過多年的研究，其機理模型已比較成熟，在移植時，只需針對歷史數據確定模型參數即可。 對于此類問題，目前解決方法有兩類：一是用數據驅動模型建立參數模型，此方法更適用于動態模型，對于穩態模型而言有些大材小用； 另一類則是最常用的基于非線性最小二乘法及其改進的參數擬合[1,11-13]。 此方法實際上是將最小二乘法模型作為無約束優化問題，使用傳統梯度算法進行優化求解，這種方法的缺點是：①需要人為提供較好的初始可行解；②擬合完成后需要進行趨勢分析，以驗證擬合的正確性；③對于復雜的問題需要通過遞階的方式解決，即先優化該問題的少量獨立變量，然后將低階問題的解通過近似映射作為高階問題解的起始點。 針對以上3個缺點，考慮將趨勢分析的目標和模型參數取值范圍一起作為模型參數的約束，形成約束優化問題，再選用不依賴于初值的約束優化算法。

根據約束處理機制的不同，約束優化問題的求解主要分為直接法和間接法兩類。無論何種約束處理機制，隨著群智能的興起，啟發式智能算法如粒子群優化算法（PSO）、模擬退火法（SA）、遺傳算法（EAs）、差分進化法（DE）、蟻群算法（ACO）等，都做了各種嘗試，也取得了不少成果[14-19]。其中 PSO算法的研究近年來尤為廣泛[14,18-20]。 經典PSO算法易于陷入局部最優，收斂速度慢，文獻[14]對此進行了改進，將PSO算法與內點法和混沌映射相結合，在加速局部收斂的同時保持種群多樣性，并引入約束處理機制，將算法用于約束優化問題，取得了較好的效果。但該算法對于內點法的迭代步數并沒有過多考慮。如何在最大函數評價次數一定的情況下平衡內點法與 PSO算法和混沌映射的搜索比重有待解決。

針對上述問題，本文在文獻[14]中的RHPSO算法的基礎上，加入內點法最大函數評價次數的自適應調整策略，提出自適應混合粒子群約束優化算法（AHPSO-C）。 并將其用于淤漿HDPE串級反應過程中熔融指數軟測量模型參數估計，以驗證整個方法的可行性與優越性。

1 混合粒子群約束優化算法

1.1 粒子群算法

1.2 混沌映射

因其遍歷性及隨機性，混沌策略常被用于優化[20]，并已多次被融合進粒子群算法，幫助粒子逃離局部最優。本文采用遍歷性和均勻性較優的簡單分段線性混沌映射（PWLCM），其定義如下

混沌映射子程序（CMS）的步驟如下：

（1）對于需要進行混沌映射的N維變量x，在1～N之間隨機初始化映射下角標i。

（3）將決策變量xi按式（4）映射為 0～1之間的混沌變量cxi

（4）用式（3）更新混沌變量cxi。

（5）將混沌變量cxi按式（5）轉換回決策變量xi

1.3 自適應內點法

本文在Waltz等[21]于2006年提出的一種將線搜索和信賴域迭代步相結合的內點法（IPM）的基礎上，加入內點法最大函數評價次數自適應策略。該策略類似于變步長爬山法。設內點法最大函數評價次數為 MaxFEs_AIPM，更新步長為 ss，連續增加和減少步數分別為inc和dec。 具體MaxFEs_AIPM更新子算法（MFUM）步驟如下。

（1）初始化MaxFEs_AIPM，ss，inc，dec；

（2）每次IPM搜索后，判斷此次終止條件。

1.4 約束處理機制

本文采用 Deb等[22]提出的一系列更優判定準則作為約束處理機制。

首先，按式(6)～式(8)定義約束違反值v。

1.5 自適應混合粒子群約束優化算法

將 PSO算法中粒子位置更新公式和混沌映射子程序看作迭代過程中粒子全局搜索的兩種可選操作，自適應內點法作為粒子局部搜索依據，整個自適應混合粒子群約束優化算法可看作是混沌粒子群搜索（CPSO）和自適應內點法搜索（AIPM）的串聯迭代過程。 算法步驟如下。

其中，pg表示CPSO過程的全局最優解，pg_AIPM表示 AIPM 過程的全局最優解，po表示整個算法HPSO-C過程的全局最優解，flag標記CPSO過程對解是否有更新。

2 實驗及結果討論

2.1 實驗設置

為測試本文提出的AHPSO-C求解約束優化問題的性能，選用文獻[19]中有代表性的 Benchmark函數（g01～g12），并和文中的混合粒子群優化算法（HDPSO）的結果進行比較。 對應問題維數D由文獻給出，參數值取和文獻中一致：種群規模M=D；慣性權重從0.9線性下降至0.4，加速因子c1=c2=1.49445，速度限制在[0.2(xmin?xmax),0.2(xmax?xmin)]范圍內，最大函數評價次數MaxFEs=30000，CMS子算法中η=1.1，內點法最大函數評價次數MaxFEs_AIPM初始值為5D。

