抓住關鍵 突破難點

周琳

“圖形與幾何”領域研究的主要對象是平行四邊形、矩形、菱形、正方形等特殊的四邊形，在填空、選擇、解答等題中均有出現. 近年的許多考試中又出現了相關的開放題、應用題、閱讀理解題、學科綜合題、動點問題、折疊問題等，應引起同學們的高度重視.

一、 平行四邊形的相關知識是初中階段必須掌握的. 這類中考題目一般并不難，側重考查對課本知識的掌握和理解運用.

例1 如圖1，四邊形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于點E，CF⊥BC交BD于點F，且AE=CF.

求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

重點：本題是考查平行四邊形的判定的證明題.

難點：平行四邊形多種判定方法的合理選取.

證明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF，

又∵∠DAE=∠BCF=90°，AE=CF，

∴△EAD≌△FCB，

∴AD=BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形.

【方法總結】平行四邊形的判定方法：

（1）如果已知一組對邊平行，常考慮證另一組對邊平行或者證這組對邊相等；

（2）如果已知一組對邊相等，?？紤]證另一組對邊相等或者證這組對邊平行；

（3）如果已知條件與對角線有關，?？紤]證對角線互相平分.

二、 掌握平行四邊形與矩形的關系，會利用矩形的性質與判定來解題.

例2 如圖2，在矩形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD的中點，連接AF，CE.

（1）求證：△BEC≌△DFA；

（2）求證：四邊形AECF是平行四邊形.

重點：矩形的性質；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的判定.

難點：熟練掌握矩形的對邊相等，四角都為90°，及平行四邊形的判定定理.

證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=CD，AD=BC.

又∵E、F分別是邊AB、CD的中點，

∴BE=DF.

∵在△BEC和△DFA中，BE=DF，AD=BC，∠D=∠B，

∴△BEC≌△DFA（SAS）.

（2）由（1）得，CE=AF，AE=CF，

故可得四邊形AECF是平行四邊形.

【方法總結】矩形的定義既可以作為性質，也可以作為判定. 矩形的性質是求證線段或角相等時常用的知識點. 證明一個四邊形是矩形的方法：（1）先證明它是平行四邊形，再證明它有一個角是直角；（2）先證明它是平行四邊形，再證明它的對角線相等；（3）證明有三個內角為90°.

三、 掌握平行四邊形與菱形的關系，會利用菱形的性質與判定來解題.

例3 如圖3，在平行四邊形ABCD中，O為對角線BD的中點，過點O的直線EF分別交AD，BC于E，F兩點，連接BE，DF.

（1）求證：△DOE≌△BOF.

（2）當∠DOE等于多少度時，四邊形BFDE為菱形？請說明理由.

重點：平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質；菱形的判定.

難點：菱形判定方法的合理選取.

【分析】（1）利用平行四邊形的性質以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF（ASA）；

（2）首先利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EBFD是平行四邊形，然后利用垂直平分線的性質得出BE=ED，即可得出答案. 當然在判定四邊形EBFD是平行四邊形后也可以利用對角線互相垂直的平行四邊形是菱形直接得出答案.

【解答】（1）證明：∵在?ABCD中，O為對角線BD的中點，

∴BO=DO，∠EDO=∠FBO，

在△EOD和△FOB中，

∠EDO=∠FBO，

DO=BO，

∠EOD=∠FOB.

∴△DOE≌△BOF（ASA）.

（2）當∠DOE=90°時，四邊形BFDE為菱形.

理由：∵△DOE≌△BOF，

∴BF=DE.

又∵BF∥DE，

∴四邊形EBFD是平行四邊形.

∵BO=DO，∠EOD=90°，

∴EB=DE，

∴四邊形BFDE為菱形.

【方法總結】菱形的定義既可作為性質，也可作為判定. 證明一個四邊形是菱形的一般方法：（1）四邊相等；（2）首先證明是平行四邊形，然后證明有一組鄰邊相等；（3）對角線互相垂直平分；（4）對角線垂直的平行四邊形.

（作者單位：江蘇省連云港市贛榆區外國語學校）