熱點(diǎn)題型 分類剖析

趙密密

分式在中考中占有一定的比例，它通常以填空題、選擇題、計(jì)算題和解答題的形式出現(xiàn)，主要考查分式的概念與分式的基本性質(zhì)的運(yùn)用，分式的運(yùn)算，分式的化簡求值及利用分式方程解決實(shí)際問題等. 針對中考命題趨勢，在學(xué)習(xí)中應(yīng)夯實(shí)基礎(chǔ)知識，注重對概念的理解，培養(yǎng)分析、解決問題的能力和對問題的探索能力.

一、 分式有意義、無意義或值為0的條件

例1 （2014·浙江溫州）要使分式有意義，則x的取值應(yīng)滿足（ ）.

A. x≠2 B. x≠-1

C. x=2 D. x=-1

【分析】根據(jù)分式有意義，分母不等于0列式計(jì)算即可得解.

解：由題意得，x-2≠0，

解得x≠2.

故選A.

【點(diǎn)評】本題考查了分式有意義的條件，從以下三個(gè)方面透徹理解分式的概念：

（1）分式無意義?分母為零；

（2）分式有意義?分母不為零；

（3）分式值為零?分子為零，且分母不為零.

例2 （2014·貴州畢節(jié)）若分式的值為零，則x的值為（ ）.

A. 0 B. 1

C. -1 D. ±1

【分析】分式的值是0的條件：分子為0，分母不為0，由此條件解出x.

【解答】由x2-1=0，得x=±1.

當(dāng)x=1時(shí)，x-1=0，故x=1不合題意；

當(dāng)x=-1時(shí)，x-1=-2≠0，所以x=-1時(shí)分式的值為0. 故選C.

【點(diǎn)評】分式的值為0的條件中特別需要注意的是分母不能是0，這是經(jīng)常考查的知識點(diǎn).

二、 分式的運(yùn)算

例3 （2014·云南）化簡求值：·x-

，其中x=.

【分析】原式括號中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，約分得到最簡結(jié)果，將x的值代入計(jì)算即可求出值.

解：原式=·=x+1，

當(dāng)x=時(shí)，原式=.

【點(diǎn)評】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

三、 解分式方程

例4 （2014·湖北孝感）分式方程=的解為（ ）.

A. x=- B. x=

C. x= D. x=

【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解.

解：去分母得：3x=2，

解得：x=，

經(jīng)檢驗(yàn)x=是分式方程的解.

故選B.

【點(diǎn)評】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解. 解分式方程一定注意要驗(yàn)根.

四、 分式方程的增根

例5 （2014·四川巴中）若分式方程-=2有增根，則這個(gè)增根是_____.

【分析】分式方程變形后，去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，根據(jù)分式方程有增根，得到x-1=0，求出x的值，若還需求此時(shí)m的值，把x的值代入整式方程即可求得.

解：根據(jù)分式方程有增根，得到x-1=0，即x=1，則方程的增根為x=1. 故答案為x=1

【點(diǎn)評】此題考查了分式方程的增根，增根問題可按如下步驟解決：①使最簡公分母為0，確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值.

五、 分式方程的應(yīng)用

例6 （2014·江蘇揚(yáng)州）某漆器廠接到制作480件漆器的訂單，為了盡快完成任務(wù)，該廠實(shí)際每天制作的件數(shù)比原來每天多50%，結(jié)果提前10天完成任務(wù). 原來每天制作多少件？

【分析】設(shè)原來每天制作x件，根據(jù)原來用的時(shí)間-現(xiàn)在用的時(shí)間=10，列出方程，求出x的值，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可.

解：設(shè)原來每天制作x件，根據(jù)題意得：-=10，

解得：x=16，

經(jīng)檢驗(yàn)x=16是原方程的解，

答：原來每天制作16件.

【點(diǎn)評】此題考查了分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，本題的等量關(guān)系是原來用的時(shí)間-現(xiàn)在用的時(shí)間=10.

六、 轉(zhuǎn)化思想、整體思想的運(yùn)用

例7 （2014·四川涼山）先化簡，再求值：÷a

+2-，其中a2+3a-1=0.

【分析】原式括號中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，已知方程變形后代入計(jì)算即可求出值.

解：原式=÷

=·

=

當(dāng)a2+3a-1=0，即a2+3a=1時(shí)，原式=.

【點(diǎn)評】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

七、 學(xué)科內(nèi)綜合問題

例8 （2014·江蘇揚(yáng)州）對x、y定義一種新運(yùn)算T，規(guī)定：T（x，y）=（其中a、b均為非零常數(shù)），這里等式右邊是通常的四則運(yùn)算，例如：T（0，1）==b.

（1）已知T（1，-1）=-2，T（4，2）=1.

①求a，b的值；

②若關(guān)于m的不等式組T（2m，5-4m）≤4，

T（m，3-2m）>p恰好有3個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)p的取值范圍；

（2）若T（x，y）=T（y，x）對任意實(shí)數(shù)x，y都成立（這里T（x，y）和T（y，x）均有意義），則a，b應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系式？

【分析】（1）①已知兩對值，代入T中計(jì)算求出a與b的值；

②根據(jù)題中新定義化簡已知不等式，根據(jù)不等式組恰好有3個(gè)整數(shù)解，求出p的范圍即可；

（2）由T（x，y）=T（y，x）列出關(guān)系式，整理后即可確定a與b的關(guān)系式.

解：（1）①根據(jù)題意得：T（1，-1）==-2，即a-b=-2；

T（4，2）==1，即2a+b=5，

解得：a=1，b=3.

②根據(jù)題意得：

≤4， ①

>p. ②

由①得：m≥-；

由②得：m<，

∴不等式組的解集為-≤m<，

∵不等式組恰好有3個(gè)整數(shù)解，即m=0，1，2，

∴2<≤3，

解得：-2≤p<-；

（2）由T（x，y）=T（y，x），得到=，

整理得：（x2-y2）（2b-a）=0，

∵T（x，y）=T（y，x）對任意實(shí)數(shù)x，y都成立，

∴2b-a=0，即a=2b.

【點(diǎn)評】此題考查了分式的混合運(yùn)算、解二元一次方程組，以及一元一次不等式組的整數(shù)解，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵.

（作者單位：江蘇省淮安外國語學(xué)校）