2.2 仿真結果及分析

對各測試函數進行尋優得到的所有解均為可行解。與文獻[19]進行結果比較，如表1所示。

表1給出算法對Benchmark問題的求解結果。其中：B表示最優值；W表示最差值；M表示平均值。從表中可以看出，對所有測試函數，所提出的AHPSO-C均能找到最優解，且所得最好結果不差于文獻中算法所得最好結果，證明了算法優越的尋優能力。觀察其平均解和最差解發現在除g01、g02、g06、g12以外的所有測試函數中均取得了不差于文獻[19]中算法所得到的最好結果，證明了算法的穩定性也比較好。因此，本文所用的Benchmark仿真測試結果表明，AHPSO-C是求解約束優化問題的一種有效算法。

3 應用實例

以淤漿HDPE串級反應過程中某牌號熔融指數軟測量模型參數優化為例，進行應用驗證。根據課題組其他成員的研究，淤漿HDPE熔融指數采用式（9）的形式。

其中，MI為熔融指數，T為溫度，[H2/C2H4]、[C4H8/C2H4]、[CoCat/C2H4]分別為氫氣、共聚單體丁烯、催化劑與乙烯的進料量之比。

采用工廠連續生產的實際記錄數據優化模型參數。首先對采集的穩態生產數據進行預處理，去除采集的工業數據中含有的大量噪聲，消除數據之間存在滯后性，然后使用處理后的數據建最小二乘法模型，并進行優化完成參數擬合。文獻[13]中使用Matlab曲線擬合工具進行參數擬合，實際上是將最小二乘法模型作為無約束優化問題，使用傳統梯度算法進行優化求解。然而改方法存在引言中提到的3個缺點，因此將樣本數據本身對模型參數的要求以及[H2/C2H4]、[C4H8/C2H4]和T對MI的影響趨勢作為目標中的約束條件，形成約束優化問題。使用AHPSO-C算法進行優化。

表1 對Benchmark尋優的結果比較Table 1 Optimization result comparison on Benchmark

從經預處理后的穩態生產數據中取418組一反數據和 386組二反數據，在K的上下界Kmax= [ 10,10,10,10,10,10]和Kmin=[?10,? 1 0,?10,? 1 0,? 1 0,? 1 0]范圍內使用 AHPSO-C算法進行擬合，結果為：

一反熔融指數模型

二反熔融指數模型

MI單位為 g·(10 min)?1，T單位為℃，[H2/C2H4]單位為 mol·mol?1，[C4H8/C2H4]單位為mol·mol?1。

將剩下的209組一反數據和193組二反數據樣本中的各變量值分別代入式(10)和式(11)，計算MI，并與工廠實際值對比，驗證模型的準確度。與文獻[13]中方法擬合的結果對比如表2所示。

表2 兩種方法擬合結果對比Table 2 Fitting result comparison of two methods

擬合曲線和校驗結果分別如圖1～圖4所示。虛線是工廠實際值，點線是使用Matlab非線性最小二乘擬合工具箱的擬合結果，實線是AHPSO-C算法優化帶約束的最小二乘模型的結果。

由表2可知，使用AHPSO-C算法優化得到的擬合和校驗誤差都不高于成熟的基于傳統梯度法的最小二乘擬合所得，甚至更小。由圖1～圖4可見，一反使用 AHPSO-C算法擬合和校驗曲線與Matlab工具箱所得基本重合，二反中雖不重合，也差別不大。在較好的擬合和校驗結果的基礎上，由于該算法對初始解沒有要求，又能夠在優化的同時考慮參數之間的關聯，在實際應用中適用性更廣。

4 結 論

本文將混沌粒子群優化算法與內點法相結合用于求解約束優化問題，并提出一種自適應策略，自動更新內點法的最大迭代次數，平衡算法中的全局和局部搜索。對經典Benchmark函數的仿真結果表明，所提自適應混合粒子群約束優化算法（AHPSO-C）是求解約束優化問題的有效算法。

圖1 一反MI回歸結果Fig.1 Regression result of MI in the first reactor

圖2 一反MI校驗結果Fig.2 Validation result of MI in the first reactor

對于軟測量模型參數估計問題，針對傳統梯度法求解非線性最小二乘模型時存在的3點缺陷，提出將參數估計化為約束優化問題，使用混合優化算法求解的新思路。將所提出算法用于高密度聚乙烯（HDPE）裝置串級反應過程中熔融指數軟測量模型參數估計，驗證了方法的可行性。新方法不僅能夠保持較少的模型誤差，而且無須特別對初始解進行選取，還可以將參數之間的相關性作為約束在優化的同時考慮，從而省去擬合后的趨勢分析。

圖3 二反MI回歸結果Fig.3 Regression result of MI in the second reactor

圖4 二反MI校驗結果Fig.4 Validation result of MI in the second reactor

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